Учебное пособие по алгебре «Комбинаторика от А до Я»

Алгебра и начала математического

анализа.

(Комбинаторика)

Учебное пособие

Разработала: преподаватель дисциплин общеобразовательного цикла, специалист высшей категории, старший преподаватель Верховцева Марина Николаевна

г.Стаханов,2021г

Аннотация

Данное учебное пособие рекомендуется использовать как дополнительное средство при изучении тем программы, основное средство для ликвидации точечных пробелов знаний, контроля знаний обучающихся при изучении темы «Комбинаторика», согласно примерной программы по общеобразовательной учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для образовательных организаций (учреждений) среднего профессионального образования Луганской Народной Республики, утвержденной Министерством образования и науки Луганской Народной Республики (приказ от 20.07.18 года № 701-од).

Пособие состоит из теоретических блоков информации, перемежающихся с примерами решения типовых задач и средствами самоконтроля. Выполнение заданий для контроля знаний, представленных в конце изложения материала, позволяют оценить уровень усвоения обучающимися. В учебное пособие вошли: экскурс в историю развития комбинаторики как науки; комбинаторные задачи, которые интересовали наших далеких предков; правило сложения и произведения; перестановки; размещения и сочетания.

Применение предлагаемых тестов позволяет формировать у обучающихся следующие предметные результаты: оперировать на базовом уровне понятиями: правило сложения и произведения, перестановки, размещения и сочетания; проводить логические рассуждения в ситуациях повседневной жизни; проводить доказательные рассуждения для обоснования истинности утверждений.

Кроме печатной версии учебного пособия, имеется свободный доступ к нему в электронном виде, что делает представленную разработку актуальной при обучении в очно-заочном режиме.

Содержание

Ведение

В данном учебном пособии представлена тема Комбинаторика из примерной программы по общеобразовательной учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для образовательных организаций (учреждений) среднего профессионального образования Луганской Народной Республики, утвержденной Министерством образования и науки Луганской Народной Республики (приказ от 20.07.18 года № 701-од).

Материал данного пособия опирается на знание предыдущих тем алгебры.

Новый учебный материал подан в объеме, необходимом для усвоения обучающимися на достаточном уровне. Теоретические блоки информации перемежаются с примерами решения типовых задач и средствами самоконтроля. Выполнение заданий для контроля знаний, представленных в конце изложения материала, позволяют оценить уровень усвоения обучающимися.

В пособии приведен экскурс в историю развития комбинаторики как науки; рассмотрены комбинаторные задачи; которые интересовали наших далеких предков, введены понятия: правило сложения и произведения, перестановки, размещения и сочетания.

Введение в комбинаторику

Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

П. Лаплас

Добрый день!

Предлагаю Вам изучить тему: «Основы комбинаторики»

«комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать». В настоящее время существует множество определений комбинаторики

Комбинаторика – это:

раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций, которые можно составить из данных элементов

выберите определение, которое вам по-душе!

П ервоначально комбинаторика возникла в XVI в. в связи с распространением различных азартных игр.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход известным немецким учёным Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1.07.1646 - 14.11.1716), который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве»(рис.1).

Рисунок 1 - Готфрид Вильгельм Лейбниц

Основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль(рис.2).

Рисунок 2 - Пьер Ферма и Блез Паскаль

П осле появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала(рис3).

Рисунок 3 - Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг

  Области применения комбинаторики

учебные заведения (составление расписаний);

сфера общественного питания (составление меню);

лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв).

география (раскраска карт);

спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками);

производство (распределение нескольких видов работ между рабочими);

агротехника (размещение посевов на нескольких полях);

а зартные игры (подсчёт частоты выигрышей);

химия (анализ возможных связей между химическими элементами);

биология (расшифровка кода ДНК);

военное дело (расположение подразделений);

астрология (анализ расположения планет и созвездий);

экономика (анализ вариантов купли-продажи акций);

криптография (разработка методов шифрования);

доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки).

Комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики

И, прежде, чем окончательно погрузиться в новый материал, предлагаю вам окунуться в историю и рассмотреть комбинаторные задачи, которые интересовали ваших далеких предков.

В древности для подсчета элементов применялись камешки. При этом наибольший интерес представляло такое количество камешков, из которых можно составить определенную геометрическую фигуру. Такие числа стали называть ФИГУРНЫМИ(рис.4).

Рисунок 4 – Фигурные числа

Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формуле N=n²

Были сконструированы треугольные числа (1,3,6,10,15...), пятиугольные (1,5,12,22,...) числа. На рисунке показан способ образования этих чисел.

Магические квадраты(рис.5)

Рисунок 5 – Магические квадраты

В древнекитайской рукописи рассказано предание о том, как император Ию, живший примерно 4000 лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На панцире черепахи был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.6). В этом рисунке была найдена удивительная закономерность. Если сложить цифры в каждом ряду или столбце, то получится число 15. То же самое получится и по диагонали.

Рисунок 6 – Священная черепаха

Это гравюра немецкого художника Альбрехта Дюрера(рис.7). В правом верхнем углу гравюры можно увидеть квадрат размерами 4 на 4.

Рисунок 7 – Гравюра Альбрехта Дюррера

Латинские квадраты(рис.8) (нет повторяющихся цифр в каждом из рядов и строк)

Рисунок 8 – Латинские квадраты

Задача Эйлера (рис.9)

Среди 36 офицеров 6 улан, 6 драгун, 6 гусар, 6 кирасир, 6 кавалергардов и 6 гренадеров, и, кроме того, среди них поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков. При этом каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли этих офицеров выстроить каре 6×6 так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге были офицеры всех рангов

Рисунок 9 – Иллюстрация к задаче Эйлера

Средства контроля

Запишите в тетради определение и области применения комбинаторики в современном мире

Решите задачу Эйлера

Продолжите составление магических квадратов

Внимательно рассмотрите числа, расположенные в каждом из рядов, и определите, какое число является «лишним»:

Проследите, как изменяются числа в каждом ряду, и продолжите каждый из рядов, вписав еще по 4 числа:

Правило произведения

Хотя, как гласит теория вероятности, 

в принципе может произойти все что угодно, 

кроме того, что не может произойти никогда.

Сей Алек

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

Правило суммы

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m  способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Пример1

Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами. 

Правило произведения 

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Пример2 

Если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Пока не совсем понятно, как это действует? Закрепим практикой.

Пример3

В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Решение: переберем все возможные варианты (рис.10)

Или можно просто воспользоваться правилом произведения: 2*2*2=8способов

Рисунок 10 – Варианты размещения горящих лампочек в коридоре

Пример4

Н а завтрак Вова может выбрать: тосты, плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?

Решение: переберем все возможные варианты (рис.11)

Или можно просто воспользоваться правилом произведения: 5*3=15способов

Рисунок 11- Варианты композиций завтрака

Пример5

На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
решение:4+3=7способов
Пример6

В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?
решение:4*3*2=24способа

Пример7

Из города А а город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. (рис.12) Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
решение: 5*3=15способов

Рисунок 12 – Варианты проезда из города в город

Средства контроля

1. Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать с помощью цифр:

а) 4 и 9;    б) 1,  2 и 3;    в) 5,  6,  7 и 8.

2. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр:

а) 0 и 2;    б) 3 и 4;    в) 5, 6 и 7;    г) 1,  2,  3 и 4.

3. Путешественник может попасть из пункта А в пункт С, только проехав через пункт В. Между пунктами А и В имеются три различные дороги, а между пунктами В и С – четыре дороги. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С?

Перестановки

Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».

Дж. Сильвестр

Перестановкой из элементов называется -элементное упорядоченное множество, составленное из элементов -элементного множества. 

Иначе: Перестановкой из элементов (или -перестановкой) называется размещение из элементов по без повторений. 

Число перестановок из элементов без повторений обозначается от французского слова perturbation. 

Теорема: число способов расположить в ряд различных объектов есть 

Читается: «Число перестановок из элементов без повторений равняется эн факториал»(восклицательный знак – это не опечатка. Это знак факториала в математике)

И снова страшное новое слово ФАКТОРИАЛ. 

n! - обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют "n-факториал" (в переводе с английского "factor" - "множитель").

По определению:

0!=1

1!=1

2!=1*2=2 

3!=1*2*3=6

4!=1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

                

С факториалом, по-моему, разобрались. Вернемся непосредственно к теме урока.

Перестановки симметричных объектов

различных предметов можно расположить по кругу способами, а если их можно еще и переворачивать, то различными способами. 

Пример1Представьте себе, что вы избрали профессию, которая, казалось бы, ни каким образом не связана с математикой, например, дизайнер интерьеров. Представьте себе, что заказчик высказал вам просьбу: 

"Расставьте 4 книги на полке так, чтобы бордовый и синий тома не стояли рядом. Покажите мне все варианты расстановки. Я выберу наиболее предпочтительный." 

Что вы станете делать? Вероятнее всего, начнете расставлять и показывать. Однако, чтобы не запутаться, не пропустить ни одного из возможных вариантов и не повторяться, нужно делать это по какой-нибудь системе. 

Например, сначала оставляем на первом месте бордовый том, рядом с ним может находиться зеленый или оранжевый. Если на втором месте стоит зеленый том, то далее могут стоять либо оранжевый и синий, либо синий и оранжевый. Если на втором месте стоит оранжевый том, то далее могут стоять либо зеленый и синий, либо синий и зеленый. Итого, получается 4 возможных варианта.(рис.13)

Рисунок 13 – Варианты размещения, если бордовый том на 1 месте

На первом месте может стоять любой из 4-ёх томов, значит описанную процедуру надо повторить еще 3 раза. Случай, когда на первом месте стоит синий том, получается такими же рассуждениями. (рис.14)

Рисунок 14 – Варианты размещения, если синий том на 1 месте

А следующие два случая отличаются тем, что на оставшихся трёх местах должны находиться бордовый и синий тома, но не рядом(рис.15). Например, когда на первом месте стоит зеленый том, оранжевый том должен стоять на третьем месте, чтобы разделять бордовый и синий тома, которые могут занимать, соответственно, либо второе и четвертое места, либо четвертое и второе.

 

Рисунок 15 – Последние два случая размещения книг на полке

В результате у нас получилось всего 12 вариантов расстановки 4-ёх книг на полке с заданным ограничением. Много это или мало? Если потратить по одной минуте на перемещение книг и обсуждение получившегося варианта с заказчиком, то, пожалуй, нормально. 12 минут можно и книжки подвигать, и поговорить. (Попробуйте посчитать, сколько получилось бы перестановок 4-ёх книг без всяких ограничений?)

А теперь представьте себе, что у заказчика книг больше, чем 4. Ну хотя бы 5. Понятно, что и вариантов расстановки будет больше, и реально переставлять их с места на место дольше, и запутаться и начать повторяться легче... Значит бросаться в бой без подготовки уже не стоит. Нужно сначала запланировать варианты на бумаге. Для краткости занумеруем наши цветные тома и будем переставлять на бумаге их номера. Чтобы меньше ошибаться, сначала выпишем все варианты перестановки, а затем вычеркнем те из них, которые подпадают под ограничение. Итак: 

Пример2"Расставьте 5 книг на полке так, чтобы 1-й и 2-й тома не стояли рядом. Покажите все варианты перестановок."

У нас 5 книг (или 5 цифр), каждая из которых может стоять на первом месте. Сделаем для каждого из этих 5-ти случаев свою табличку. На втором месте может стоять любая из оставшихся 4-ёх цифр, для каждой из них зарезервируем столбик в табличке(рис.16). 

Рисунок 16 – Варианты размещения книг

В каждом столбике помещаем пары строк, в которых на третьем месте стоит одна из оставшихся 3-ёх цифр, а две последние цифры меняются местами. Таким образом мы аккуратно выписываем все варианты перестановок. Подсчитаем их общее число. 

5(таблиц)×4(столбика)×3(пары строк)×2(строки)×1(вариант) = 120 (вариантов). 

И, наконец, вычеркнем из всех таблиц варианты, содержащие "12" или "21". Таких оказалось по 6 в первой и второй табличках и по 12 в оставшихся 3-ёх, всего 48 вариантов, не удовлетворяющих ограничению. Значит заказчику надо показать 120 − 48 = 72 варианта расположения 5-ти книг. На это уйдет больше часа, даже если тратить на обсуждение каждого варианта только минуту. 

Только где вы видели человека, который для перестановки пяти книг станет нанимать дизайнера? Реально такие задачи возникают в библиотеках, где нужно расставить книги для удобства посетителей, в больших книжных магазинах, где нужно расставить книги так, чтобы обеспечить увеличение спроса, и т.п. То есть там, где книг не единицы, и даже не десятки, а сотни и тысячи.

Считать варианты перестановок приходится не только для книг. Это может потребоваться для большого числа любых объектов практически в любой сфере деятельности. Значит, как дизайнерам, так и людям других профессий может понадобиться помощник, а еще лучше инструмент для облегчения подготовительного этапа, анализа возможных результатов и сокращения объема непроизводительного труда. Такие инструменты создавали и создают ученые-математики, а затем отдают их обществу в виде готовых формул. Математики не обошли своим вниманием вопросы, связанные с перестановками, а также с размещениями и сочетаниями разных элементов. Соответствующим формулам уже не один век. Эти формулы очень просты, подрастающей части общества их "вручают" на уроках школьной математики.

 

Пока не совсем понятно, как это действует? Решаем еще!

Пример3 "Имеется 7 книг. Подсчитайте, сколькими способами их можно расставить на полке"

Решение: мы переставляем местами 7 элементов, повторяться  одном наборе они не могут. Значит имеет место перестановка из семи элементов, т.е Р7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов!

То есть если мы каждый день будем менять порядок книг на полке, то в течение 13 с половиной лет у нас не будет одинакового дизайна полки!!!!!!!!

А попробуйте подсчитать то без формулы, вручную…. Ох как много времени это займет!

Пример4

Сколькими способами можно рассадить четверых обучающихся на 4 стульях?

Решение: х=Р4=1*2*3*4=24способа

Пример5

Сколькими способами можно рассадить четверых обучающихся на 4 стульях, поставленных по кругу?

Решение: х=Р3=1*2*3=6способов

Пример6

Сколькими способами можно разложить 6 открыток в 6 конвертов по одной в конверт?

Решение: х=Р6=1*2*3*4*5*6=720способов

И, напоследок, решим несколько примеров на факториал

Пример7 вычислить значение выражения

а)

б) 

в) 

г) 

д)

обратите внимание! При решении подобных примеров сначала делаем упрощение, а потом вычисление. А, впрочем, это можно и не запоминать. Вычислить сразу без упрощения все равно у вас не получится. Не верите? Попробуйте!

Средства контроля

Найти значение выражения

Сколькими способами можно установить дежурство по классу по 1 человеку в день в течение 10 дней?

Размещения

Учимся не для школы, а для жизни

Сенека

Пусть даны три элемента a,b,c. Из них можно создать такие соединения:

1) по одному элементу: a,b,c;

2) по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb;

3) по три элемента: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Если, например, рассматривать соединения по два элемента, тогда некоторые из них отличаются элементами (ab и ca), другие – порядком элементов ac и ca. Такие соединения называются размещением из 3 элементов по 2.

Размещением из n элементов по k называется любое упорядоченное множество из k элементов, состоящее из элементов данного множества.

Обозначается:

k показывает количество элементов размещения (сколько элементов выбирается)

n показывает количество элементов данного множества

Формула числа размещений

Пример1 Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Сколько всего имеется элементов для выборки? – 12 обучающихся. Значит n=12

Сколько элементов нужно выбрать за 1 подход? – 4 олимпиады. Значит k=4

способов

Ответ: 11880 способов

Пример2 Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Решение: номеров

Пример3 Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Решение:

Пример4

Вычислить: .

Решение:

Средства контроля

Вычислить:

Сколько существует способов для обозначения с помощью букв A, B, C, D, E, F вершин четырехугольника?

Найти значение выражения

Сочетания и их свойства

Задача комбинаторики – это задача размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений

Сочетанием без повторений из n элементов по k называется любое k-элементное подмножество данного n-элементного множества.

Формула числа сочетаний

(по определению считают, что

Пример1 Из 25 обучающихся одной группы можно выделить пятерых для дежурства по школе способами, то есть способами.

Особо внимательные могут сказать, что определение сочетания очень напоминает определение размещения. В обоих случаях из определенного набора элементов нужно выбрать несколько. Но ОСНОВНОЕ отличие в том, что в сочетаниях не важен порядок выбранных элементов, а в размещениях важен!

Так, в предыдущем примере не имеет значение, в каком порядке будут названы фамилии дежурных. А если будет необходимо из 25 обучающихся одной группы выбрать пять призеров конкурса, распределив занятые места, то будет иметь место размещение.

Некоторые свойства числа сочетаний без повторений

Пример2 Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета?

Решение:

Обратите внимание, в данной задаче мы дополнительно задействовали правило умножения (кстати, в чем оно заключается? Ответ запишите в тетрадях)

Пример3 Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор, и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Пример4

Сколько существует способов выбора двух карт из колоды 36 карт?

Средства контроля

Сколько различных аккордов, содержащих 4 звука, можно образовать из 12 клавиш октавы?

Найти значение:

Найти значение выражения, предварительно его упростив

Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет из 3 тюльпанов и 2 нарциссов?

Контроль знаний по теме

Вариант 1

Найти:

а) б) в) Р6

2. Упростить:

а) б) (р-7)!(р-5)(р-6)

3. Решить уравнение:

=6

4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют трехзначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чисел, кратных 3?

5. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще четверо любят читать стихи. Сколько различных концертных бригад можно составить из певца, гитариста и чтеца?

6. В комнате 10 стульев, пришли 7 гостей, сколько вариантов выбрать стулья для гостей?

Вариант 2

Найти:

а) б) в) Р4

2. Упростить:

а) б) (р-4)!(р-2)(р-3)

3. Решить уравнение:

=12

4.Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 2, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).

5. Для проведения ремонта бригадой из 10 человек надо 2 человека отправить на первый этаж, 5 человек на второй и остальные на улице. Сколько разных групп можно составить?

6. В турнире участвовали семь шахматистов, и каждый из них сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько всего было сыграно партий?

Вариант 3

Найти:

а) б) в) Р7

2. Упростить:

а) б) (n - 9)!(n-7)(n-8)

3. Решить уравнение:

4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 5, 8, 9 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

5. В ящике 30 шаров трех цветов: 11 красных, 10 зеленых и 9 желтых. Сколько возможно вариантов взять 9 шариков, из которых по три каждого цвета?

6. Из десяти врачей поликлиники три хирурга, три терапевта и четыре окулиста. Необходимо отправить мобильную бригаду из трех разных врачей к месту землетрясения. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 4

Найти:

а) б) в) Р3

2. Упростить:

а) б) (р-6)!(р-4)(р-5)

3. Решить уравнение:

=30

4. Человек забыл код, открывающий замок на его чемодане, но вспомнил, что код состоит их трех разных цифр, каждая из которых не больше трех. Кроме того, в код точно не входит сочетание 13. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть свой чемодан?

5. Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?

6. В школьном хоре имеется шесть солистов. Сколько есть вариантов выбора трех из них для участия в конкурсе

Список использованной литературы

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/[Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.] – 3-е изд. – М.:Просвещение, 2016. – 463с.: ил.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

Сайт "Домашнее задание": задачи на смекалку http://www.domzadanie.ru

Math.ru: Математика и образование http://www.math.ru

EqWorld: Мир математических уравнений http://eqworld.ipmnet.ru

Exponenta.ru: образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru