Зачет по геометрии за 7-8 классы (УМК А. Г. Мерзляка)

Билет 1

Билет 2

1) Что называют точкой? Что называют прямой? Сформулируйте основное свойство прямой. Какие возможны случаи расположения двух прямых на плоскости?

2) Что называют окружностью, описанной около четырёхугольника? Что называют окружностью, вписанной в четырёхугольник. Сформулируйте свойства и признаки описанного и вписанного четырёхугольника.

1) Что называют отрезком? Что такое равные отрезки? Сформулируйте основное свойство длины отрезка. Что называют серединой отрезка?

2) Что называют отношением двух отрезков? Сформулируйте теорему Фалеса. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках. Сформулируйте свойства медиан и свойство биссектрисы треугольника.

Билет 3

Билет 4

1) Какую фигуру называют углом? Что является его сторонами, а что вершиной? Назовите виды углов. Что называют биссектрисой угла? Сформулируйте основное свойство величины угла.

2) Сформулируйте теорему Пифагора. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника? Косинусом? Запишите основное тригонометрическое тождество.

1) Сформулируйте определение смежных и вертикальных углов. Сформулируйте теорему о смежных углах; о вертикальных. ? Какие прямые называют перпендикулярными?

2) Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? Котангенсом? Запишите формулы, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом.

Билет 5

Билет 6

1) Что называют высотой треугольника? Медианой?

Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

2) Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. Что называют равновеликими многоугольниками? Как найти площадь треугольника?

1) Сформулируйте второй и третий признаки равенства треугольников.

2) Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. Что называют равновеликими многоугольниками? Как найти площадь трапеции?

Билет 7

Билет 8

1) Что называют равнобедренным треугольном? Равносторонним? Перечислите свойства равнобедренного треугольника.

2) Сформулируйте метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1) Что называют равнобедренным треугольником? Равносторонним? Назовите признаки равнобедренного треугольника.

2) Что называют квадратом? Прямоугольником? Сформулируйте определение периметра многоугольника. Как найти площадь квадрата? Чему равна сумма углов четырёхугольника?

Билет 9

Билет 10

1) Какие прямые называют параллельными? Перечислите признаки параллельности двух прямых. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

2) Что называют вписанным углом окружности? Центральным? Сформулируйте свойства вписанного и описанного углов. Сформулируйте теоремы о вписанном и центральном углах.

1) Какие прямые называют параллельными? Перечислите свойства параллельных прямых. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

2) Сформулируйте три признака подобия треугольников.

Билет 11

Билет 12

1) Сформулируйте теорему о сумме углов в треугольнике. Что называют внешним углом треугольника? Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника.

2) Что называют средней линией треугольника? Сформулируйте свойство средней линии треугольника. Какие треугольники называют подобными? Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

1) Сформулируйте неравенство треугольника. Сформулируйте теорему о соотношении углов и сторон в треугольнике.

Что называют прямоугольным треугольником? Как называются его стороны?

2) Что называют квадратом? Что называют трапецией? Дайте определение высоты трапеции, средней линии трапеции. Сформулируйте свойство средней линии трапеции.

Билет 13

Билет 14

1) Что называют прямоугольным треугольником? Как называются его стороны? Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника.

2) Что называют прямоугольником? Перечислите свойства и признаки прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

1) Что называют окружностью? Кругом? Дайте определение хорды окружности, радиуса, диаметра, касательной. Сформулируйте свойство и признак касательной.

2) Что называют ромбом? Перечислите свойства и признаки ромба. Как найти площадь ромба?

Билет 15

Билет 16

1) Какую окружность называют вписанной в многоугольник? Описанной около многоугольника?

Сформулируйте теоремы о существовании вписанной и описанной окружностей треугольника.

Как найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник?

2) Что называют параллелограммом? Сформулируйте свойства и признаки параллелограмма.

1) Сформулируйте теоремы о существовании вписанной и описанной окружности треугольника. Сформулируйте следствия из этих теорем.

2) Сформулируйте теорему о сумме углов четырёхугольника. Что называют параллелограммом? Дайте определение высоты параллелограмма. Как найти площадь параллелограмма?

Билет 1

Билет 2

1) Точка – самая простая геометрическая фигура, единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Прямая — это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.

Основное свойство прямой: через любые две точки можно провести прямую, при том только одну.

Возможные случаи расположения двух прямых: пересекаются, параллельны, совпадают

2) Окружность называют описанной около четырёхугольника, если она проходит через все его вершины.

Свойство: если четырёхугольник является вписанным в окружность, то сумма его противоположных углов равна .

Признак: если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна , то около него можно описать окружность.

Окружность называют вписанной в четырёхугольник, если она касается всех его сторон.

Свойство: если четырёхугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны.

Признак: если в выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

1) Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками (началом и концом отрезка). Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.

Основное свойство длины отрезка. Если точка является внутренней точкой отрезка то отрезок равен сумме отрезков и то есть .

Серединой отрезка называют такую его точку что

2) Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. (что бы найти отношение отрезков, нужно поделить их длины друг на друга).

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках: если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство биссектрисы: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.i

Билет 3

Билет 4

1) Угол – фигура, составленная из двух лучей с общим началом. Лучи – стороны угла, общее начало (точка) – вершина угла.

Углы бывают острыми (меньше ), прямыми (ровно ), тупыми (больше ) и развёрнутыми (ровно )

Биссектриса – луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.

Основное свойство величины угла. Если луч делит угол на два угла и то .

2) теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Основное тригонометрическое тождество:

1) Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. Теорема: Сумма смежных углов равна

Два угла называю вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами другого. (проще: углы, образованные при пересечении двух прямых, у которых нет общих сторон). Теорема: вертикальные углы равны.

Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол.

2)Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Билет 5

Билет 6

1) Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Медиана – отрезок. Соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

1ый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

2) Сумма углов выпуклого n-угольника равна

  , где количество углов.

Многоугольники называют равновеликими, если их площади равны.

Площадь треугольника равна половина произведения стороны на высоту, проведенную к данной высоте. сторона треугольника, опущенная на эту сторону высота.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. , где катеты

1) 2ой признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам прилежащим к ней другого треугольника, то такие треугольники равны.

3ий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Сумма углов выпуклого n-угольника равна

  , где количество углов.

Многоугольники называют равновеликими, если их площади равны.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы основания на высоту. где основания трапеции, 0высота трапеции

Билет 7

Билет 8

1) Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства: Углы при основании равны;

биссектриса треугольника, проведённая к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

2) свойство 1:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

свойство 2:

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

свойство 3:

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

свойство 4:

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы

1) Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – треугольник, у которого все стороны равны.

Признаки:

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный;

если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный;

если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный;

если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

2) Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые. Сумма углов четырёхугольника равна .

Площадь квадрата равна квадрату его стороны где сторона квадрата.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Билет 9

Билет 10

1) Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна , то прямые параллельны.

Если накрест соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это длина перпендикуляра, проведенного между ними.

2) Вписанный угол окружности – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Центральный угол окружности – угол, вершина которого находится в центре окружности

Свойства:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности – прямой;

Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу .

Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине градусной мере дуги, на которую он опирается.

1) Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Свойства параллельных прямых:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

Углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;

Углы, образующие пару соответственных углов, равны;

Сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это длина перпендикуляра, проведенного между ними. 

2) Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Билет 11

Билет 12

1) Сумма углов треугольника равна

Внешний угол треугольника – угол, смежный с углом этого треугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.

2) Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойство: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей и равна её половине.

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1) Неравенство треугольника. длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (проще— длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).

Теорема о соотношении углов и сторон. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов у которого прямой. Сторону, противолежащую прямому углу (самую большую), называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу – катетами.

2) Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапеция – четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований на прямую, содержащую другое основание.

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Билет 13

Билет 14

1) Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой. Сторону, противолежащую прямому углу (самую большую), называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу – катетами.

Свойства прямоугольного треугольника:

Гипотенуза больше катета;

Катет, лежащий напротив угла, величина которого , равен половине гипотенузы;

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен .

2) Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны (+все свойства параллелограмма)

Признаки прямоугольника:

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник;

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон. , где одна из сторон прямоугольника, соседняя сторона прямоугольника.

1) Окружность – замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра.

Круг -- часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Радиус – отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Признак касательной: если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

2) Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов (+все свойства параллелограмма)

Признаки ромба:

Если диагонали параллелограмм перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб;

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб.

Площадь ромба можно найти так же, как площадь параллелограмма: произведению его стороны на высоту, опущенную на данную сторону. сторона ромба, опущенная на эту сторону высота. ИЛИ площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. где диагонали ромба.

Билет 15

Билет 16

1) Окружность называют описанной около многоугольника, если она касается каждой вершины этого многоугольника.

Теорема: вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Вписанная в многоугольник окружность – это окружность, лежащая внутри многоугольника, касающаяся всех его сторон.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле где радиус, и катеты, гипотенуза.

2) Параллелограмм – четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны параллелограмма равны;

Противолежащие углы параллелограмма равны;

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

1) Теорема: вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Следствие: центр описанной окружности треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность.

Следствие: центр вписанной окружности треугольника – это точка пересечения его биссектрис.

2) Сумма углов четырёхугольника равна .

Параллелограмм – четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны.

Высота параллелограмма – перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащую сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противоположную сторону.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на данную сторону. сторона параллелограмма, опущенная на эту сторону высота.