Задачи на вклады и кредиты на ЕГЭ (задание 17)

Вклады и кредиты

Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

         С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

•    выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению «Сложных процентов».

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

или (списание процентов)

Где S- размер первоначального вклада;

– размер вклада через n лет;
r - процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, ...);
n - количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

Решение.

S– вклад, S= 500 000 рублей,

r=20% - процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

Можно использовать формулы:

Ответ: 75 000 рублей.

Парная задача

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

Решение.

S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,

r=20% - процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

x рублей- ежегодная выплата,

Sk=4x;

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.

Основные характеристики дифференцированного платежа

 1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;

4. Первый платеж самый большой;

5. Последний платеж самый маленький. 

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.

S–сумма кредита,

r=1% - ежемесячный процент по вкладу,

n=24 – срок кредитования

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.

Решение.

r% - ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Общая сумма выплат равна

Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;

2.6m<1.2; m<

Ответ: 7%.

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.

Использованная литература 

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.  

М.: 2020. - 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.  

4-е изд., перераб. и доп. - М.: 2018. - 128 с.

3. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т. 

4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.  

М.: 2018. - 208 с.