Свойства логарифмов

Свойства логарифмов

10 класс

Разработала: М.В. Франк,

учитель математики ГБОУ РО НШИ с ПЛП

Авторы УМК «Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы» (базовый уровень): Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. (М: Просвещение, 2017).

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: ноутбук, проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Цель урока: организация продуктивной деятельности учащихся, направленной на достижение ими следующих результатов:

• Личностных:

1) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры;

2) умение легко выполнять математические операции, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

3) заинтересованность в приобретении и расширении математических знаний и способов действий.

• Метапредметных:

- познавательная деятельность:

1) использование различных методов (опыт, наблюдение);

2) исследование несложных практических ситуаций, выдвижение предположений, понимание необходимости их проверки на практике;

3) умение перефразировать мысль или условие задачи (объяснить «иными» словами);

4) комбинирование известных алгоритмов деятельности в ситуациях, не предполагающих стандартного применения одного из них;

5) приобретение способности «открывать» новое математическое знание;

- информационно – коммуникативная:

1) умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение;

2) умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять роли и функции участников, общие способы работы;

3) умение предвидеть возможные последствия своих действий.

- рефлексивная:

1) умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

2) умение работать в парах и индивидуально;

3) фиксация затруднения, поиск причин возникших трудностей и их устранение;

4) овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;

• Предметных:

1) осознанное употребление новых математических понятий (логарифм числа; основное логарифмическое тождество) в устной и письменной речи;

2) формирование умений находить значения логарифма;

3) овладеть первичным опытом использования свойств логарифмов для преобразования выражений, содержащих логарифмы;

4) овладеть опытом осознанного использования имеющихся знаний для «открытия» нового;

5) овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки.

ХОД УРОКА

«Всякое настоящее образование добывается только путем самообразования».

Николай Рубакин

1. Организационно-мотивационный этап.

Доклад зам. командира взвода (количество присутствующих и отсутствующих учащихся). Приветствие. Присаживайтесь, пожалуйста.

Ребята, а задумывался ли каждый из вас над тем, с какой целью он сегодня пришёл на урок? (ответы учащихся). Запишите на полях тетради свою цель и поработайте на неё в течение всего урока. В конце урока проанализируем, достигли вы её или нет, почему.

Сегодня на уроке вам разрешается быть активными и любознательными. Вы можете ошибаться, сомневаться и консультироваться. Уверенна, что вы умело, справитесь со всеми заданиями и трудностями.

2. Этап актуализации знаний. Постановка темы и цели урока.

Фронтальный опрос.

1) Дайте определение степени. Как называется число a? Как называется число n?

2) Какое уравнение называется показательным? (а^х = в).

3) Каким может быть число а? число в?

4) Сколько решений имеет показательное уравнение? (одно).

Задание 1 (слайд).

Используя, имеющиеся у вас знания, решите уравнения:

1) 2^х = 32; 2) 3^х  = 81 ; 3) 5^х =625;  ; 4) 4^х = 1\64 ; 5) 6^х = 42.

Задание 2. (слайд)

Установите соответствие:

Задание 3. (слайд)

Исходя из определения логарифма, найдите число, логарифм которого:

а) по основанию 6 равен 2;

б) по основанию 3 равен 4;

в) по основанию 2 равен – 2.

Проверьте работу, обменявшись с соседом тетрадями и поставьте отметку.

Ответы (слайд):

Задание 1: 1) 5; 2) 4; 3) 4; 4) -3; 5)log₆42  

Задание 2: 1 – в; 2 – г; 3 – б; 4 – д; 5 – а.

Задание 3: а) log₆36;   б) log₃81;    в) log₂0,25.

12- 13 – «5»; 10 - 11– «4»; 8- 9 – «3»; 0 – 7 – «2»

Учитель: Какое понятие, связано с решением показательных уравнений? (понятие логарифма).

- Сформулируйте определение логарифма.

- На какой вопрос отвечает логарифм? (В какую степень нужно возвести число а (основание), чтобы получить число b).

- Как вы думаете, можно ли логарифмы складывать, вычитать, преобразовывать?

- Как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмама? (ответ: свойства логарифмов).

Учитель:

Сформулируйте тему сегодняшнего урока.

Итак, тема урока: «Свойства логарифмов». (Записывают тему урока: учащиеся - в тетради, а учитель – на доске)

Учитель: Подумайте и предположите, какова цель урока?

Цель урока: изучить свойства логарифмов и научиться их применять на практике.

3. Этап «открытия» нового знания.

Задание 4.

Рассмотрите новую ситуацию. Постарайтесь, используя имеющиеся у Вас знания найти значения выражения

Учащийся выполняет задание у доски:

Обозначим log₃16 =x, тогда по определению логарифма: 3^х = 16. Вернёмся к заданию 3^log₃16 и получим: 3^log₃16 = 16.

Учитель: Обобщим полученный результат: а ^log_ab = b (а >0, а ≠ 1, b>0). Получили определение логарифма или основное логарифмическое тождество.

Учитель: Ребята, откройте свои учебники, проделайте следующую работу: сверьте ваши выводы с тем, что написано в учебнике на странице стр. 91, запишите тождество в тетрадь.

Работа с учебником:

№ 274 (1,3), 275 (1,3)

Один ученик работает на крыльях доски, а остальные - в тетрадках, затем осуществляют взаимопроверку с выставлением баллов на полях, а работающий у доски, объясняет решение.

Физкультминутка.

Проведём, друзья, сейчас

Упражнения для глаз.

Влево, вправо посмотрели

Глазки все повеселели.

Снизу вверх и сверху вниз,

Посмотри.

Чтобы мышцы крепче стали,

Смотрим мы по диагонали,

Плавно глазками моргаем

С силой глазки закрываем.

Раз, два, три, четыре, пять

-Можно глазки открывать.

Учитель: Давайте, ещё раз вспомним определение логарифма. На какой вопрос отвечает логарифм? (В какую степень нужно возвести число а (основание), чтобы получить число b).

Учитель: Операция нахождения логарифма числа называется логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

Давайте попробуем установить связь между свойствами степени и логарифма.

Ребята продолжите фразу, начатую мной:

… = 0. (1)

… (2)

… . (2)

… . (x>0, y >0, x≠1) (3)

… . (4)

Учитель: предлагаю вам разделиться на три группы и доказать свойства 2- 4, используя, имеющиеся у Вас знания.

Запишите доказательство на листочке и выберите человека, который на доске запишет доказательство.

Далее в большой группе (весь класс) рассматриваются доказательства и на примерах, показывается применение свойств.

1) ; 4) ;

2) ; 5)

3) ; 6)

Учитель: обратимся к учебнику, откройте его на стр. 94. Сравните доказательство.

Давайте ещё раз с помощью следующего слайда сформулируем свойства логарифмов:

1. Логарифм числа 1 по основанию а равен нулю: log_a1 = 0, a > 0, a # 1.

2. Логарифм числа а по основанию а равен единице: log_aa = 1, a > 0, a # 1.

3. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей: log _a(ху) = log_aх + log_aу, a > 0, a # 1,х > 0,у > 0.

4. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: log _a (х/у) = log_aх - log_aу, a > 0, a # 1, х > 0, у > 0.

Подчеркивается, что свойства 3 и 4 применяются как «слева направо», так и «справа налево».

5. Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: log _aх^р = р logab, х > 0, a > 0, a # 1, р∈R.

Этап первичного применения новых знаний на практике.

Выполните № 290 – 293 по вариантам (первый вариант – 1, 3 задания; второй вариант – 2, 4 задания).

Взаимопроверка (ответы на слайде). Подробный разбор заданий.

VI. Домашнее задание (обязательная часть и вариативная)

Обязательная часть:

1.1. Изучить теорию в учебнике §16, стр. 94, выделить моменты, вызвавшие затруднения.

1.2. Выполнить письменно задание из учебника № 368 - 371 (2,4)

2. Вариативная часть (по желанию)

2.1. Выполнить письменно задания из учебника:  № 372.

VII. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Достижение личностных результатов.

- Ребята, в начале урока Вы поставили личную цель. Достигли её Вы или нет? Кто хочет, поделитесь своими выводами вслух?

Продолжите предложения (задания на слайде):

сегодня я узнал...

было трудно…

я понял, что…

я научился…

я смог…

меня удивило…

Ребята, вы все хорошо поработали! Сегодня первый урок изучения новой темы, поэтому главное, что вы поняли смысл новых знаний и участвовали в «открытии» нового знания. Поэтому в журнал я выставлю только отличные и хорошие отметки.

На следующем уроке мы продолжим работу, познакомимся с другими новыми понятиями. Спасибо за урок! До свидания!