Геометрическая прогрессия

Методическая разработка урока по алгебре «Геометрическая прогрессия»

Класс – 9

Авторы УМК – Макарычев Ю.Н.

Тип урока - изучение нового материала

Цель урока - cоздать условия для организации деятельности по формулированию определения геометрической прогрессии, выводу формулы n-го члена геометрической прогрессии.

Задачи урока:

- сформулировать определение геометрической прогрессии;

- познакомиться с понятием «знаменатель» геометрической прогрессии;

- вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии;

- применять на практике полученные знания.

Планируемые образовательные результаты

Предметные:

- уметь применять индексные обозначения;

- распознавать арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию при разных способах задания, устанавливать закономерность, если даны несколько ее первых членов;

- вычислять члены последовательностей, заданных формулой n-го члена или рекуррентной формулой;

- уметь анализировать текстовые задачи;

- грамотно применять математическую терминологию и символику;

- уметь применять формулы арифметической и геометрической прогрессии;

Метапредметные:

Познавательные УУД

– составлять схемы определения понятия, подведение под понятие;

- постановка и решение проблемы при составлении задачи;

– проводить сравнение,

- проводить обобщение,

– проводить анализ;

– выбирает задачи в соответствии с целью;

– проводить дедуктивные рассуждения (от правил к примеру);

Регулятивные УУД

– уметь формулировать цель учебной деятельности;

- осуществляет самоконтроль;

- осуществлять самопроверку с использованием образцов, приёмов;

- оценивать свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями;

– осуществлять контроль, оценку и коррекцию;

- уметь контролировать процесс и результат учебной деятельности

Коммуникативные УУД

- организовывать взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах учебно-познавательной деятельности по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием;

– уметь делать выбор;

- уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи.

Личностные:

– самоопределение;

– рефлексия собственной деятельности;

– понимание значение умений для решения задач на геометрическую прогрессию;

- способность к эмоциональному восприятию математических объектов;

- креативность мышления, инициатива, находчивость, активность;

- готовность и способность обучающихся к саморазвитию и личностному самоопределению.

Технология обучения -системно-деятельностного типа

Методы обучения - частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый

Средства обучения - учебник, тетрадь, дневник, мел, проектор, экран, презентация, карточки.

актуализация знанийMP4 / 24.62 Мб

I .Организационный этап.

Доброе утро. Садитесь. Приготовили ладошки. С каким настроением вы пришли сегодня на урок? Хорошо. Открываем тетради. Записываем 21февраля.Классная работа

Сегодня мы продолжаем изучать последовательности. Внимание на экран.

II. Актуализация опорных знаний.

- Наловил дед рыбы полный воз. Рыба - крупные лещи. Едет домой и видит, лисичка свернулась калачиком лежит на дороге. Дед решил, что она мертвая. Вот славная находка! Будет моей старухе воротник на шубу. А лиса улучила время и стала выбрасывать полегоньку из воза все по рыбке да по рыбке. В первую минуту - 1 леща, во вторую–3-х, в третью-5, а в четвертую-7 (слайд 2).

- Сколько лещей она выкидывала в пятую, шестую, седьмую минуты? Составьте последовательность. ??? Запишите в тетрадь.(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…)

- Как называется такая числовая последовательность? (Арифметическая прогрессия)

- Дайте определение арифметической прогрессии. (Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией) 

-Каким свойством обладают члены арифметической прогрессии?

(Каждый член,начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим)

- Что значит среднее арифметическое двух чисел? (Полусумме этих чисел)

- А что называется средним геометрическим двух положительных чисел? (Корень квадратный из произведения этих чисел).

- Найдите среднее геометрическое чисел 2 и 8; 4 и 16; 

Проверяем что получилось.????(4; 6) Хорошо

Постановка проблемной ситуации.

Возьмите карточки, которые лежат у вас на столах, задача №1(читает Ульяна)

- Известно, что бактерия в питательной среде стремительно размножаются. Каждые полчаса происходит бинарное деление клетки. Сколько будет бактерий спустя 3 часа

-Как можно решить эту задачу?(Предполагаем и записываем решение со слайда)

- Составим последовательность

1,2,4,8,16,32,64.

- Является ли она арифметической прогрессией? (Нет)

- Почему?

-Что можете про нее сказать?(Получается умножением на2)

- Про соседние числа? (Если все члены прогрессии положительны, то каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов).

- Предположите, как она будет называться? (Геометрическая).

- Записываем тему урока: «Геометрическая прогрессия» 

Какие задачи нам предстоит с вами решить?

- сформулировать определение геометрической прогрессии;

- познакомиться с понятием «знаменатель» геометрической прогрессии;

- вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии;

- применять на практике полученные знания.

IV. Изучение нового материала.

- Вы сказали, что каждый член нашей прогрессии получился как?(Отвечают- путем умножения предыдущего на одно и то же число).

- В арифметической прогрессии ?(каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему одного и того же числа, а в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число).

- Пробуем дать определение геометрической прогрессии. (Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число).

- Смотрим Являются ли данные последовательности чисел геометрической прогрессией?

0; 2; 4; 8; ...?
4;2;1; 0; …? (Нет) (слайд 12).

- Почему? Какое ещё условие должно обязательно выполняться? (члены прогрессии не должны быть равными нулю).

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. (Далее ученик читает вслух определение по учебнику и делается сравнение (все точно)) (слайд 13).

Вернемся к нашей задаче.Смотрим на нашу прогрессию

Давайте теперь вернемся к задаче о размножении бактерий (слайд 17): «Известно, что бактерия в питательной среде через каждые полчаса делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной за 3 часа?»Решение. (слайд 18)

Теперь зная формулу п-ного члена мы можем более быстро решить множество задач.

- Какой вывод можно сделать? (Бактерии размножаются с очень большой скоростью, перед едой надо мыть руки и др..)

– Геометрическая прогрессия встречается в заданиях первой части ОГЭ по математике. Давайте рассмотрим и решим их из открытого банка заданий ОГЭ по математике. Решаем задание 2 и 3 в тетрадях. К доске елающие? (Ульяна и Арина)

Задание 2. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1; 3; 5; 6…

5; 4; 25; 100…

1;0 ;1 ; 0…

27;9;3; 1; ; …

Задание 3. 

Выписано несколько последовательных членов геометрической
прогрессии: 3; -9; x; -81; 243; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

 Геометрическая прогрессия встречается не только в алгебре, но и в других школьных предметах.Где вы встречались с прогрессиями?

- в биологии: как мы уже увидели деление бактерий в благоприятных для них условиях происходит по закону геометрической прогрессии, а также размножение одуванчиков, кроликов, птиц, млекопитающих в благоприятной для них среде происходит по закону геометрической прогрессии;

- в физике: ядра урана при ударе об нейтрон делятся по закону геометрической прогрессии.

- в химии: при повышении температуры по закону геометрической прогрессии скорость химических реакций растет в геометрической прогрессии.

Даже вредная привычка – курение, оказывает пагубное влияние на легкие человека по закону геометрической прогрессии. Давайте, ребята, рассмотрим и решим с вами следующую задачу.

Задание 4. 

Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза. Сколько в среднем никотина оседает в легких у курильщика за день? (самостоятельно решают)

Решение.( слайд 23).

Записывается последовательность чисел:

0,0002, 0,0004, 0,0008,…

b1=0,0002, q=2

b8=0,0002* =0,0002*128=0,0256

Какой вывод мы можем сделать?(Нужно вести здоровый образ жизни!).

V.Физкультминутка.

Ладошки. Сейчас вы смотрите на задание в карточке. Если прогрессия арифметическая показывает лайк,если геометрическая моргаете 2 раза глазами. Номер один. 

Задание 5:(Арифметическа-глазами вверх,геометрическая-вниз)

1) 1,2,3, 4, ... (арифметическая прогрессия)

2) 5, 25, 125, 625,.. (геометрическая прогрессия)

3) 3, 6, 9, 12,… (арифметическая прогрессия)

4) 2, 4, 8, 16, 32,.. (геометрическая прогрессия)

Молодцы,показываю лайк.

VI.Закрепление.

Хорошо, теперь рассмотрим с вами задачу, с которой каждый из вас может столкнуться в жизни.

Задание 5

Вкладчик внес в банк 10000 р. Банк ежегодно начисляет 3% годовых. Какая сумма вклада будет на счете через 3 года?

Начальная сумма вклада составляла 10000р.

Через год 10000*1,03р.

Через два года (10000*1,03)*1,03р =. 1000*1,032р.

Через три года (10000*1,03)*1,03р =. 1000*1,032р

Сумма, накопленная на счету у вкладчика, через 2 года будет равна третьему члену этой прогрессии, т.е. составит10*1,032

Выполнив вычисления, найдем, что 10000*1,033 =10609 Таким образом можно рассчитать сумму на счете на любой год вклада. 10000*1,033 =10609

Задание 6

Вертикальные стойки фермы (конструкции) имеют такую длину: наименьший 1 м, а каждый следующий в 3 раза длиннее.
Найдите длину шестого стержня..

1*3=3 3*3=9 9*3=27 27*3=81

Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет всё население посёлка в количестве 341 человека?

Задание 7:Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

VII. Рефлексия 

Ладошки.

Решили мы задач,которые перед собой ставили?

Урок был ознавательным? Интересным? Полезным?

VIII.Домашнее задание 

1Решаем задачи из карточки

2В номере 14 сборник выбираем задания на нахождение п-ного члена геометрической прогрессии.Именно их решения мы буде разбирать на следующем уроке.

Заключение.

. Как вы думаете, ребята, в какой сфере можно использовать геометрическую прогрессию для того, чтобы мир изменился к лучшему? Если каждый из нас будет делать добро не для одного, а хотя бы для двух людей, то оно будет расти в геометрической прогрессии и заполнит весь мир, чего мы так все хотим! Творите добро!