Татьяна Плотникова

Урок алгебры «Применение свойств квадратичной функции при решении задач на оптимизацию» (9 класс)

Материал опубликован 25 February 2020

Пояснительная записка к презентации

Урок по теме «Применение свойств квадратичной функции при решении задач на оптимизацию».

Плотникова Татьяна Владимировна

учитель математики

МБОУ «СШ №1 г.Суздаля»

Пояснительная записка:

Предлагаемый урок разработан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования. Преподавание алгебры в 9-м классе ведётся по учебнику А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и др. «Алгебра 9». По учебному плану на изучение алгебры в 9-м классе отводится 3 часа в неделю (102 уроков в год). В соответствии с программой изучается раздел «Квадратичная функция». В рамках этого раздела содержится тема «Квадратичная функция, её график и свойства», на изучение которой отводится 6 уроков. Данный урок является пятым в теме. На нём происходит закрепление изученного ранее материала и показывается, как свойства квадратичной функции (в частности, умение находить наибольшее или наименьшее значение функции) используются при решении задач на оптимизацию.

Обоснование мотивационного этапа урока:

На этом уроке создаются условия для:

возникновения внутренней потребности включения в деятельность(«хочу»), приём «удивляй»;

актуализация требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);

установление тематических рамок учебной деятельности («могу»), вопросов для учащихся, позволяющих им определить последовательность действия для решения проблемы.

Мотивационный этап урока призван сконцентрировать внимание учащихся на изучаемом материале, заинтересовать их, показать необходимость и пользу изучения. Усиливает мотивационный характер и использование отрывка из рассказа Л.Н.Толстого «Много ли человеку земли нужно». Учитель показывает, что человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше.

На уроке используются различные методы: актуализация знаний, выполнение заданий со сменой установки, фронтальная, индивидуальная, парная и самостоятельная работы. Урок динамичен, использование различных форм и методов, использование проблемных ситуаций позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся на протяжении всего урока, построенного на основе системно-деятельностного подхода.

Тип урока: урок закрепления и комплексного применения новых знаний.

Цель урока: создание условий для организации продуктивной деятельности учащихся по применению знаний об исследовании квадратичной функции при решении задач на оптимизацию.

Учебные задачи, направленные на достижение

личностных результатов обучения: развивать познавательные интересы, интеллектуальные и творческие способности учащихся; развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач.

метапредметных результатов обучения: формировать умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных проблем; развивать умение видеть математическую задачу в окружающей жизни; формировать способности учащихся использовать математические знания в разнообразных ситуациях, требующих для своего решения различных подходов, размышлений и интуиции;

предметных результатов обучения: развивать умение заменять исходную жизненную задачу ее моделью; работать над формированием умения опытным и логическим путём составлять алгоритмы решения задач на оптимизацию; совершенствовать навыки учащихся в использовании свойств квадратичной функции при решении задач на оптимизацию.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, мультимедийный проектор, документ камера, лист самоконтроля, раздаточный материал (геометрические фигуры)

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, исследовательская работа.

Приёмы мотивации учебной деятельности:

1.Использование компьютерной презентации.

2. Высказывание известного математика П.Л.Чебышева – эпиграф к уроку.

3. Использование жизненного опыта учащихся – встречались ли ученики или их родители в жизни с задачами, у которых решение должно быть оптимальным.

4. Использовании отрывка из рассказа Л.Н.Толстого, написанного в 1886 году.

5. «Польза от знания темы». В начале урока создаются условия для осознания учеником того, что полезного и нового он узнает на уроке, где сможет применить усвоенное, какие преимущества ему даст усвоение материала на уроке.

6. Создание проблемной ситуации – как литературному герою помочь определить, какой четырёхугольник будет имеет наибольшую площадь.

7. В конце урока создаются условия для оценки достижения задач, поставленных в начале урока, определения причины удачи или неудачи.

Технологическая карта урока:

Этап

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые умения

1. Мотивационно-ориентировочный блок

1.1. Мотивация к учебной деятельности.

Учитель приветствует учащихся.

Читает эпиграф к уроку: “…особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды” П.Л.Чебышев (слайд 1).

Как вы думаете какие задачи имел виду П.Л.Чебышев?

Как вы думаете: вам или вашим родители в жизни приходилось иметь дело с такими задачами?

Учитель обобщает рассуждения обучающихся и подводит итог беседы:

В настоящее время в нашей стране большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности и качества во всех сферах производства. В этой связи особую значимость приобретает умение решать так называемые задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п.

Записывают в тетради число, вид работы.

Высказывают предположения. Беседуют с учителем, между собой.

Л: осознание необходимости получения новых знаний, мотивация познавательной деятельности.

К: умения слушать, вступать в диалог, вырабатывать совместную точку зрения, участвовать в коллективном обсуждении.

П: развитие мыслительных операций

1.2 Этап выделения проблемного поля и целеполагания

Читает отрывок из рассказа Л.Н.Толстого «Много ли человеку земли нужно» (приложение 1) (слайд 2).

Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец требуемую сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, пробежал на место и упал без чувств, обежав четырёхугольник периметром 40 км. Какой четырёхугольник должен был обежать Пахом, чтобы его площадь была наибольшей? (слайд 3).
Как вы думаете: что должен был знать Пахом, чтобы получить в дар как можно больше земли?

Предлагает обсудить в парах: какие знания необходимы, чему мы должны научиться на уроке, чтобы помочь Пахому.

Выдаёт на каждую парту по четыре фигуры: прямоугольник со сторонами 11 см и 9 см, квадрата со стороной 10 см, прямоугольной трапеции с основаниями 2см и 10 см и боковыми сторонами 13 см и 15 см и ромба со стороной 10 см (и наименьше диагональю, равной 10 см) (слайд 4).

Вычислите и сравните площади этих фигур.

(приложение 2).

С помощью технологии «Проведи исследование» учитель обобщает вывод учащихся, просит сформулировать тему и цель урока (слайд5).

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты ответов на его вопросы.

Обучающиеся работают парами. Вычисляют площадь:

прямоугольника со сторонами 11 см и 9 см (99 см2);

квадрата со стороной 10 см(100см2);

прямоугольной трапеции с основаниями 2см и 10 см и боковыми сторонами 13 см и 15 см (78 см2);

ромба (87 см2)

Анализируют информацию, проводят ее синтез, сравнивают, делают выводы.

В ходе коллективного обсуждения приходят к выводу, что нам необходимо найти прямоугольник, у которого площадь будет наибольшая.

Формулируют тему "Применение свойств квадратичной функции при решении задач на оптимизацию" и цель "Учиться применять знания по изучаемой теме при решении практических задач".

Записывают тему урока.

К: умение высказывать собственные мысли, умение слушать и воспринимать другого, понимать собеседника.

П: умение перерабатывать информацию, выделять существенные признаки

Р: самостоятельное выделение и формулирование целей.

Л: личностное самоопределение, осознание необходимости получения новых знаний.

2. Организационно-деятельностный блок

2.1 Этап актуализации опорных знаний

Даны четыре графика квадратичной функции. Для каждого графика определить промежутки возрастания(убывания) функции, наибольшее(наименьшее) значение.

(слайд 6).

Самостоятельно выполняют задание №1 в листе самоконтроля (приложение 3).

К доске вызывается ученик, который презентует свою работу с помощью документ камеры. Остальные учащиеся проверяют решение и оценивают свою работу.

Л: оценивание усвоенного раннее материала.

Р: формирование умений планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.

П: активизация опорных знаний и умений

2.2 Этап применения знаний в нестандартной ситуации.

Итак, Пахом прошёл за день 40 км.

Попробуйте при данном условии сформулировать математическую задачу (постройте математическую модель).

На доске рисует прямоугольник.

(слайд 7).

Как найти периметр прямоугольника?

С помощью чего будет решаться задача?

Что обозначим за х?

Какие значения может принимать х?

Как выразить площадь прямоугольника?

Получилась квадратичная функция.

Нам надо найти её наибольшее значение.

Вспомните свойства квадратичной функции.

Вычислите координаты вершины параболы.

Вычислите стороны прямоугольника.

Сделайте вывод: какой прямоугольник должен обойти Пахом, чтобы получить больше земли, и чему равна его сторона?

Предлагает составить алгоритм решения подобных задач.

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты текста задачи и в ходе коллективного обсуждения приходят к выводу: «Найти сторону прямоугольника, который при периметре, равном 40 км, имеет большую площадь».

Вступают в диалог с учителем.

Отвечают на его вопросы. Записывают выражение, для нахождения площади.

S=х*(20-х)

S= - х2+20х.

Учащиеся вспоминают, что если ветви параболы направлены вниз, то в вершине параболы функция принимает наибольшее значение.

х0=-20/(-2)=10

у0=-100+200=100.

Отвечают на вопрос учителя и делают вывод: Пахом, чтобы получить больше земли, должен был обойти квадрат со стороной 10 км и его площадь будет равна 100 км2.

Вступают в диалог с учителем. Предлагают варианты последовательности действий. Составляют алгоритм решения подобных задач. (приложение 4).

П: умения логически рассуждать, делать умозаключение, формирование интереса к теме.

Л: готовность к самообразованию, осознание личной ответственности за результат; умение переносить предметные знания на другие сферы деятельности человека.

К: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении, давать полный ответ, доказывать свою точку зрения.

Р: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи.

2.3 Этап первичного усвоения новых знаний.

Учитель предлагает обучающимся по составленному алгоритму действий решить следующую задачу:

Периметр основание лотка для перевозки хлеба составляет 260 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь основания была наибольшей?

(слайд 8).

Управляет познавательной деятельностью обучающихся, оказывает дозированную помощь

Организует обсуждение итогов работы, уточняет и дополняет ответы обучающихся.

Обучающиеся работают парами. Выполняют решение в листе самоконтроля

Учащиеся, первыми решившие задачу правильно, выходят к доске, с помощью документ камеры презентуют свою работу.

Остальные учащиеся проверяют решение и оценивают свою работу.

Р: осознание того, что усвоено, а что подлежит усвоению; структурирование собственных знаний.

П: умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

К.: умение сотрудничать в парах, принимать на себя роль консультантов и экспертов, выслушивать мнение напарника.

Л: умение работать в паре, аргументация своего мнения.

Физкультминутка (для глаз)

2.3 Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.

Учитель предлагает обучающимся решить следующую задачу:

Для строительства склада заготовлен материал на наружные стены длиной 32 м и высотой 4 м. Какими должны быть размеры склада (в виде прямоугольного параллелепипеда), чтобы он имел наибольший объём? (слайд 9).

Управляет познавательной деятельностью обучающихся, оказывает дозированную помощь

Решают задачу самостоятельно в листах самоконтроля.

Выполняют взаимопроверку по слайду презентации, оценивают свою работу.

Р: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона.

Л: находчивость, активность при решении задач; умение оценивать свои достижения

П: умение применять полученные знания для решения задач

3. Рефлексивно-оценочный блок

3.1 Рефлексия учебной деятельности

Предлагает учащимся вспомнить, какую цель ставили в начале урока. Спрашивает, достигли ли ее. Согласны ли с эпиграфом. Организует рефлексию. Предлагает из облака слов выбрать наиболее значимые слова для каждого ученика и записать с их помощью свое отношение к работе на уроке (приложение 5).

(слайд 10).

Соотносят полученную информацию с той, что была у них в начале урока, выясняют на какие вопросы найдены ответы, а на какие еще нет. Составляют свое маленькое резюме о своей работе на уроке.

Оценивают свою работу на уроке в листах самоконтроля и сдают его учителю.

Л: умение оценивать свои достижения, выявлять причины неудачи.

К: умение адекватно оценивать результат, сотрудничать со сверстниками и учителем.

П: умение сопоставлять цель и результат

Объяснение домашнего материала

4.1 Домашнее задание

Предлагает записать домашнее задание (приложение 6). (слайд 11).

Критерии оценки домашнего задания:

одна задача – «3», две задачи – «4», три задачи – «5»

Благодарит за работу.

Формулируют уточняющие вопросы учителю, записывают в дневники домашнее задание.

Саморегулирование

Литература:

1. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы. – М.: Просвещение, 2011. – 64 с. – (Стандарты второго поколения).

2.Учебник «Алгебра – 9» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и др.

3.Методическое пособие для учителя Е.В.Буцко, А.Г.Мерзляк к учебнику.

4.https://infourok.ru/zadachi-na-optimizaciyu-316174.html

5.htt ps://rvb.ru/tolstoy/01text/vol_10/01text/0259.htm - МНОГО ЛИ ЧЕЛОВЕКУ ЗЕМЛИ НУЖНО

6.https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=789718

7. https://wordart.com/create

Приложение 1:

Стал Пахом говорить:

— Я вот слышал, у вас купец был. Вы ему тоже землицы подарили и купчую сделали; так и мне бы тоже.

Все понял старшина.

— Это все можно,— говорит. — У нас и писарь есть, и в город поедем, и все печати приложим.

— А цена какая будет? — говорит Пахом.

— Цена у нас одна: тысяча рублей за день.

Не понял Пахом.

— Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?

— Мы этого,— говорит,— не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню тысяча рублей.

Удивился Пахом.

— Да ведь это,— говорит,— в день обойти, земли много будет.

Засмеялся старшина.

— Вся твоя!— говорит. — Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

— А как же,— говорит Пахом,— отметить, где я пройду?

— А мы станем на место, где ты облюбуешь, мы стоять будем, а ты иди, делай круг; а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади, потом с ямки на ямку плугом проедем….

Приложение 2:

Приложение 3:

Лист самоконтроля ученика______________________________________

Задание №1:

На рисунке изображён график функции у=ах2+вх+с.

Заполните таблицу:

№	Укажите значения переменной х, при которых функция возрастает.	Укажите значения переменной х, при которых функция убывает.	Укажите значение переменной х, при которых функция принимает наибольшее (наименьшее) значение	Укажите наибольшее(наименьшее) значение функции.
1
2
3
4

Оценка___________

Задание №2:

Заполните пропуски:

1 этап: Составление математической модели:

Прямоугольник	Измерения
длина	х см
ширина	( )см
площадь	S(х) = х*( ) cм2

Рассмотрим функцию, определяющую площадь прямоугольника:

S(х) = _________________________________, при х ∈( ; )

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию S(х)=____________________________ на наибольшее значение.

Ветви параболы направлены____________________, значит, в вершине параболы функция примет __________________ значение.

Вычислим координаты вершины параболы:

х0=- ; х0=

у0=у(х0); у0=

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, наибольшее значение функция принимает при х =___.

Итак, чтобы площадь основания лодка была наибольшей, его стороны должны быть: ____________

Ответ: ________

Оценка___________

Задание №3:

Заполните пропуски:

1 этап: Составление математической модели:

Прямоугольный параллелепипед	Измерения
высота	4 м
ширина	х м
длина	( )м
Объём	V(х) = 4х( )м3

Рассмотрим функцию, определяющую ____________________________

V(х) = _____________________________, при х ∈( ; )

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию V(х)= ____________________________ на __________________ значение.

Ветви_______________направлены____________________, значит, в _______________________ функция примет __________________ значение.

Вычислим координаты___________________:

х0=

у0=

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, __________________ значение функция принимает при х =___.

Итак, чтобы объем склада был ___________________, его размеры должны быть: ____________

Ответ: ________

Оценка___________

Оцени свою деятельность на уроке:

Подведение итогов:

1.На уроке я работал (активно / пассивно)

2.Своей работой на уроке я ( доволен / не доволен)

3.Урок для меня показался (коротким / длинным)

4.За урок я(не устал / устал)

6.Материал урока мне был (понятен / не понятен, полезен / бесполезен, интересен / скучен)

7.Домашнее задание (я смогу-не смогу выполнить)

Моя оценка за урок ___________

Приложение № 4:

Алгоритм по решению задач на оптимизацию:

I этап. Составление математической модели.

Проанализировав условия задачи, выделить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначить ее буквой в зависимости от содержания задачи (например, у, S – путь или площадь, V – объём)

Одну из неизвестных величин принять за независимую переменную и обозначить ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установить реальные границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи.

Исходя из условия задачи, выразите у(S,V) через х.

II этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(х), х €Х найдите у наименьшее (наибольшее) в зависимости от того, что требуется в условии задачи (вычислить координаты вершины параболы).

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью. Записать ответ в терминах предложенной задачи.

Приложение №5:

Приложение №6:

Задача №1

Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Задача №2

Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Задача №3

Необходимо построить отрытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив?