Урок на тему «Построение параллельных и взаимно-перпендикулярных прямых»

Геометрические построения

Построение параллельных прямых

На практике довольно часто приходится выполнять некоторые простейшие геометрические построения. Это необходимо не только при составлении чертежа, но и при выполнении разметки перед изготовлением детали, а так же при подготовке инструмента для ее контроля в процессе обработки и эксплуатации. Овладение черчение следует начинать со знакомства с приемами достаточно точных геометрических построений.

Пусть имеются прямая MN (рис. 1) и точка С, не лежащая на этой прямой . Требуется через точку С провести прямую, параллельную прямой MN.

На прямой MN выделяют произвольный отрезок АВ. Из точки С, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R1, равным отрезку АВ, а из точки В – дугу окружности радиусом R2, Равным отрезку АС. Пересечение двух дуг в точке D позволяет провести прямую CD, параллельно прямой MN.

Построение основано на свойствах параллелограмма, противоположные стороны которого, как известно, равны и параллельны. Действительно, CD = AB, a BD = AC. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм, а CD˚||˚АВ.

Рис. 1. Рис. 2.

На практике проведение прямой, параллельно заданной, часто осуществляется с помощью чертежных инструментов: двух угольников или линейки и угольника. Например, имея угольник и линейку, построение производят следующим образом. Одну из сторон угольника 1 (рис. 2) располагают вдоль прямой MN, а к другой его стороне прикладывают линейку 2. Сдвигают угольник вдоль линейки, и при совмещении стороны угольника с точкой С проводят прямую CD.

Построение взаимно-перпендикулярных прямых

Пусть имеется прямая АВ (рис. 3) и принадлежащая ей точка С. Требуется провести через точку С прямую, перпендикулярную к прямой АВ.

Из точки С другой окружности с произвольным радиусом R1 на прямой АВ откладывают два равных отрезка CD и CE. Из точек D и Е, как из центров, проводят две дуги окружности радиусом R2, размер которого несколько больше, чем длина отрезка CD = CE. Пересечение дуг в точке N позволяет провести перпендикуляр CN к прямой АВ. Вторая точка пересечения дуг - тоска М – может служить для контроля точности построения.

Построение основано на свойствах равнобедренного треугольника, в котором, как известно, медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Рассмотрев треугольник DEN, можно утверждать, что он равнобедренный (DN = EN = R2), а точка С делит его основание DE пополам (СD = CE = R1). Следовательно, CN – медиана (и высота) треугольника DEN.

Рис. 3. Рис. 4.

Если условия не позволяют отложить от заданной точки С на прямой АВ достаточные по размеру отрезки в обе стороны, то можно использовать другой прием.

Пусть задан отрезок АВ (рис. 4) и принадлежащая ему точка С. Требуется провести к нему перпендикуляр к отрезку АВ, проходящему через точку С.

Точка С располагается близко к концу А этого отрезка. Если нельзя продолжить отрезок АВ, то использование рассмотренного ранее приема проведения перпендикуляра невозможно или оно даст очень неточный результат. В этом случае произвольно выбирают точку О, из которой, как из центра, проводят окружность радиусом ОС. Пересечение окружности с отрезком АВ определяет положение точки D, через которую проводят диаметр DN окружности, и точку N соединяют с точкой С. Отрезок CN – искомый перпендикуляр к отрезку АВ.

Угол NCD является прямым, так как вписан в окружность с центром в точке О и опирается на диаметр DN.

Если необходимо провести перпендикуляр к прямой АВ (рис. 5) из точки С, не принадлежащей прямой АВ, поступают следующим образом.

Из точки С, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R1, размер которого несколько больше, чем расстояние от точки С до прямой АВ. Пересечение дуги с прямой АВ определяет положение точек D и E, из которых, как из центров, проводят дуги окружностей произвольным радиусом R2. Пересечение этих дуг дает точку N, которую соединяют с точкой С. Отрезок CN – искомый перпендикуляр к прямой АВ.

Из равенства треугольников CDN и CEN (CD = CE = R1, DN = EN = R2, CN˚– общая сторона) следует, что CN – биссектриса угла DCE. При этом в равнобедренном треугольнике CDE (CD = CE) биссектриса является и высота, т.е. прямая CN перпендикулярна к прямой АВ.

Рис. 5. Рис. 6.

При построении перпендикуляра к прямой можно использовать чертежные инструменты: два угольника или угольник и линейку. Например, для проведения перпендикуляра через точку С (рис. 6) к прямой АВ следует линейку 1 ориентировать вдоль прямой АВ, а угольник 2 приложить к линейки одним из катетов, совместив его второй катет с точкой С.