Задачи по алгебре на тему «Совместная работа» (11 класс)

1. Два опе­ра­то­ра, ра­бо­тая вме­сте, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей ра­бо­ты. За какое время может на­брать весь текст каж­дый опе­ра­тор, ра­бо­тая от­дель­но?

2. На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

3. Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше вре­ме­ни, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды боль­ше, чем на­ка­чать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за ми­ну­ту?

4. Дима и Саша вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Дима от­ве­ча­ет за час на 12 во­про­сов теста, а Саша — на 22. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Дима за­кон­чил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

5. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

6. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров?

7. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 6 часов 18 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 9 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

8. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

9. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 266 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

10. Игорь и Паша кра­сят забор за 20 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 24 часа, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

11. Три бри­га­ды вме­сте из­го­то­ви­ли 114 кар­дан­ных валов. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла кар­дан­ных валов в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 кар­дан­ных валов мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко кар­дан­ных валов боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая?

12. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 114 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

13. Три бри­га­ды вме­сте из­го­то­ви­ли 114 син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла син­хро­ни­за­то­ров в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 син­хро­ни­за­то­ров мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

14. Игорь и Паша кра­сят забор за 18 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 20 часов, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко минут маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

15. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 248 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

16. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 9 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 112 де­та­лей, на 4 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

1. Два опе­ра­то­ра, ра­бо­тая вме­сте, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей ра­бо­ты. За какое время может на­брать весь текст каж­дый опе­ра­тор, ра­бо­тая от­дель­но?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый опе­ра­тор может вы­пол­нить дан­ную ра­бо­ту за    часов, а вто­рой за    часов. За один час пер­вый опе­ра­тор вы­пол­ня­ет    часть всей ра­бо­ты, а вто­рой  . Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

 

 

 

Ответ: пер­вый опе­ра­тор за 12 ч, вто­рой опе­ра­тор за 24 ч.

2. На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

Ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим, что уче­ник де­ла­ет  де­та­лей в час. Тогда ма­стер де­ла­ет  де­та­ли в час. 
На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник по­тра­тит ч, а ма­стер тра­тит ч на из­го­тов­ле­ние 462 де­та­лей.
Со­ста­вим урав­не­ние по усло­вию за­да­чи:

.

 

Решим урав­не­ние:

.

 

Корни по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния: −28 и 3. От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что уче­ник де­ла­ет в час 3 де­та­ли.

Ответ: 3.

3. Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше вре­ме­ни, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды боль­ше, чем на­ка­чать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за ми­ну­ту?

Ре­ше­ние.

Пусть за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся  лит­ров воды. Тогда за ми­ну­ту вы­ка­чи­ва­ет­ся  л воды.
По усло­вию за­да­чи со­ста­вим урав­не­ние:

,

 

от­ку­да

 

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние

,

 

име­ю­щее корни:  и .
От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся 9 л воды.

Ответ: 9.

4. Дима и Саша вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Дима от­ве­ча­ет за час на 12 во­про­сов теста, а Саша — на 22. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Дима за­кон­чил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

Ре­ше­ние.

Пусть x — ко­ли­че­ство во­про­сов теста. Тогда по­лу­ча­ем:

 

 

от­ку­да на­хо­дим x = 33 .

 

Ответ: 33

5. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют  часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, то есть она на­пол­нит весь бас­сейн за 15 часов.

 

Ответ: 15.

6. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров?

Ре­ше­ние.

Пусть вто­рая труба про­пус­ка­ет  лит­ров воды в ми­ну­ту, тогда пер­вая труба про­пус­ка­ет  литра в ми­ну­ту. Вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров за  минут. По­сколь­ку пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров за  минут, что по усло­вию за­да­чи на 4 ми­ну­ты боль­ше, чем  по­лу­ча­ем урав­не­ние:

 

 

Решим урав­не­ние:

 

 

 или 

 

От­бра­сы­вая по­сто­рон­нее ре­ше­ние −6,5, по­лу­ча­ем, что вто­рая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров в ми­ну­ту.

 

Ответ: 10 лит­ров в ми­ну­ту.

7. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 6 часов 18 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 9 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют  часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, то есть она на­пол­ня­ет весь бас­сейн за 21 час.

 

Ответ: 21.

8. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Пусть  — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых пер­вым ра­бо­чим за час, тогда  — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых вто­рым ра­бо­чим за час. Заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 3 часа быст­рее, чем вто­рой, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −10 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пер­вый ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 20 де­та­лей в час. Зна­чит, вто­рой ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 10 де­та­лей в час.

 

Ответ: 10.

9. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 266 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть  — число де­та­лей, из­го­тов­лен­ных вто­рой бри­га­дой, тогда пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла  де­та­лей, а тре­тья —  де­та­лей. Вме­сте три бри­гад из­го­то­ви­ли 266 де­та­лей, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 116 де­та­лей, сле­до­ва­тель­но, пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла  де­та­лей, а тре­тья — 121 де­таль. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 121 − 29 = 92 де­та­ли боль­ше.

 

Ответ: 92.

10. Игорь и Паша кра­сят забор за 20 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 24 часа, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вы­пол­ня­е­мую маль­чи­ка­ми ра­бо­ту по по­крас­ке за­бо­ра за 1. Пусть за , ,  часов Игорь, Паша и Во­ло­дя, со­от­вет­ствен­но, по­кра­сят забор, ра­бо­тая са­мо­сто­я­тель­но. Игорь и Паша кра­сят забор за 20 часов:

 

 

Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 24 часа:

 

,

 

а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов:

 

 

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

 

 

Про­сум­ми­ру­ем левые и пра­вые части дан­ных трех урав­не­ний, по­лу­чим:

 

Ответ: 16.

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

 

За один час Игорь и Паша кра­сят 1/20 за­бо­ра, Паша и Во­ло­дя кра­сят 1/24 за­бо­ра, а Во­ло­дя и Игорь — за 1/30 за­бо­ра. Ра­бо­тая вме­сте, за один час два Игоря, Паши и Во­ло­ди по­кра­си­ли бы:

 

  за­бо­ра.

 

Тем самым, они могли бы по­кра­сить один забор за 8 часов. По­сколь­ку каж­дый из маль­чи­ков был учтен два раза, в ре­аль­но­сти Игорь, Паша и Во­ло­дя могут по­кра­сить забор за 16 часов.

 

 

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

 

За­ме­тим, что за 120 часов Игорь и Паша могут по­кра­сить 6 за­бо­ров, Паша и Во­ло­дя — 5 за­бо­ров, а Во­ло­дя и Игорь — 4 за­бо­ра. Ра­бо­тая вме­сте, за 120 часов они могли бы по­кра­сить 15 за­бо­ров. Сле­до­ва­тель­но, один забор два Игоря, два Паши и два Во­ло­ди могут по­кра­сить за 8 часов. По­это­му, ра­бо­тая втро­ем, Игорь, Паша и Во­ло­дя по­кра­сят забор за 16 часов.

11. Три бри­га­ды вме­сте из­го­то­ви­ли 114 кар­дан­ных валов. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла кар­дан­ных валов в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 кар­дан­ных валов мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко кар­дан­ных валов боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла x кар­дан­ных валов. Тогда вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 3x кар­дан­ных валов, а тре­тья 3x +16 кар­дан­ных валов. Из урав­не­ния 7x +16 =114 на­хо­дим, что пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла 14 кар­дан­ных валов, а тре­тья 58 кар­дан­ных валов. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 44 кар­дан­ных вала боль­ше, чем пер­вая.

 

Ответ: 44.

12. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 114 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла x де­та­лей. Тогда вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 3x де­та­лей, а тре­тья 3x +16 де­та­лей. Зна­чит, вме­сте они из­го­то­ви­ли 7x +16 де­та­лей. Из урав­не­ния 7x +16 =114 на­хо­дим, что пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла 14 де­та­лей, а тре­тья 58 де­та­лей. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 44 де­та­ли боль­ше, чем пер­вая.

 

Ответ: 44.

13. Три бри­га­ды вме­сте из­го­то­ви­ли 114 син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла син­хро­ни­за­то­ров в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 син­хро­ни­за­то­ров мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла x син­хро­ни­за­то­ров. Тогда вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 3x син­хро­ни­за­то­ров, а тре­тья 3x +16 син­хро­ни­за­то­ров. Из урав­не­ния 7x +16 =114 на­хо­дим, что пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла 14 син­хро­ни­за­то­ров, а тре­тья 58 син­хро­ни­за­то­ров. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 44 син­хро­ни­за­то­ра боль­ше, чем пер­вая.

 

Ответ: 44.

14. Игорь и Паша кра­сят забор за 18 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 20 часов, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко минут маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

Ре­ше­ние.

За один час Игорь и Паша кра­сят 1/18 за­бо­ра, Паша и Во­ло­дя кра­сят 1/20 за­бо­ра, а Во­ло­дя и Игорь — за 1/30 за­бо­ра. Ра­бо­тая вме­сте, за один час два Игоря, Паши и Во­ло­ди по­кра­си­ли бы:

 

  за­бо­ра.

 

Тем самым, они могли бы по­кра­сить один забор за 7,2 часа. По­сколь­ку каж­дый из маль­чи­ков был учтен два раза, в ре­аль­но­сти Игорь, Паша и Во­ло­дя могут по­кра­сить забор за 14,4 часа=864 ми­ну­ты.

Ответ: 864

Ответ: 864

15. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 248 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть  — число де­та­лей, из­го­тов­лен­ных вто­рой бри­га­дой, тогда пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла  де­та­лей, а тре­тья —  де­та­лей. Вме­сте три бри­гад из­го­то­ви­ли 248 де­та­лей, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 108 де­та­лей, сле­до­ва­тель­но, пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла  де­та­лей, а тре­тья — 113 де­таль. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 113 − 27 = 86 де­та­лей боль­ше.

 

Ответ: 86.

Ответ: 86

16. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 9 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 112 де­та­лей, на 4 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Пусть  — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых пер­вым ра­бо­чим за час, тогда  — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых вто­рым ра­бо­чим за час. Заказ, со­сто­я­щий из 112 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 4 часа быст­рее, чем вто­рой, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −12 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пер­вый ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 21 де­та­ль в час. Зна­чит, вто­рой ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 12 де­та­лей в час.

 

Ответ: 12.