Урок по математике в 11 классе «Повторение: производная и ее применение»

Урок 3.

Повторение: производная и ее применение.

Цели урока: знать правила дифференцирования функций, уравнение касательной к графику функции в заданной точке, геометрически и физический смысл производной. Уметь составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, находить тангенс угла наклона касательной и ее угловой коэффициент.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Заранее подготовить следующий рисунок, по нему ответить на вопросы.

Что называется секущей для графика функции?

Какая прямая называется касательной к графику функции?

Какая из отмеченных точек является точкой касания? Определите ее координаты.

Записать уравнение касательной к графику функции в заданной точке в общем виде.

Чему равен угол наклона касательной к графику функции в заданной точке? Как определяется тангенс угла наклона касательной?

Как находится угловой коэффициент касательной?

Известно, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен 0,6. Чему равно значение производной в этой точке?

Касательная к графику функции f(x) в точке с абсциссой образует с положительным направлением оси OX угол 45 градусов. Найдите в этой точке.

Вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции f(x) в точке .

Если класс слабый, то коротко записать алгоритм в тетрадь.

В чем заключается геометрический смысл производной?

В чем заключается физический смысл производной?

1. вычислить

   найти ;

   вычислить

   Записать в общем виде уравнение касательной и в него подставить заданное значение и вычисленные значения и . Затем полученное уравнение преобразовать к виду

3. Решение задач.

Разобрать следующие задачи.

Найдите скорость и ускорение изменения функции в точке .

Составить уравнение касательной к графику заданной функции в точке с абсциссой :

а)

б)

в)

В третьем задании (в) нет необходимости, как в двух первых, использовать общее уравнение касательной. Ведь графиком последней функции является полу окружность с центром (0; 0) и радиусом 1. Поэтому искомое уравнение касательной имеет вид .

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции через точку с абсциссой x = 1.

В каких точках касательные к графику функции параллельны оси OX.

4. Задание из ЕГЭ.

Задание 1A:

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

1) -3; 2) -4,5; 3) 3; 4) 0.

Решение:

Ответ: 3.

Задание 2A:

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

1) -3; 2) 0; 3) 3; 4) 5.

Решение:

Ответ: 1.

Задание 3A:

К графику функции проведена касательная в точке с абсциссой . Как расположена точка пересечения этой касательной с осью OY.

1) выше точки (0; 0); 2) ниже точки (0; 0);

3) выше точки (0; 1); 4) в точке (0; 0).

Решение:

Составим уравнение касательной в точке .

- уравнение касательной в точке .

Если x = 0, то , значит, точка пересечения касательной с осью OY – (0; ).

Ответ: 1.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Знать уравнение касательной к графику функции в данной точке.

Решить следующие задачи.

1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

а) 1; б) 2; в) 0; г) -1;

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

а) 15; б) 12; в) 11; г) 7;

3. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2.

Ответ: .