Урок алгебры в 11 классе «Выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена»

У р о к 8.
Выделение квадрата двучлена
из квадратного трехчлена

Цели: формировать у учащихся умение выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена и решать задачи с помощью этого преобразования.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел: –2; –1; 0; 1; 2 – являются корнями квадратных трехчленов х2 + 4х + 3 и 5х – 2х2?

III. Объяснение нового материала.

В 8 классе учащиеся уже решали квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, то есть данный прием им знаком. Однако следует еще раз разобрать несколько примеров и записать алгоритм, по которому выполняется это преобразование.

Сначала лучше привести несложный пример, где коэффициент а квадратного трехчлена равен 1, а коэффициент b – четный:

х2 – 6х + 4 = х2 – 2 · 3 · х + 32 – 32 + 4 = (х – 3)2 – 5.

Затем нужно разобрать сложный пример. При этом учащиеся записывают в тетрадях проводимые преобразования и их словесное описание в общем виде, то есть составляют алгоритм выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

ax2 + bx + c 2х2 + 16х + 5

1) Вынести за скобки коэффициент а:

2) Представить выражение в виде удвоенного произведения двух множителей:

8х = 2 · 4 · х

3) К выражению в скобках прибавить и вычесть :

4) Представить часть выражения в скобках в виде полного квадрата:

5) Раскрыть скобки:

; 2 (х + 4)2 – 27;

2х2 + 16х + 5 = 2 (х + 4)2 – 27.

Далее следует разобрать пример 3 из учебника, который показывает, как прием выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена может быть использован при решении геометрической задачи.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 64, № 66.

2. № 68.

Р е ш е н и е

Выделим квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена:

2х2 – 4х + 6 = 2 (х2 – 2х + 3) = 2 (х2 – 2 · 1 · х + 12 – 12 + 3) = 2 ((х – 1)2 +
+ 2) = 2 (х – 1)2 + 4.

Выражение 2 (х – 1)2 положительно при любом х ≠ 1, поэтому сумма 2 (х – 1)2 + 4 принимает наименьшее значение при х = 1 и это значение равно 4.

О т в е т: при х = 1 наименьшее значение равно 4.

3. № 70.

Р е ш е н и е

Пусть один катет треугольника равен х см. Тогда второй катет равен (6 – х) см, а площадь треугольника равна x (6 – x) см2.

Раскрыв скобки в выражении x (6 – x), получим 3х – x2. Выражение –x2 + 3х является квадратным трехчленом. Выделим из него квадрат двучлена:

–x2 + 3х = –(х2 – 6х) = –(х2 – 2 · 3 · х + 32 – 32) = –((х – 3)2 – 9) =
= –((х – 3)2 + .

Выражение –(х – 3)2 отрицательно при любом х ≠ 3, поэтому сумма –(х – 3)2 + принимает наибольшее значение при х = 3. Таким образом, площадь будет наибольшей, когда один катет треугольника равен 3 см, тогда второй катет тоже равен 3 см, то есть треугольник является равнобедренным.

4. № 71.

Р е ш е н и е

Чтобы выяснить, какой наибольшей высоты достигнет стрела, нужно найти наибольшее значение квадратного трехчлена –5t2 + 50t + 20. Для этого выделим из него квадрат двучлена:

–5t2 + 50t + 20 = –5 (t2 – 10t – 4) = –5 (t2 – 2 · 5 · t + 52 – 52 – 4) =
= –5 ((t – 5)2 – 29) = –5 (t – 5)2 + 145.

Данное выражение достигает наибольшего значения при t = 5, значит, наибольшая высота равна 145 м.

О т в е т: 145 м.

Сильным в учебе учащимся дополнительно можно дать карточки.

К а р т о ч к а № 1

Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см. Большую его сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

Р е ш е н и е

После увеличения и уменьшения сторон прямоугольника они стали равны (5 – а) см и (3 + а) см. Площадь полученного прямоугольника будет равна (5 – а) (3 + а) см2.

Раскрыв скобки в этом выражении, получим квадратный трехчлен –а2 + 2а + 15. Выделим из него квадрат двучлена:

–а2 + 2а + 15 = –(а2 – 2а – 15) = –(а2 – 2 · 1 · а + 12 – 12 – 15) =
= –((а – 1)2 – 16) = –(а – 1)2 + 16.

Данное выражение принимает наибольшее значение при а = 1.

О т в е т: а = 1.

К а р т о ч к а № 2

Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону уменьшили на b см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении b площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче.

О т в е т: b = 2.

V. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите корни квадратного трехчлена:

а) х2 – 8х + 15; б) 2а2 – а; в) 7х2 – 28.

2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х2 + 4х + 1; б) y2 – y + 2.

В а р и а н т 2

1. Найдите корни квадратного трехчлена:

а) х2 – 5х + 6; б) 2b2 – 18; в) 0,3х2 + 0,1х.

2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х2 – 6х + 11; б) x2 – 2x + 5.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется квадратным трехчленом?

– Что такое корни квадратного трехчлена? Как их найти?

– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?

– Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена?

– Как найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена?

Домашнее задание: № 65, № 67, № 69.