Урок «Деление отрезков прямой. Построение углов»

Геометрические построения

Деление отрезка прямой

Пусть необходимо разделить отрезок АВ (рис. 1) пополам.

Для этого из концов А и В отрезка, как из центров, следует провести дуги окружностей радиусом R, размер которого должен быть несколько больше, чем половина длины отрезка АВ, а точки M и N пересечения дуг соединить прямой. Точка С пересечения прямой MN с прямой АВ разделит заданный отрезок пополам.

Точка С является точкой пересечения диагоналей ромба AMBN, которая, как известно, делит их пополам.

Рис. 1. Рис. 2.

Пусть отрезок АВ (рис. 2) необходимо разделить точкой С таким образом, чтобы размеры полученных участков находились в некотором заданном соотношении, например в соотношении 3:2, считая от точки А.

Через точку А под произвольным углом у АВ проводят луч, на котором откладывают требуемое число произвольных по размеру, но равных между собой отрезков. В рассмотренном примере таких отрезков должно быть пять (3 + 2). Конец последнего отрезка (точку 5) нужно соединить с точкой В, и из точки на луче, соответствующей заданному соотношению (точки 3), провести прямую, параллельную прямой В5. Пересечение луча исходящего из точки 3, с отрезком АВ определяет положение точки С, которая делит отрезок АВ в соотношении АС : СВ = 3 :2.

Построение основано на известном положении: при пересечении сторон угла параллельными прямыми на его сторонах отсекаются пропорциональные отрезки.

Построение углов

Пусть требуется построить угол с вершиной в точке В (рис. 3), составляющий 35˚ с лучом ВС.

Один из возможных вариантов решения задачи – использование транспортира. Совместив обозначенную на транспортире точку с вершиной В и направив его прямолинейную сторону вдоль луча ВС, по шкале с делениями, отмечают точку, через которую должна пройти вторая сторона угла. Убрав транспортир, проводят луч ВА.

С помощью транспортира модно построить любой угол от 0 до 360˚. Если заданный угол превышает 180˚, то по транспортиру отмечают угол, составляющий в сумме с углом 180˚ требуемое значение. Например, если необходимо построить угол, равный 215˚, то его представляют как сумму углов 180 и 35˚.

Рис. 3.

Значение угла может быть задано графически. Пусть требуется на прямой FG (рис. 4) построить угол с вершиной в точке О, равный углу АВС.

Из точек В и О, как из центров, следует провести дуги окружностей с произвольным радиусом R. Дуга, проведенная из точки В, пересекает стороны угла в точках D и Е, а дуга проведенная из точки О, - в точках К и L. Измерив циркулем длину хорды DE, проведем дуги окружностей радиусом DE из точек К и L до пересеченьях с окружностью с центром в точке О. Точки пересечения М, N, Р, и Q определяют направления сторон углов MOL, LON, QOK и КОР, равных по значению заданному углу АВС. Таким образом, задача имеет четыре решения. Для получения однозначного решения в условиях задачи необходимо уточнить положение искомого угла относительно прямой FG.

Равенство заданного и построенных углов следует из равенства треугольников АВС и например, MOL, (BD = BE = OM = ON = R, а DE = ML).

Достаточно точно можно разделить угол пополам или на любое четное число частей. Пусть угол АВС (рис. 4), равный α, необходимо разделить пополам.

Рис. 3. Рис. 4.

Из вершины В угла, как из центра, проводим дугу окружности с произвольным радиусом R1, которая пересечет стороны этого угла в точках D и Е. Из этих точек, как из центров, проводим дуги окружностей с равными произвольными радиусами R2. Пересечение этих дуг в точке F позволит провести биссектрису BF угла АВС и получит углы ABF и FBC, равные α/2.

Равенство углов ABF и FBC следует из равенства треугольников BDF и BEF (BD = BE = R1, DF = EF = R2, а сторона BF – общая).

Используя точки D и G пересечения дуги радиусом R1 с лучом BF, можно аналогично разделить пополам угол ABF, получив при этом углы ABH и HBF, равные α/4. При построении точки Н удобно использовать дуги окружности радиусом R2.