Простые числа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Горельская СОШ» в с. Малиновка

Конкурс исследовательских и творческих работ обучающихся

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: «Простые числа»

Математика

Выполнила:

Куляева Юлия

МБОУ «Горельская СОШ»

8 «ж» класса

Руководитель:

Четырина Зоя Владимировна

учитель математики

МБОУ «Горельская СОШ»

филиал в селе Малиновка

2019 год.

Содержание

Введение.

1.Теоретические сведения

2.Из истории простых чисел

3.Биография Эратосфена

4.«Решето Эратосфена»

5.Алгоритм нахождения простых чисел.

6.Заключение.

7.Литература.

Введение.

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древ-ности. Привлекла их необычайная магическая сила. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Актуальность работы: простые числа являются первичными элементами, из которых составляются все числа. Поэтому интерес к простым числам ве-лик. Так же имеется таблица простых чисел на форзаце учебника матема-тики 6 класса. Я знаю то, что находится на форзаце, имеет важную значи-мость в изучении данного предмета. И действительно, в 7 классе это под-твердилось, когда я принимала участие в школьной и районной олимпиадах. Задания были сложные, связанные с разложением на простые множители. Меня заинтересовали вопросы: «А такие ли они простые «Простые числа»?». Для раскрытия темы «Простые числа» решила провести иссле-дования. Работу начала с опроса учащихся 5 – 9 классов нашей школы. Знают ли они:

Что такое простое число?

Что такое решето?

Что такое «решето Эратосфена»?

Результаты опроса показали:

1.Что такое простое число?

Опрошенных – 36 учащихся, знают – 32 ученика (приложение 1, рис 1).

2. Что такое решето?

Опрошенных – 36 учащихся, знают - 32 ученика (приложение 1, рис. 2).

3.Что такое решето Эратосфена?

Опрошенных – 36 учащихся, знают – 3 ученика (приложение 1, рис. 3).

Анализируя результаты опроса, пришла к выводу, 92% опрошенных не знают, что такое решето Эратосфена?

Поэтому я решила глубже исследовать тему «Простые числа» и рассказать другим ученикам о закономерностях и свойствах простых чисел на модели «решето Эратосфена».

Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль! Возникает проблема: найти наиболее простой и наглядный способ определения простых чисел.

Цель работы: изготовление модели решета Эратосфена, изучение алгоритма построения «решета Эратосфена» и исследование их свойств.

Задачи:

найти и изучить имеющуюся литературу по данной теме;

провести опрос учащихся по теме: «Простые числа»;

изготовить модель решета Эратосфена;

найти с помощью модели все простые числа от 1 до 100;

найти с помощью таблицы простые числа от 100 до 1000;

открыть какие-либо закономерности и свойства в ряду чисел;

обобщить полученные данные и сформулировать вывод.

Метод исследования:

поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод «решето Эратосфена;

наблюдение, сравнение, анализ, полученный в ходе исследования данных.

Объект исследования: простые числа

Новизна исследования:

интерес к истории возникновения простых чисел;

проведение анализа и получение результатов по теме исследования.

Предмет исследования: «решето Эратосфена».

Гипотеза: можно предположить, что освою метод «Решето Эратосфе-на», но, вернее всего не смогу найти самое большое простое число.

Практическое применение: на уроках математики при изучении тем: «Разложение чисел на простые множители», «Приведение дробей к общему знаменателю».

Данная работа знакомит с практическим и табличным методами на-хождения простых чисел. Знакомство с ними не только дополняет и углуб-ляет знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логи-ческое мышление. Предлагаемая работа рассчитана на учеников 6-8 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, увидеть красоту математических выкладок.

1.Теоретические сведения.

Еще в 6 классе на уроках математики я узнала:

простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 17 = 1 х 17) [1, с.17].

Составное число – это натуральное число, у которого есть делители, отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 9 = 3 х3) [1, с.17].

Всякое составное число можно разложить на простые множители.

Пример: 363=3 х 11 х11

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому, его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Решето – барабан, с сетчатым дном, для просевки чего-либо, крупное сито (приложение 1, рис. 4) [2, с.564].

2.Из истории простых чисел.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегре-ческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел [3, с.348].

В 1914 году американский математик Д. Лемер собрал в таблицу все простые числа в промежутке от 1 до 10000000. Книга таблиц имеется в Российской государственной библиотеке в Москве [3, с. 348].

Еще более титаническую вычислительную работу выполнил профессор Парижского университета Якуб Филипп Кулик, он довел таблицу простых чисел до 100 миллионов, которая хранится в библиотеки Венской Академии наук [3, с.349].

3.Биография Эратосфена.

Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 2000 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой в Египте (одной из первых библиотек в мире). В знаменитой библиотеке хранилось более 700 000 свитков, которые содержали все сведения о мире, известные людям той эпохи. При содействии своих помощников Эратосфен первым рассортировал свитки по темам. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка. Первый вычислил окружность Земли, пользуясь методами геометрии.

Он дожил до глубокой старости. Когда он ослеп, то перестал есть и умер от голода. Он не представлял себе жизни без возможности работать со своими любимыми книгами [4].

4.«Решето Эратосфена»

Со времен древних греков простые числа оказываются столь же при-влекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся тот способ, который найден александрийским мате-матиком и астрономом Эратосфеном. А этому методу уже около 2 тыс. лет! Этим же вопросом занимался и древнегреческий математик Эвклид. [3, с.347].

Системный метод заключается в определении простых чисел путем отбора и отбрасывания чисел, имеющих делители, - все оставшиеся числа являются простыми. Этот метод впоследствии получил название «решето Эратосфена» и используется до сих пор. Почему «Решето»? Так как во вре-мена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а выка-лывали иглой цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных [3, с.348]

5.Алгоритм нахождения простых чисел.

Для изготовления «решета Эратосфена» я взяла: фанеру формата А 4 . Начертила сетку, в каждой клетке записала натуральные числа от 1 до 100 (приложение 1, рис. 5).

Выполнила следующие шаги.

1 шаг. Вычеркиваем 1, так как она не является не простым ни составным числом.

2 шаг. Из ряда чисел:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 и т. д. вычёркиваем числа кратные 2. 3 шаг. Теперь, кратные 3. 4 шаг. Кратные 4. 5 шаг. Кратные 5.

6 шаг. Кратные 6. …

Делим, пока все составные числа не будут «просеяны», и останутся только простые числа: 2,5,7,11,.13.... (приложение 1, рис. 6).

И так я определила простые числа от1 до 100: 25 чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ) (приложение 1, рис. 7).

Затем я исследовала простые числа по таблице от100 до 200: 21 число (101. 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199) (приложение 1, таблица 8).

Простые числа от 200 до 300: 16 чисел (211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293)

Простые числа от 300 до 400, от 400 до 500, ..,от 900 до 1000 (приложение 2).

На основании проделанной работы была подтверждена следующая законо-мерность и свойства простых чисел:

1.Числа – близнецы до 500: 3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241; 269-271; 281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463. (24 пары.)

Числа близнецы от 500 до 1000: 521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883. (11 пар.)

Получила до 1000: 35 пар чисел-близнецов.

2.Числа - палиндромы: 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, (16 чисел)

Получила до 1000: 16 чисел палиндромы.

3.Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941,

157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 -991, 337- 733, 347 – 743,

359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 -937, 769 – 967 (14 пар).

Получила до 1000: 14 пар симметричные себе простые числа.

4.Простые числа могут разместиться в магическом квадрате (Магические (волшебные) квадраты – квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям) (приложение 2).

5.Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы 2-х простых чисел.

Например: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7, 12=5+7,, 14=7+7, 16=11+5, 18=7+11,, 20=3+17, 56=19+37, 924=311+613 и т.д. Но это утверждение не доказано. Такую задачу называют проблемой Варинга.

6.Любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Например: 7=2+3+2, 9=2+5+2, 11=5+3+3, 13=5+5+3, 15=7+5+3, 17=5+5+7, 19=5+7+7, 21=3+7+11, 23=5+7+11, 25=17+3+5 и т.д.

Подойти к доказательству этого предложения сумел лишь 200 лет спустя русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).

7. Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна – числа вида Мр=2р-1. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук (приложение 2).

8. 31 – простое; 331 – простое; 3331 – простое; 33331- простое; 333331 – простое; 3333331 – простое; …

Вывод: Распределяются простые числа в натуральном ряду очень неравномерно. Первый десяток натуральных чисел содержит 4 простых, т.е. 40%. Первая сотня натуральных чисел содержит 25 простых, т.е. 25%. Следовательно, количество простых чисел уменьшается.

6.Заключение.

Простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся осталь-ные натуральные числа. Таким образом, простые числа, казавшиеся когда-то бесполезным, бессмысленным понятием, не только приобрели характер, но и оказались мощным средством, ускоряющим развитие науки. Количество про-стых чисел бесконечно. Эту теорему доказал древнегреческий математик Евклид III в. до н.э. [1, с.33]. Наименьшим простым числом является 2. Кстати 2 – единственное простое число, которое четно. Способ добывания простых чисел является кустарным, но вполне надежным. Создать общую формулу, которая давала бы только простые числа не смогли до сих пор, поэтому тему работы можно развивать. Гипотеза оказалась верна: освоив метод «решето Эратосфена», не смогла найти самое большое простое число.

В своей работе «Простые числа» изучена история, свойство простых чисел. Знания, полученные в ходе исследования, пригодятся мне дальше при изучении математики. Созданная модель решето Эратосфена, красочно оформленная, поможет и другим учащимся разобраться в нахождении про-стых чисел.

7.Литература

Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 6 класс. М.: Мнемозина, М-2012.

Даль В.И., Толковый словарь русского языка. М.: Эксмо 2002.

Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: Юнисам, МДС, 1994 .

Интернет-ресурс

http: //schools. keldysh 1216/materials/sun_sus_do/eratosphen. html

Приложение 1.

Опрошенных – 36 учащихся, знают – 32 ученика

(рис 1.)

Опрошенных – 36 учащихся, знают - 32 ученика

(рис. 2).

Опрошенных – 36 учащихся, знают – 3 ученика

(рис. 3)

Решето

(рис. 4)

Изготовление решета Эратосфена

(рис. 5).

Алгоритм нахождения простых чисел

(рис. 6).

Изготовленное решето для нахождения простых чисел от 1 до 100

(рис.7).

Таблица простых чисел

(рис.8).

Приложение 2

Нахождение простых чисел от 300 до 1000.

Простые числа от 300 до 400, от 400 до 500, 16 чисел (307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397,).

Простые числа от 400 до 500: 17 чисел(401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499,).

Простые числа от 500 до 600: 13 чисел (509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599,).

Простые числа от 600 до 700: 16 чисел ( 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691,).

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел (701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797,).

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел (809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887,).

Простые числа от 900 до 1000: 14 чисел (907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997).

Магические волшебные квадраты

Простые числа Мерсенна.

Так как М2=22-1=3 т.е. М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это – простые числа Мерсенна. До 1750 года было найдено всего 7 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19 . То что М31 – простое число, оказал в 1750 году Л.Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число

М127=170141183460469231731687303715884105727 – простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61= 2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 – простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213- простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна.