ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ "Санкт-Петербургская Школа "Тет-а-Тет"
Учитель Математики Высшей категории
КОНСПЕКТ УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ "ОБЪЕМ ШАРА» В 11 КЛАССЕ
Цели урока:
образовательные:
обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Тела вращения»; вывести формулу объема шара.
воспитательные:
показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;
показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.
развивающие:
совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.
Тип урока: Комбинированный
Методы и приемы: словесный, наглядный, фронтальный, индивидуальный, проблемный
Технологии:
Оборудование: учебник геометрии 10-11класс, автор Л.С.Атанасян; компьютеры (ноутбуки по количеству учащихся); мультимедейный проектор; модели тел вращения (шар, цилиндр, конус); презентация.
План урока.
1. Организационный момент 1 мин.
2. Повторение 5 мин.
3. Изучение нового материала 10 мин.
4. Первичное осмысление и закрепление новых знаний (практическая работа) – 15 минут.
5. Решение задач открытого банка ЕГЭ В9 7-8 минут
5. Постановка домашнего задания – 2 минуты.
6. Подведение итогов урока – 2 минуты.
7. Рефлексия - 1 минута.
Ход урока
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация опорных знаний.
Теоретический опрос (фронтальная работа с классом)
1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.1.Цилиндр. 2.Конус. 3.Усеченный конус. 4. Шар.
V=1/3SОСНH=1/3∏R2H V=SОСНH=πR2H V=1/3∏H(R2+r2+Rr) S=4 πR2
III. Изучение новой темы.
Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.
Вспомните, определение шара и его элементов.
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называетсядиаметром шара.
Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.
Теорема: Объем шара равен 
Доказательство:
Мы уже знаем, что можно вычислять объёмы тел с помощью интегральной формулы
V=
Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.
(Учитель объясняет вывод формулы объёма шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях).
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис192).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим 
. Тогда 
, где 
Так как 
, то заменяя r через выражение 
получим 
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
Теорема доказана.
В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно знать формулу 
, где D – диаметр шара
Физкультминутка (для глаз).
IV.Формирование умений и навыков учащихся.
ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.
Что вы возьмете? Правы ли были продавцы
Решение:
Необходимо найти объемы данных арбузов.
и таких арбузов три, значит их общий объем равен 
Задача (Архимеда): На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр в …раз меньше объема цилиндра и что также относятся площади поверхностей этих тел». Найдите отношение объема цилиндра к объему шара и отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.
Дано: в цилиндр вписан шар
Найти: отношение объёмов цилиндра и шара, отношение площадей поверхностей
РЕШЕНИЕ:
Ответ:1,5
Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление объёмов тел вращения»
Учащиеся получают модели цилиндра, конуса и шара.
Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объёмы полученных моделей. Результаты оформить в программе Microsoft Office Excel.
Измерения и вычисления проверяются сразу на уроке, используя формулы в данной программе.
№
Конуса
Цилиндра
Шара
объём
После выполнения практической работы сразу учащиеся проходят тестирование (10 вопросов). Тест к уроку 14 марта.exe.
Задачи из ЕГЭ (В9):
1.Около шара описан цилиндр, площадь поверхности
которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решение: (Опираемся на открытие Архимеда)
Ответ: 12
2.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?
Решение:
Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.
Поверхность шара S1 = 4пR2, стала S2 = 4пR2/9 = 4п (R/3)2 = 4пr2
Видим, что r =
, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.
Объем V1= 4/3 ПR3, а объем V2= 4/3 пr3 = 4/3 п(R/3)3 =4/3 пR3 /27 = V1 / 27.
Ответ:27
V. Итог урока.
Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.
Диагностика (рефлексия).
На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.
Беседа по следующим вопросам:
Что было интересного сегодня на уроке?
Что вызвало трудности?
Какие умения приобрели сегодня?
Где могут пригодиться эти умения?
Домашнее задание.
П.82 № 710, II уровень №713
