Учебно-методическое пособие "Решение текстовых задач с помощью графов"

Учебно-методическое пособие

«Решение текстовых задач с помощью графов»

Автор: Свинцова Наталья Юрьевна

Должность: учитель математики 1 квалификационной категории

Место работы: Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №10»

Регион: Республика Коми, город Печора

Аннотация (Тезис к публикации): Учебно-методическое пособие представляет собой один из способов организации изучения темы «Решение текстовых задач при помощи уравнений» и при подготовке к государственной итоговой аттестации в 9 классе.

Материал предназначен для учителей математики и учащихся 8-9 классов. Его применение будет способствовать повышению эффективности учебного процесса, расширению перечня предлагаемых заданий и применения нестандартного подхода при решении текстовых задач с помощью сетевых графов.

Введение

Решение текстовых задач является сложной деятельность для многих учащихся. Сложность состоит в том, что перед решением любой задачи её условие необходимо перевести на математический язык, ввести переменную, соотнести полученный результат с условием задачи и, если необходимо, найти значение еще каких-либо величин. Каждый этап для многих учащихся становится трудно достижимым.

Данное учебно-методическое пособие составлено для учащихся, которые, самостоятельно или с помощью учителя, хотят освоить эффективный способ решения текстовых задач, включенных в задание №21 ОГЭ: движение, совместная работа, заполнение резервуара с водой и других.

Эффективность данного способа заключается в составлении графов, что позволяет установить связи и отношения между заданными и искомыми величинами, осмыслить идею решения и её логику. Данный способ будет увлекательным занятием для учеников, значительно повысит интерес к изучению темы из курса алгебры «Решение задач с помощью уравнений», а также отработки навыков при подготовке к решению задания №21 ОГЭ. В пособии приводятся примеры составление графов при решение задач «Движение по прямой».

Основная часть

Вводятся основные понятия о графах на примере элементарной задачи.

Автобус шёл 2ч со скоростью 50 км/ч и 3ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошел автобус за эти 5 часов?

Запись оформим в таблице

Таким образом, получился граф к задаче. Каждая из трех линий, связывающая величины называется ребром. Для заполнения штриховкой кружков, необходимо следовать правилу: зная два закрашенных кружка на одном ребре, необходимо найти (заштриховать) третий. Если известен (заштрихован) только один кружок из трех, необходимо ввести переменную. Для данной задачи: первое ребро – известные (закрашенные) кружки U1=50 км/ч, t1=2 часа. По данному ребру можно найти S1, обратившись к формуле S=Uxt. 50х2=100. Заштриховываем кружок S1 и подписываем полученное значение. Аналогичным образом поступаем со вторым ребром. Остается третье ребро, ведущее к формуле S1+S2. 100+180=280км

В результате поэтапного решения получается следующий граф:

Далее задачи необходимо усложнять. Приведу решение нескольких задач на движение.

Задача 1.

Путь от одного населенного пункта до другого грузовой автомобиль прошел за 9 часов, а легковой за 6 часов. Найдите скорость легкового автомобиля, если скорость грузового автомобиля составляла 40км/ч.

В данной задаче автомобили проходят один и тот же путь с разными скоростями, поэтому кружок S будет общим. Для грузового автомобиля будем использовать индекс 1, для легкового – 2.

Граф решения задачи будет выглядеть следующим образом:

Пояснение по составлению графа. Заштриховываем и подписываем известные кружки. U1=90, t1=9, t2=6. На нижнем ребре заштрихованы 2 кружка из трех, значит найти значение третьего кружка можно без введения переменной, обратившись к формуле. 40х9=360. Таким образом, в верхнем графе также становятся закрашенными два кружка из трех. Найдем значение для третьего кружка. 360:6=60. Ответ: 60 км/ч.

Задача 2.

Турист проехал на скутере 28 км по шоссе и 25 км по проселочной дороге. При этом затратил на весь путь 3 часа 36 минут. С какой скоростью ехал турист по проселочной дороге, если известно, что по шоссе он ехал в 1,4 раза быстрее?

В данной задаче покажем, что метод графов удобен тем, что опираясь на составленную схему, можно с легкостью написать пояснение, какую именно величину берем за переменную, каким образом составили уравнение.

Пояснение по составлению графа. Расстояние, которое проходил турист разное, в зависимости от типа дороги. Поэтому составляем два ребра. Заштриховываем известные в задаче величины: Sш=28, Sп=25, зависимость скоростей (Uш>Uп в 1,4 раза) Uш=1,4Uп, а также общее время, потраченное на весь путь 3 ч 36мин=3,6ч.

На каждом ребре только один из трех заштрихованных кружков, следовательно необходимо ввести переменную. Пусть Х км/ч турист двигался по проселочной дороге, тогда 1,4Х км/ч он двигался по шоссе.

Время, затраченное на движение по шоссе 28:1,4х=20:х, время, затраченное на движение по проселочной дороге 25:х. Пройдем по последнему ребру, которое указывает, что время движения по проселочной дороге и по шоссе необходимо сложить. Составим уравнение: 20:х+25:х=3,6. Решив данное уравнение, получим ответ х=12,5 км/ч

Задача 3

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км вышли одновременно два пешехода. Один из них прибыл в пункт В на 54 минуты позже, чем другой. Найдите скорость движения каждого пешехода, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Пояснение по составлению графа. Отметим известные величины. Расстояние, которые прошли пешеходы, одинаковое. Поэтому кружок S=18 для обоих пешеходов будет один. Из него выйдут два ребра U1, t1 и U2, t2. Также ребрами отметим зависимость U1>U2 на 1 км/ч и t1>t на 54 минуты (0,9ч). На каждом ребре только один из трех известных величин (заштрихованных кружков), поэтому необходимо ввести переменную Х. Пусть Х км/ч будет скорость второго пешехода, тогда скорость первого – (х-1) км/ч. Исходя из этого, найдем время, потраченное на путь вторым пешеходом. Оно равно 18:х, а время первого пешехода 18:(х-1). Последнее (вертикальное) ребро, соединяющее время, указывает нам на разницу во времени между пешеходами. Составим уравнение:

18:х-18:(х-1)=0,9 Решив данное уравнение, находим скорость одного пешехода 5км/ч, скорость другого 4 км/ч.

Литература

 1. Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч. 2 / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — перераб. — М.: Мнемозина (новый учебник, года выпуска: 2018-2020)

2. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч. 2 / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — перераб. — М.: Мнемозина (новый учебник, года выпуска: 2018-2021)

3. Открытый банк заданий [Электронный ресурс]. – Режим доступа: www.mahteg а.ru