Теорема Виета

Дудинская Ирина Николаевна

учитель математики

РОУ «Школа № 4 -Кадетский корпус им. А.В. Захарченко»

 8 классе 

урок по теме «Теорема Виета»

Цели урока:

деятельностная: формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действий по теме «Квадратные уравнения» на основе метода рефлексивной самоорганизации;

образовательная: расширение понятийной базы по теме «Квадратные уравнения» за счет включение в нее новых элементов: нахождение корней квадратного уравнения по теореме Виета.

Задачи урока:

обучающая: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.

развивающая: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений; формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока и применения ИКТ; развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений;

воспитывающая: развитие коммуникативных умений учащихся через организацию групповой, парной и фронтальной работы на уроке; формирование навыков настраиваться на успех в любом деле.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Ход урока

Самоопределение к деятельности.

Создание условий для возникновения у учащихся внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»)

Учитель. Ребята, представьте себе, что сегодня вы не просто ученики 8 класса, а сотрудники лабораторий научно-исследовательского института. Лабораторий у нас будет четыре. Вы готовитесь к заседанию ученого совета по теме «Квадратные уравнения», на котором вам надо показать работу своей лаборатории. Научной лаборатории! Как вы считаете, какое сообщение должны сделать сотрудники научной лаборатории?

Ответы детей: доклад, научное сообщение и т. д. (Если никто не говорит «открытие», то спрашиваю, что они понимают под научным сообщением)

Итак, каждая лаборатория у нас сегодня … продолжите.

Дети: сделает открытие.

Учитель: по какой теме?

Учащиеся: «Квадратные уравнения»

Учитель: Значит, по окончанию урока наши знания о квадратных уравнениях станут шире.

(Установление тематических рамок, «могу»)

Учитель: Теперь вы поняли почему мы с вами на перемене сдвинули по два стола. На каждый стол я кладу листок с сотрудниками. Вчера, я предложила вам, выбрать по одной цветной карточке. Дети, кому достались карточки одного цвета, стали учеными одной лаборатории. Занимаете свои места в «лабораториях» и выбираете зав. лабораторией. Каждый из вас получил оценочный лист, где вы будете выставлять себе баллы за каждый правильный ответ. А зав лабораторией будет выставлять вам (+) и (-) за каждое ваше действие.

Откройте тетради, запишите число, классная работа. Давайте прочитаем высказывание, которое вы видите на плакате.

Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению. 

В. Каверин

Актуализация теоретических знаний.

Цели для учителя: актуализация изученных способов действий, достаточных для построения нового знания, их обобщения знаковая фиксация; мотивирование учащихся к пробному учебному действию и его самостоятельное осуществление

Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме «Квадратные уравнения». Какими способами вы уже умеете решать квадратные уравнения? Дети отвечают (по формулам со вторым нечетным коэффициентом и четным; выделением квадрата двучлена; по алгоритмам неполные квадратные уравнения) На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений. А что значит решить квадратное уравнение? Дети отвечают. Что необходимо знать, что бы найти корни по формулам? (коэффициенты)

Учитель: вы, заметили, что информация о корнях квадратного уравнения скрыта в его коэффициентах. Кое - что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a, b, c)

Запишите номера полных, приведенных, неполных, с четным вторым коэффициентом квадратных уравнений

Слайд 4.

1. 3х2 – 2х = 0                            2.  -21х2 + 16х=0 3. 7х2 – 16х + 4 =0                      4.   х2=0 5. Х2 – 3 = 0                                   6.  х2 + 4х + 4 =0 7. - х2 +2х - 4 =0                            8. х2=4

Преобразуйте квадратное уравнение в  приведенное:

Слайд 2.

3х2 + 6х – 12 =0                                     -5х2 + 10х -2 =0

Можно ли определить количество корней неполного квадратного уравнения, зная его коэффициенты.

Сегодня, мои уважаемые ученые, я буду выступать в роле иллюзиониста Дома вы решали квадратные уравнения и я надеюсь, что все вы правильно решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни. (На дом заданы специально подобранные приведенные квадратные уравнения) Дети удивленны. И выдвигают разные гипотезы. ( Вы выучили все ответы. Наверное, есть такая формула, по которой легко и быстро находятся корни, у вас какой-то приборчик для нахождения корней) Учитель предлагает учащимся решить уравнение х2+–2018х-2019=0. Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение. Учитель: Можете ли вы, не решая приведенное квадратное уравнение, назвать его корни? (где мы встречаемся еще с этим словом?)

Постановка учебной задачи.

Учитель: Что у вас вызвало затруднение? Почему?

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения, которые они не знают. На экране появляется таблица. Слайд 5

Учитель: Так вот, тема нашего урока «Теорема Виета». Запишите, пожалуйста, в тетради. А что нужно сделать, мои научные сотрудники, чтобы преодолеть это затруднение?

Ответы учащихся: “Определить существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

«Открытие» учащимися нового знания

Учитель: Как же нам с вами понять: между корнями и коэффициенты приведенного квадратного уравнения какая связь? Что при исследованделают ученые? Учащиеся: чтобы раскрыть эти связи, наверное, надо понаблюдать за коэффициентами и корнями различных приведенных квадратных уравнений.

Учитель: а куда запишите свои наблюдения?

Учащиеся: при поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Учитель: Хорошо. Сейчас вы проведёте небольшое исследование, а результаты исследования занесёте в таблицу. Каждая группа получает задание и таблицы для заполнения.

Задания для исследования каждой группе: каждому участнику группы надо решить одно уравнение.

1 группа 2 группа

1.  х2 - 6х - 7 = 0 1.  х2 + 5х + 6 = 0

2.  х2 - 9х + 20 = 0 2.  х2+ 3х - 10 = 0

3.  х2 – 3х – 10 = 0  3. х2 – 2х – 15 = 0

4.  х2 + 2х – 15 = 0  4. х2 + х – 42= 0

3 группа 4 группа

1.  х2 + 8х + 15 = 0 1.  х2 + 7х + 10 = 0

2.  х2 - 7х + 10 = 0 2.  х2 - 8х + 15 = 0

3.  х 2+ 5 х + 6 = 0 3.  х2 – х – 6 = 0

4.  х2 - х – 12 = 0 4.  х2- х – 12 = 0

План исследования.

1.  Заполните таблицу.

2.  Сравните результаты колонок №2 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3.  Сравните результаты колонок №3 и №7 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

Слайд 6.

На экране таблица. Первое уравнение в таблице - это первое уравнение из списка 1 группы, второе уравнение - это второе уравнение из списка 2 группы, третье – это третье уравнение из списка 3 группы т. д.

Исследуем связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, выдвигаем гипотезу. Гипотеза проговаривается 4 раза (из каждой группы по одному ученику)

Учитель предлагает найти подтверждение, что данное утверждение верно в учебнике. По одному ученику из 1 и 2 групп читают теорему вслух и произносят ее название. В это же время учитель предлагает двум сильным ученикам из 3 и 4 групп, опираясь на знания, полученные на предыдущих уроках, доказать на доске теорему Виета в общем виде. (После их доказательства появляется слайд 4).

Слайд7 т е о р е м а В и е т а: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Дано:

х1, х2 – корни уравнения  x2 + px + q = 0

Доказать, что х1 + х2 = –р;    х1 · х2 = q.

5. Динамическая пауза (гимнастика для глаз)

1.Горизонтальные движения глаз: направо – налево.

2.Движение глазными яблоками вверх – вниз.

3.Круговые движения глазами: по часовой стрелке и в обратном направлении.

4.Интенсивные сжимания и разжимание глаз в быстром темпе.

5. Частое моргание глазами.

Учитель: Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме?

(Ученики. Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Ученики предлагают (один из возможных вариантов ответов):

“Условие”: х1 + х2= - р, х1· х2 =q.

“Заключение”: х1 и х 2– корни квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, х1 х2= q, то х1 и х2 - корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.

Учитель: Всегда ли из истинности прямой теоремы следует истинность обратной? приведите примеры.

Ученики: Нет, не всегда. (Например, в геометрии если многоугольник является четырехугольником, то сумма его внешних углов равна 2П, а обратная ей не всегда верна).

Учитель: Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам действительно известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

Первичное закрепление

Задание 1.  Выпишите на чистом листе четыре пары чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.

2.  Обменяйтесь этими листами с соседними группами.

3.  По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения. Каждый ученый (ученик) составляет по одному уравнению, подписывая свою фамилию.

4.  Дайте эти уравнения со своими оценочными листами на проверку группе, которая готовила вам задание.

Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).

Если есть ошибки, то проверяющая группа их проговаривает и комментирует правильный ответ.

Учитель: Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют) прямая или обратная?

Учащиеся: прямая теорема.

Задание 2.  Не решая уравнение, определите знаки его корней:

Каждая группа получает по два уравнения. Работаем в парах. При решении проговариваем друг другу правило – это обязательное условие выполнения задания.

Учитель: Если свободный член квадратного уравнения число отрицательное (положительное), то какие знаки имеют корни уравнения?

Учащиеся: Разные (одинаковые), проговариваем правило. Учитель: Давайте вспомним как складываются числа с одинаковыми и разными знаками.

Учении проговаривают правила.

Учитель: Я вижу, что со следующим заданием , вы справитесь.

1) х2 + 45х – 364 = 0; х2 – 15х +50 = 0 – для первой группы;

2) х2+ 36х + 315 = 0 х2 – 11х + 24х = 0 – для второй группы;

3) х2– 40х + 364 = 0 х2 + 12х – 45 = – для третьей группы;

4) х2– 30х + 250 = 0 х2 - 25х - 54 = 0 – для четвертой группы.

Пары одной группы осуществляют взаимопроверку. Если есть ошибки, то проверяющая сторона их проговаривает и комментирует правильный ответ.

Задание 3. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х 2+ з6х + 308 = 0, х1 = -14 – для первой группы;

2) х 2+ 45х – 364 = 0, х1= 7 – для второй группы;

3) х2– 35х + 250 = 0, х1 = - 10 – для третьей группы;

4) х2– 40х + 364 = 0, х1 = -+ 14 для четвертой группы

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу. Цели учителя: создание условий для интериоризации (переход извне внутрь) нового способа действий; создание ситуации успеха. Цели для учащихся: индивидуальная рефлексия достижения цели

Учитель: Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом. Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора? И какую теорему в этом случае будем использовать прямую или обратную?

Ученики: Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной. Задание 4. Найдите корни приведенного квадратного уравнения методом подбора. Выберите себе уравнение из списка на вашем столе. Номер уравнения должен соответствовать вашему порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву, которой закодирован один из корней. Ключ кода записан на карточке с вашими уравнениями.

1.  х2 + 7х + 10 = 0 2.  х2 + х – 20 = 0 3.  х2+ 6х – 7 = 0 4.  х2 + 11х + 24 = 0 5.  х2 - 3х - 70 = 0 6.  х2 – 7х – 30 = 0 7.  х2 + 10х – 11 = 0 8.  х2 + х – 12 = 0 9.  х2 – 3х - 28 = 0 10.  х2 + 4х – 21 = 0 11.  2х + 4х + 3 = 0 12.  х2 + 7х - 18 = 0 13.  х2 + 6х + 5 = 0 14.  х2 -9х +14 = 0 15.  х2 + 13х + 42 = 0 16.  х2 + 2х - 3 = 0 Ключ:

-9 -8 -7 -5 -4 -3 -2 1 -1 -2 3 4 5 7 8 9 10

Ю Н С Р В Т Ф А М О Е Я Д И Л К У

Слайд8 5. Образец. Решить уравнение: х 2– 4 х – 12 = 0.

Решение:

х1+ х2 = 4, х1 · х2 = - 12;

по теореме, обратной данной, х1 = -2, х 2= 3.

Ответ: -2; Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание: ФРАНЦУА ВИЕТ ЮРИСТ

Включение в систему знаний и повторение. Цели для учителя: создание условий для включения и закрепление ранее изученного

Учитель: Как вы думаете можно ли применять теорема Виета для полного квадратного уравнения?

(Да, можно, т.к любое не приведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).

Если дети затрудняются ответить, то напоминаю, что при выполнении устной работы в начале урока мы с вами вспомнили, как преобразовать квадратное уравнение в приведённое.

Ребята предлагают разделить все коэффициенты полного квадратного уравнения на первый коэффициент а.

Выполняем устно: 3x2 - 12х +15 =0 x2 – 4х + 5 = 0

-0,25x2 + 1,5х = -2 x2 – 6х + 8 = 0

А теперь самостоятельно запишите формулы для не приведённого квадратного уравнения, используя теорему Виета. (После этого на экране появляется сайт)

Слайд 9

Т е о р е м а   В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения аx2 + bx + c = 0,

то х1 + х2 = -- ;  х1 ∙  х2 = ..

Рефлексия.

Учитель: достигли ли мы цели нашего урока?

Каков результат нашей деятельности на уроке?

Что у нас получилось?

Какие проблемы помогает решать теорема Виета? 1). Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения. 2).Определяем знаки корней уравнения, не решая его. 3).Устно находим корни приведенного квадратного уравнения. 4). Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

А сейчас положите руки на парту, голову на руки, закройте глазу, не разговаривауте и слушайте меня внимательно. Кто усвоил материа на 5, поднимите рука и т. д. Учитель фиксирует оценки

Домашнее задание.

В течении урока вы не забывали про оценочный лист. Там есть предложения, которые я прошу вас закончить и передать оценочные своим зав лабораторией. Они обсудят с вами вашу работу на уроке и оценят вас добавив или сняв баллы.

Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.

Решите №581, 583 эти задания у вас обязательно получатся

Это на «3»

№582 и №584 немного сложнее. Вы можете выбирать. Но выполнить надо два номера

1), 2), №582 №584 это - 4

Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание).
1), 2),З) – это 5

И чтобы потренировать память, вот вам маленькое четверостишье Теорему Виета тебе Я запомнить легко помогу Сумма корней  минус р, Произведение q.

Спасибо за урок. Слайд 10.