Урок геометрии в 10 классе «Многогранники вокруг нас»

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №41»

«Многогранники вокруг нас»

подготовила

учитель математики Тарабина Г.М.

г.Саранск

Цель занятия: Выявить основные виды многогранников в окружающем мире

Задачи:

Познакомиться с видами многогранников в научной литературе

Обосновать существование основных видов многогранников

Познакомиться с принципами получения многогранников

Рассмотреть вопрос о существовании многогранников в окружающем мире

Показать связь геометрии с другими науками

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести «Многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни, но это неудивительно, ведь они окружают нас везде: на земле, под землей, в космосе и т.д.

Определение

Многогранник или полиэдр —это:

поверхность, составленная из многоугольников и

ограничивающих некоторое геометрическое тело.

2. Совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами.

Правильные многогранники

Многогранник называется правильным, если все его грани правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
 

Существует 5 видов правильных многогранников:

ТЕТРАЭДР

На Названия многогранников

Прпришли из Древней Греции,

в нв них указывается число граней:

«эдра» - грань;

«тетра» 4;

«гекса» - 6;

«окта» - 8;

«икоса» - 20;

«додека» - 12.

 

ГЕКСАЭДР

ОКТАЭДР

ДОДЕКАЭДР

ИКОСАЭДР

Полуправильные многогранники

Архимед описал

полуправильные многогранники -это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их  усечения.

усеченный тетраэдр

усеченный куб

кубооктаэдр

усеченный октаэдр

усеченный икосаэдр

усеченный додекаэдр

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Эта теорема была открыта французским ученым Рене Декартом еще в 1640 году, затем забыта более чем на сто лет и лишь в 1752 году переоткрыта математиком Леонардом Эйлером, имя которого она носит.

Для всякого выпуклого многогранника между числами В, Г и Р выполняется

соотношение В+Г - Р = 2 ( вершины, грани, рёбра).

Гипотеза Дюрера

На страницах своей книги Дюрер приводит связные реберные развертки нескольких, иногда довольно сложных, многогранников. Вряд ли он задумывался над тем, всегда ли это возможно и хватает ли для изображения развертки одного многоугольника, но следующее предположение часто называют его именем. Гипотеза Дюрера состоит в том, что любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну связную реберную развертку.

Реберная развертка многогранника состоит из набора многоугольников, расположенных без пересечений в одной плоскости, и условий склейки границ этих многоугольников.

Если какое-то разрезание многогранника по ребрам позволяет обойтись одним многоугольником, при этом не нарушив условия непересечения, то такая реберная развертка называется связной

Гипотеза Дюрера говорит о выпуклых многогранниках. Она не доказана и не опровергнута и по сей день.

Многогранники в природе

«В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.»

Д. Гильберт

Математики говорили, что пчелы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Значит мудрые пчелы экономят воск и время для постройки сот. Площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой "математической" работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остаётся просветов. А где ещё возможность увидеть эти удивительные тела?

Многогранники оказались в центре внимания и биологов в их спорах относительно формы вирусов. Большинство вирусов имеют форму многогранников, например, икосаэдра. Геометрические свойства икосаэдра позволяют экономить генетическую информацию.

Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передаёт форму кристаллов поваренной соли NaCl, кристалл серного колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдр, бор - икосаэдр.

Многогранники в живописи

Альбрехт Дюрер

Альбрехт Дюрер (1471-1528), художник и график, величайший представитель немецкого Ренессанса. В своё время Дюрер был поражен художественной манерой художника Барбари, строившего свои композиции на основе глубокого изучения системы пропорций, то есть строго определенного соотношения частей изображаемого между собой. «Я в то время более желал узнать, в чем состоит его способ, нежели приобрести королевство», — признавался Дюрер впоследствии. Он стал изучать законы перспективы, мечтал встретиться с прославленными итальянскими мастерами, учиться у них,состязаться с ними.

Идею единства художественного вдохновения и математической теории отражает созданная в 1514 г.знаменитая гравюра «Меланхолия».

Женщина окружена различными предметами. Назначение некоторых — понятно, других — загадочно. Вместе они образуют хаос. В нем нелегко разобраться.

Вот огромный многогранник неправильной формы. Совсем недавно, заинтересовавшись гравюрой Дюрера, минералоги определили — это кристалл плавикового шпата. Такие находили в горных разработках под Нюрнбергом. Но это современное объяснение не делает облик кристалла менее удивительным. Дюреру причудливое создание природы показалось таинственным. Он решил, что так же будет воспринимать его и зритель гравюры.

Многие художники испытывали постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы

Сальвадор Дали

Сальвадо́р Дали́ (полное имя Сальвадор Доме́нек Фелип Жасинт Дали и Доме́нек, маркиз де Пуболь, исп. Salvador Domènec Felip Jacint Dalí i Domènech, Marqués de Dalí de Púbol; 11 мая 1904 — 23 января 1989) — испанский живописец, график, скульптор, режиссёр, писатель. Один из самых известных представителей сюрреализма. Маркиз де Дали де Пуболь (1982). Работал над фильмами: «Андалузский пёс», «Золотой век», «Заворожённый». Автор книг «Тайная жизнь Сальвадора Дали, рассказанная им самим», «Дневник одного гения» и эссе «Трагический миф Анжелюса Милле».

Сальвадор Дали родился 11 мая 1904 года в городе Фигерасе, провинция Жерона, в семье зажиточного нотариуса. По национальности был каталонцем, воспринимал себя в этом качестве и настаивал на этой своей особенности. Имел сестру и старшего брата (12 октября 1901 — 1 августа 1903), который умер от менингита. Позднее в возрасте 5 лет, на его могиле, родители сказали Сальвадору, что он реинкарнация своего старшего брата.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Морис Корнелис Эшер

Морис Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher; 1898—1972) — нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников много математиков, которые видят в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника.

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком.

Список использованной литературы

 

1.Александров А.Д. «Выпуклые многогранники», ГосИздат ТехТеорЛит, 1950

2.Смирнова И. М. ,Смирнов В. А. «Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники», Москва: МЦНМО, 2010

Использованные материалы и Интернет-ресурсы

1.http://ru.wikipedia.org

2.http://kamensky.perm.ru/proj/mng/01.htm

3.http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=177af321-edc5-4fd0-ada2-487f20471153

4.http://art.1001chudo.ru/germany_1556.html

5.http://referat.resurs.kz/ref/pravilnie-mnogogranniki

6.http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/MNOGOGRANNIK.html

7.http://mnogograns.narod.ru/

Многогранники вокруг нас
PPT / 6.85 Мб