Возможности изучения динамических моделей экономики в рамках математического образования
ВОЗМОЖНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИКИ В РАМКАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Выполнила: Ромашкина Марина Ивановна, учитель математики МБОУ «Губернаторского инженерного лицея №102» города УльяновскаАннотация. В статье рассмотрена аналогия дифференциальных уравнений с разностными уравнениями. Данная аналогия представлена в виде таблицы. Также приведено решение экономической задачи в двух случаях, когда время имеет непрерывный характер, а когда дискретный.
Ключевые слова: дифференциальные и разностные уравнения, линейные неоднородные дифференциальные и разностные уравнения, равновесная цена.
При изучении явлений или процессов нам необходимо создать их математическую модель. Согласно ФГОС, школьники должны уметь решать различные текстовые задачи с использованием математического моделирования каких-либо процессов. Однако, как показывает практика, не все школьники умеют составлять математическую модель при решении задач. Хотя зачастую именно она является основным средством для решения сюжетных задач. Математическая модель позволяет изучать явления в целом и спрогнозировать его развитие с течением времени. Очень часто это можно сделать с помощью дифференциальных или разностных уравнений.
Большое преимущество дифференциальных и разностных уравнений состоит в том, что их можно рассматривать в школьном курсе математики как отдельный предмет по выбору. Данная дисциплина позволят:
1)сформировать и развивать навыки моделирования учащихся;
2) способствовать совершенствованию математической культуры учащихся.
Статья будет полезна для учителей математики, для учащихся старших классов, а также для студентов математических или экономических направлений.
Рассмотрим ключевые понятия дифференциальных и разностных уравнений и проведем между ними небольшой сравнительный анализ.
Таблица 1.Сравнение динамических моделей с непрерывным и с дискретным временем
1) Определения дифференциального и разностного уравнений | |
Дифференциальное уравнение | Разностное уравнение |
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию
Решить дифференциальное уравнение - это значит найти кривую по её заданному направлению. | Разностным уравнением называется функциональное уравнение, связывающее искомую функцию
Решить разностное уравнение означает найти все последовательности |
2) Определение решения дифференциального и разностного уравнений полностью совпадают. | |
Решением дифференциального (разностного) уравнения называется такая функция | |
3) Определение общего решения дифференциального и разностного уравнений | |
Дифференциальное уравнение | Разностное уравнение |
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение | Общим решением разностного уравнения n-го порядка называется такое его решение |
4) Методы решения линейных однородных (неоднородных) разностных и дифференциальных уравнений схожи | |
Дифференциальное уравнение | Разностное уравнение |
Множество решений однородного дифференциального (разностного) уравнения n-го порядка образует n-мерное векторное пространство. Общее решение неоднородного дифференциального (разностного) уравнения есть сумма какого-либо частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. | |
5) Построение базиса пространства решений линейного однородного уравнения в случае постоянных коэффициентов | |
Дифференциальное уравнение | Разностное уравнение |
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения ищется как линейная комбинация экспонент | Общее решение линейного однородного разностного уравнения ищется как линейная комбинация геометрических прогрессий |
6) Характеристическое уравнение для дифференциальных и разностных уравнений. | |
Дифференциальное уравнение | Разностное уравнение |
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (линейного разностного уравнения) n-го порядка представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени. | |
7) Подбор частного решения линейного неоднородного уравнения в случае постоянных коэффициентов и правой части специального вида: | |
Дифференциальное уравнение | Разностное уравнение |
Если правая часть уравнения имеет вид квазиполинома: | |
| |
то частное решение можно искать в виде подобного квазиполинома: | |
| |
где m – кратность | где m – кратность |
, переменную 
и производные данной функции [5, с.326].
– уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной.
, аргумент 
конечных разностей данной функции.
или 
, удовлетворяющие этому уравнению [1, с.77]. 
которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество [5, с.326].
, которое является функцией переменной 
и 
[1, с.77].
, где коэффициент 
определяется из характеристического уравнения.
, где знаменатель прогрессии 
определяется из характеристического уравнения.
как корня характеристического уравнения.Спрос и предложение.
В простых моделях функции спроса 
и предложения 
зависят от текущей цены на товар 
. Как правило, в реальных ситуациях спрос и предложение зависят от скорости изменения цены и темпа изменения цены. Тогда в моделях такие свойства описываются первой и второй производной функции цены . Для решения подобных задач используются дифференциальные уравнения.
1.Спрос и предложения зависят от цены и скорости изменения цены.
Предположим, что функция спроса и предложения имею вид:
, 
,
где 
константы. Найти равновесную цену в зависимости от времени 
, если в начальный момент 
.
Из условия равновесия спроса и предложения получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его решение.
=
, где 
- произвольная постоянная
где 
Найдём 
из начального условия:
Если 
, то 
, то равновесная цена растёт, то есть является неустойчивой.
Если
,то 
и равновесная цена приближается к фиксированному значению 
, то есть является устойчивой.
2.Спрос и предложение зависят от цены, скорости изменения и темпа изменения цены.
Темп изменения цены стимулирует спрос. Если темп растет, при этом 
, то покупатели проявляют повышенный интерес к товару. Поэтому в функции спроса коэффициент при 
положителен. Предложение в большей мере усиливается темпом изменения цены. Поэтому в функции предложения 
коэффициент при 
также положителен, но он больше, чем в функции 
. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому коэффициент при отрицательный. При этом предложение увеличивается и в функции коэффициент при положителен.
Задача.
Функция спроса и предложения на некоторый товар имеют вид: 
с начальными условиями: 
. Найдите изменения равновесной цены от времени. Является ли равновесная цена устойчивой? [4, с.93].
Рассмотрим два случая, когда время имеет непрерывный характер и когда время дискретно. Для решения задачи будем рассматривать дифференциальные и разностные уравнения
1 случай. Так как время в задаче непрерывно, то при решении будем использовать основные сведения о дифференциальных уравнениях.
Из условия равенства спроса и предложения имеем: 
(линейное неоднородное дифференциальное уравнение)
1) найдем общее решение
соответствующего однородного уравнения: 
2)найдем частное решение 
неоднородного уравнения: 
3)общее решение неоднородного уравнения ищем по следующей формуле: 
4)частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: 
5)Является ли равновесная цена устойчивой? Для этого найдём предел:
равновесная цена является устойчивой.
Ответ: ; равновесная цена является устойчивой.
2 случай. Предположим, что время в предложенной задаче имеет дискретный характер, то есть оно прерывно. Для решения задачи будем использовать основные сведения разностных уравнений.
Сформулируем задачу следующим образом:
Функция спроса и предложения на некоторый товар имеют вид: 
(
– параметры) с начальными условиями: . Найдите изменения равновесной цены от времени. Является ли равновесная цена устойчивой?
Рассмотрим задачу при следующих значениях параметров:
Введем функцию спроса и предложения следующим образом:
Так как спрос равен предложению, получаем:
(линейное неоднородное разностное уравнение)
1) найдем общее решение 
соответствующего однородного уравнения:
Для удобства перейдем на 2 шага вперед по времени. Получаем:
Замена: 
2) найдем частное решение 
неоднородного уравнения:
(неподвижная точка)
3)общее решение неоднородного уравнения ищем по следующей формуле:
4) частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, 
Решив данную систему, получаем:
, 
5)Выясним, является ли равновесная цена устойчивой. Найдём предел при 
:
равновесная цена является устойчивой.
Ответ: ;
равновесная цена является устойчивой.
При решении данной задачи можно предложить учащимся старших классов и студентам самостоятельно исследовать функции спроса и предложения, изменяя при этом параметры.
Сравнительная характеристика двух случаев
Предложенную задачу можно рассматривать как две задачи с разными моделями.
Этапы и последовательность решения задачи в двух случаях полностью совпадают. Однако, решая задачу с помощью дифференциального уравнения, мы значительно быстрее получаем ответ. При решении разностного уравнения возникают сложности в поисках частного решения и в вычислении предела.
Также можно предположить, что большинство экономических задач, решаемых с помощью теории дифференциальных уравнений, можно свести к задачам, решаемых уже с помощью разностных уравнений.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 19-01-09999-а.
Литература и источники
Винюков И. А., Попов В. Ю., Пчелинцев С. В. Линейная алгебра,Ч.2 Многочлены и комплексные числа. Собственные значения и собственные векторы. Модель Леонтьева. (Учебное пособие для подготовки бакалавров). — М. : Финакадемия Москва, 2009. — 160 с.
Гончаренко В.М., Попова В.Ю. Математические методы в экономике и финансах: учебник / коллектив авторов; под ред. В.М. Гончаренко и В.Ю. Попова. — М.: КНОРУС, 2016. — 602 с.
Гордин В. А. Дифференциальные и разностные уравнения: Какие явления они описывают и как их решать: учеб. пособие / В. А. Гордин; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — М.: изд. дом Высшей школы экономики, 2016.— 531 с.
Журавлёв С.Г., Аниковский В.В. Дифференциальные уравнения. Сборник задач. Примеры и задачи экономики, экологии и других социальных наук. —М.: изд. «Экзамен», 2005. —126 с.
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н. Ш. Кремер и др.; под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Юнити-Дана, 2007. – 479 с.
