Задачи оптимизации и статистики на уроках математики и в проектной деятельности.

Задачи оптимизации и статистики на уроках математики и в проектной деятельности.

Гончарук Ирина Ивановна

г. Грязовец, БПОУ ВО «Грязовецкий политехнический техникум»

преподаватель

В рамках федеральной программы «Профессионалитет» в программе учебной дисциплины «Математика» предусматривается изучение прикладного, профессионально ориентированного модуля, что требует разработки методических материалов: математических задач с содержанием профессиональной направленности, интеграции математических методов в решение задач профессионального профиля, применения математического моделирования, прикладных компьютерных программ, особых форм организации учебных занятий.

Математические задачи имеют особое значение для развития умения анализировать данные, выделять связи между ними, задавать функциональную зависимость между исходными данными и искомой величиной, составлять математическую модель для решения задачи.

Математическая модель текстовой задачи обычно представляет собой уравнение, неравенство или их системы, решить которые можно традиционным алгебраическим способом или же с помощью компьютерной программы Excel. Использование компьютерной программы способствует формированию более глубокого познавательного процесса решения задачи, анализа полученного результата.

Особую группу задач составляют задачи на поиск наименьшего и наибольшего значения функции. Традиционное их решение предполагает поиск производной и нахождение экстремумов функции по алгоритму. Решение тех же задач в среде Excel проводится с помощью инструмента «Поиск решения» через создание компьютерной модели. Таким образом, обучающиеся имеют возможность освоить другой метод решения задачи, что способствует развитию мыслительных процессов, формирует исследовательские и предметные навыки, развивает интерес к предмету в текущей и проектной деятельности, способствует интеграции компьютерных технологий в обучение.

Рассмотрим пример решения задачи: Прямоугольный участок земли в 64 га нужно окопать вдоль всей границы рвом. Найдите такие размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей.

Традиционное решение: Обозначим переменными x м и у м размеры участка, тогда периметр р=2*(x + у), у=640000/x, тогда р=2*(x +640000/x)=2х+1280000/х.

Найдем производную: p' = 2 - 1280000/x²

Найдем точку экстремума.

2 - 1280000/x² = 0

х=800

При x < 800 p’>0, при x >0 p’<0, значит х=800-точка минимума.

Ответ: размеры участка при наименьшей длине рва 800м*800м.

Решение этой задачи с использованием электронных таблиц:

Применим инструмент «Поиск решения», указав необходимые ограничения.

При выполнении получаем тот же результат: 800м*800м.

Применение инструмента «Поиск решения» актуально при решении задач оптимизации экономического содержания, где необходимо оценить максимальную прибыль при определенных затратах производства продукции.

Рассмотрим решение ещё одной задачи с помощью Excel:

Эмпирически установлено, что расход горючего автомобилем в зависимости от скорости определяется формулой f(v)=18-0,3v+0,003v², где v-скорость в км/ч и f(v)-расход горючего в литрах на 100 км пути. Найдите более экономичную скорость движения автомобиля и расход горючего в литрах при скорости 100 км/ч, 75 км/ч и 40 км/ч.

Компьютерная модель решения задачи для значения скорости 100 км/ч.

Ответ: при скорости 50 км/ч расход горючего самый экономичный 10,5 л.

Другую группу задач составляют задачи оптимизации прикладного значения, профессионально ориентированные, решение которых представляет особое значение для развития навыков математического моделирования и при выполнении исследовательских проектов.

Новая образовательная программа в рамках федерального проекта «Профессионалитет» предполагает включение в программу предмета «Математика» профессионально ориентированных задач, организацию обучения в средних профессиональных учреждениях с учётом потребностей организаций реального сектора экономики в высококвалифицированных кадрах. В связи с этим, решение задач экономического содержания с применением методов математического моделирования и реализацией их решения в компьютерной среде Excel достаточно актуально.

Пример такой задачи.

На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 100 денежных ед. затрат, а сои – 80 денежных ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. денежных ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 ц, а каждый гектар, засеянный соей, - 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 10 денежных ед., а каждый центнер сои – 6 денежных ед. прибыли. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. ц. Сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль?

Математическая модель:

Ограничения: х1 + х2 =400

100х1+80х2= 60000

30х1+60х2 ≤ 21000

Целевая функция =200х1+280х2

Компьютерная модель после ввода формул:

Найденное решение указывает, что максимальная прибыль составляет 104000 ден. ед. при условии посадки кукурузы на 100 га и сои на 300 га.

Задачи статистического содержания позволяют формировать у обучающихся умения и навыки обработки информации: проводить отбор, группировку данных, анализ и их систематизацию. Использование с этой целью специальных функций в среде электронных таблиц создают предпосылки для развития навыков программирования, а также наглядного представления информации.

Пример такой задачи:

Произвести группировку перечисленных ниже предприятий на 4 группы: предприятия с мощностью по выпуску льноволокна от 200 до 1000 тонн, от 1000 до 2200 тонн, от 2200 до 5000 тонн, свыше 5000 тонн. Результат группировки представить в форме статистической таблицы, в которой по каждой группе показать:

а) число предприятий,

б) среднюю мощность предприятия,

в) объем продукции в тоннах,

г) процентное отношение количества предприятий каждой группы

Группировка предприятий по мощности

Решение задачи в Excel:

Следует отметить, что решение таких задач требует наличия на занятиях по математике компьютерной техники и дополнительных методических разработок. Но всё это решаемые проблемы. C программой Excel студенты знакомятся ещё в школе на занятиях по информатике, первичные навыки отрабатываются и дополняются изучением новых инструментов программы. Подборка задач имеется в официальных источниках на сайте https://profspo.ru/, в библиотеке «Профобразование».

Содержание задач можно подобрать по профилю специальности студентов, можно дифференцировать по степени сложности, для урочной или внеурочной, проектной деятельности.

По опыту преподавания могу сказать, что такие задачи вызывают интерес студентов, привлекая решением именно через создание компьютерной модели.

Считаю, что использование инструментов электронных таблиц на занятиях по математике совершенствуют процесс обучения, формируя более глубокий уровень восприятия условия задачи, анализа данных, установления их связей, математического моделирования, проверки решения.

Такой процесс решения задач формирует всесторонние компетенции обучающихся, что соответствует целям и задачам новой образовательной программы «Професссионалитет».

Список литературы:

Яроцкая, Е. В. Экономико-математические методы и моделирование : учебное пособие / Е. В. Яроцкая. — Саратов : Ай Пи Ар Медиа, 2020. — 196 с.ISBN 978-5-4497-0270-8

Прохорова, И.А. П844 Прикладные методы оптимизации: практикум / И.А. Прохорова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2019. – 131 с.