Фрагмент урока алгебры «Простейшие тригонометрические уравнения» (10–11 класс)
Решение простейших тригонометрических уравнений
Вид уравнения | Общее решение | Частные случаи | ||
a = 0 | a = 1 | a = - 1 | ||
sin x = a | x1 = arcsin (a) + 2πn x2= π – arcsin (a) + 2πn; n ∈ Z или другая форма записи x= | x = πn, n ∈ Z | x= | x= или x= |
cos x = a | x1,2 = | x = | x = 2πn, n ∈ Z | x = π+2πn, n ∈ Z |
tg x = a | x = arctg (a) + πn, n ∈ Z | x= | - | - |
ctg x = a | x = arcctg (a) + πn, n ∈ Z | x= | - | - |
n ∈ Z
n ∈ Z
n ∈ Z
n ∈ Z
n ∈ Z
n ∈ ZПримеры решения уравнения:
4 cos2x – 1= 0;
(2cos x – 1)(2 cos x+1) = 0;
2 cos x – 1 = 0 cos x = 
x=± arccos () + 2πn, n ∈ Z x=±
, n ∈ Z
2 cos x + 1 = 0 cos x = 
x=± arccos () + 2πn, n ∈ Z x=±
, n ∈ Z
Укажем решения на единичной окружности: первый красным цветом, второй – синим.
Видно, что корень 
повторяется через половину оборота в корне 
, а корень 
повторяется через половину оборота в корне 
. Таким образом, мы можем объединить корни в одно решение:
x=±
, n ∈ Z (Обратите внимание изменился множитель у числа πn!!!)
Решите примеры:
sin x + ½ = 0 tg x – 1 =0 cos x + sin2x = 0
Решения примеров (для педагога)
1. sin x + ½ = 0
sin x = – ½
х = 
(обратить внимание на таблицу с решениями простейших уравнений)
2. tg x – 1 =0
tg x = 1
х =
(по таблице простейших уравнений)
3. cos x + sin2x = 0
cos x + 2 sin x cos x = 0
cos x (1 + 2sin x) = 0
cos x = 0 x = 
x =
1 + 2 sin x = 0 sin x = – ½ х = 
По единичной окружности видно, что объединить корни нельзя, поэтому оставляем ответ в виде совокупности двух (трех, если учитывать два вторых корня) корней.
