Материал опубликовала

#Учебно-методические материалы #Методические указания и рекомендации #Учитель-предметник #Среднее профессиональное образование

Виды многогранников. Призма, пирамида.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
«КРАСНОЛУЧСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СЕРВИСА»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«ГЕОМЕТРИЯ»

Тема: «Виды многогранников. Призма, пирамида.»

11 класс

Подготовила материал: Качмазова С.А.

Тема: Виды многогранников. Призма, пирамида.

Цель: сформировать представление о многограннике, его элементах и видах.

Задачи:

изучить теоретический материал по теме «многогранники»;

научиться выделять многогранники среди геометрических тел, различать выпуклые и невыпуклые многогранники;

изучить свойства многогранников.

Повторение

Подберите название к каждой геометрической фигуре

Курс геометрии состоит из двух частей: планиметрия и стереометрия.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучают свойства геометрических фигур на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучают свойства геометрических тел в пространстве.

Сегодня мы начнем знакомиться с новым разделом геометрии стереометрией

Основные фигуры в стереометрии: точка, прямая, плоскость.

Для обозначения точек используют прописные латинские буквы: А, В, С, D.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, c, d.

Плоскости обозначаются греческими буквами: α, β, γ…

Работа с новым материалом

Геометрия – один из инструментов, позволяющий изучать окружающий нас мир. Геометрические фигуры – воображаемые объекты, которые идеализируют реальные предметы, являются их моделью. Моделью многих реальных объектов являются многогранники. Что же такое многогранники?

Стереометрия рассматривает геометрические тела в пространстве, изучает их свойства, вычисляет площади и объемы.

Представления о геометрических телах дают нам окружающие нас предметы. Если мы рассмотрим поверхность кристалла, то можем заметить, что он состоит из некоторого количества многоугольников. Такие поверхности в стереометрии называются многогранниками.

Понятие многогранника

К определению понятия многогранника существует два подхода.

Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.

А)

Б)

Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника

По аналогии с первым толкованием понятия многоугольника рассматривается следующее толкование понятия многогранника.

Дадим определение многогранника.

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Само это тело тоже называют многогранником.

В данной трактовке многогранник можно называть еще многогранной поверхностью.

Простейшим, и уже вам знакомым, многогранником является куб.

Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.

Многогранник бывает выпуклым и невыпуклым. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Рис. 2

Рис. 3

Простейшие многогранники - это призма и пирамида.

Многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами – основаниями, называют призмой.

Рис.4

На рисунке 4 приведены наглядные изображения трех и четырехгранных призм, основания которых расположены на горизонтальной плоскости проекций, и трехгранная призма с основанием на фронтальной плоскости проекций.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник.

На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Е сли через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Призма, у которой основание - параллелограмм, называется параллелепипедом.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани -прямоугольники.

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого - квадраты.

Существует несколько важных понятий, присущих многогранникам: вершина, ребро, грань, диагональ.

Грани – это многоугольники, из которых составлен многогранник, причем никакие две соседние грани не лежат в одной плоскости.

ИЛИ

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями.

Ребра – стороны граней.

Вершины – концы ребер.

Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

А теперь посмотрите внимательно на рисунок, и скажите, сколько граней, ребер и вершин имеет куб?

Итак, у куба 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B1E.

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

ПРИЗМЫ

Пирамиды

Классическим примером такой фигуры могут служить египетские пирамиды.

Многогранник, одна грань которого – многоугольник со сколь угодно большим числом сторон (не менее трех), а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной, называют пирамидой.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.

Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.

На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды KO проведена от вершины K к центру основания O.

Высота боковой грани KN — апофема.

Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пирамиды.

Простейшей пирамидой является треугольная пирамида - тетраэдр. У нее наименьшее возможное число граней - всего четыре. Любая ее грань может считаться основанием, что и отличает тетраэдр от других пирамид.

Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:

ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCD.

Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение.

На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.

Многогранники в жизни:

- пирамида – такую форму имеют крыша дома и египетские пирамиды;

- призма – например, подарочная коробочка.

Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований.

Введем еще одно важное понятие: сечение тела

П лоская фигура, полученная в результате пересечения геометрического тела некоторой плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости называется – сечением поверхности геометрического тела. Секущая плоскость – это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры.

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Утверждение. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.

Пояснить данное утверждение поможет рисунок 5. “Разрежем” многогранник вдоль его ребер и все его грани с общей вершиной расположим так, чтобы они оказались в одной плоскости. Видим, что сумма всех плоских углов действительно меньше 3600.

Рисунок 5 – Сумма плоских углов пи вершине многогранника

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.

1) отрезок

2) плоскость

3) точка

4) луч

5) многоугольник

6) многогранник

7) прямая

8) трапеция

Решение

Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.

Ответ: 2467

Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид

А) плоская фигура Б) пространственная фигура

В) Многогранник

Решение

Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ:

Ответ: 1-А, 2-В, 3-Б

Задание 3. Среди всех многогранников выберите