Методическая разработка лекции по математике на тему «Основные понятия и методы теории вероятностей»

ГОСУДАРСТВЕННО АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУм

Методическая разработка лекции

По дисциплине «Математика»

 

 

 

 

Раздел 2: Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении

 

Тема 2.1: Основные понятия и методы теории вероятностей

Специальность: 31.02.01 «Лечебное дело»

углубленной подготовки

 

2018

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.

Купино

2018 г

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к методической разработке дисциплины «Математика» по теме: «Основные понятия и методы теории вероятностей». Методическое пособие разработано для преподавателя и студентов с целью формирования знаний по теме: «Основные понятия и методы теории вероятностей». В процессе лекции студенты приобретают и систематизируют знания основных понятий и методов теории вероятностей.

В ходе занятия используются элементы групповой работы, личностно-ориентированной технологии, здоровья сберегающей технологии.

Методическая разработка составлена в соответствии с требованиями к знаниям ФГОС ΙΙΙ поколения, для использования на лекции в рамках специальности 31.02.01 «Лечебное дело» углубленный уровень среднего профессионального образования.

В соответствии с ФГОС, после изучения данной темы студент должен знать: - основные понятия и методы теории вероятностей.

Формируемые компетенции:

ОК.1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес;

ОК.2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество.

ОК.3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК.4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 12. Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.

ОК 13. Вести здоровый образ жизни, заниматься физической культурой и спортом для укрепления здоровья, достижения жизненных и профессиональных целей.

П.К.1.3. Участвовать в проведении профилактики инфекционных и неинфекционных заболеваний.

П.К.2.1. Представлять информацию в понятном для пациента виде, объяснять ему суть вмешательств.

П.К.2.2. Осуществлять лечебно-диагностические вмешательства, взаимодействуя с участниками лечебного процесса.

П.К.2.3. Сотрудничать со взаимодействующими организациями и службами.

П.К.2.4. Применять медикаментозные средства в соответствии с правилами их использования.

П.К.3.1. Оказывать доврачебную помощь при неотложных состояниях и травмах.

П.К.3.3. Взаимодействовать с членами профессиональной бригады и добровольными помощниками в условиях чрезвычайных ситуаций.

Учебно-методический план занятия

Предмет: Математика

Тема: Основные понятия и методы теории вероятностей.

Тип занятия: лекция 2

Цели занятия:

1.Образовательная:

- Формирование знаний основных понятий и методов теории вероятностей.

2. Развивающая:

Развивать способность осуществлять поиск информации;

Развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

Развивать способность принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях;

Развивать вычислительные навыки.

3. Воспитательная:

- воспитывать устойчивый интерес к профессии мед.работника;

- воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

- воспитывать толерантность;

- продолжить формирование аккуратности и точности.

Методы обучения: Информационно-развивающий, репродуктивный

Междисциплинарная интеграция:

 

Информатика

 

 

 

 

ПМ. 05 Медико-социальная деятельность

 

 

 

 

ПМ. 04 Профилактическая деятельность

 

 

 

Дидактическое пространство:

1.Электронная презентация. Технические средства обучения: ноутбук, проектор, экран, электронная презентация.

2. Вопросы для входного контроля, содержание учебного материала, тестовые задания для закрепления материала.

Время и место проведения занятия:

90 минут, кабинет математики.

Рекомендуемая литература:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей: Учебное пособие для среднего профессионального образования. / Гилярова М.Г.. -Ростов-на-Дону.: Феникс, 2016.

Хронологическая карта занятия

Приложение №1

Входной контроль

Сформулируйте определение графа в теории графов (ТЗ №25)

Перечислите виды графов (ТЗ №26)

Перечислите элементы графа (ТЗ №27)

Сформулируйте определение неориентированного графа (ТЗ №28)

Сформулируйте определение ориентированного графа (ТЗ №29)

Сформулируйте определение смешанного G-графа (ТЗ №30)

Сформулируйте определение изоморфного графа (ТЗ №31)

Приложение №2

Основные понятия и методы теории вероятностей

Комбинато́рика— раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Число всех перестановок порядка n равно факториалу: Pn=n!

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

Задача. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.

Задача. На танцплощадке собрались 7 юношей и 7 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

 

Ответ: 7!

Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Задача. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

Решение. Перечислим все возможные варианты:

20 22 26

30 32 36

60 62 66

70 72 76

90 92 96

Используя правило умножения, получаем: 5х3=15

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают Cnk. Оно равно

Задача. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей? 

Решение: По формуле находим:

=120 комиссий

 

Ответ: 120 комиссий.

Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Задача. В группе обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно. По формуле находим

 Ответ: 12144 способа

Правила суммы и произведения

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект АА может быть выбран из совокупности объектов mmспособами, а другой объект ВВ может быть выбран nn способами, то выбрать либо АА, либо ВВможно m+nm+n способами.

Правило произведения. Если объект АА можно выбрать из совокупности объектов mm способами и после каждого такого выбора объект ВВ можно выбрать nn способами, то пара объектов (А,В)(А,В) в указанном порядке может быть выбрана m⋅nm⋅n способами.

Приложение №3

Физкультминутка

И.п. – о.с. 1 – руки через стороны вверх; 2–3 раза подняться на носки; 4 – и.п.; 4 раза, темп медленный.

И.п. – о.с. 1 – прогнуться, руки отвести назад; 2–4 раза держать; 5–6 – и.п.; 6 раз, темп медленный.

И.п. – стойка ноги врозь, руки согнуты в локтях, ладонями вниз. Имитация плавания стилем «брасс». 1 – наклон вперед, руки вперед; обе руки в стороны, 3–4 – и.п.; 4 раза, темп средний.

И.п. – стойка ноги врозь, руки на пояс. 1 – наклон туловища назад: 2–4 – держать; 5–6 – и.п.; 4 раза, темп медленный.

И.п. – сидя за партой, лицом к проходу, руки в упоре. Имитация движений «велосипед»; произвольно, темп средний.

Ходьба на месте, руки через стороны вверх, сжимая и разжимая пальцы рук; 10 сек, темп средний.

 

 

Приложение №4

Осмысление и систематизация полученных знаний

Сформулируйте определение факториала (ТЗ №112)

Сформулируйте определение перестановки (ТЗ №113)

Сформулируйте определение размещения (ТЗ №114)

Сформулируйте определение сочетания (ТЗ №115)

Сформулируйте определение комбинаторики (ТЗ №116)

Приложение №5

Критерии оценивания входного контроля:

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 25

Текст задания: Сформулируйте определение графа в теории графов

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Графом называют геометрическую схему, представляющую собой систему линий, связывающих какие то заданные точки. Точки называются вершинами, а связывающие их линии - ребрами (или дугами). Теория графов обосновывает способы построения графов, выражающих зависимости или связи в форме геометрических схем между различными единицами той или иной совокупности. Фактически теория графов есть совокупность способов топологических представлений каких-либо процессов или структур. Многие структуры, представляющие практический интерес в логике, информатике, математике и других науках, могут быть представлены графами.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 26

Текст задания: Перечислите виды графов

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - перечислены 5 видов графов

«4» - перечислены 4 вида графов

«3» - перечислены 3 вида графов

«2» - перечислены менее 3 видов графов

Эталон:

Граф – это конечное множество Х, состоящее из n элементов называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения называемое множеством дуг.

Ориентированным графом G (орграфом) называется совокупность (Х, V).

Неориентированным графом называется совокупность множеств Х и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству Х.

Граф называется полным, если каждые две вершины его соединены одним и только одним ребром.

Граф, для которого из следует называется симметричным. Если из следует , то соответствующий граф называется антисимметричным.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 10 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 27

Текст задания: Перечислите элементы графа

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - перечислены 9-10 элементов графа

«4» - перечислены 7-8 элементов графа

«3» - перечислены 6 элементов графа

«2» - перечислены менее 6 элементов графа

Эталон:

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой).

Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.

Степень вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень графа ещё называют его валентностью и обозначают . Вершина графа, для которой является изолированной, для которой висячей.

Вершина называется нечётной, если нечётное число. Вершина называется чётной, если чётное число. Степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин.

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой любые два соседних элемента инцидентны: Если то маршрут замкнут, в противном случае открыт.

Путём называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.

Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.

Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.

Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Цепью называется множество рёбер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 10 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 28

Текст задания: Сформулируйте определение неориентированного графа

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Неориентированный граф, G-граф - это упорядоченная пара G := (V, E), для которой выполнены следующие условия: V - это непустое множество вершин, или узлов, E - это множество пар (в случае неориентированного графа - неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами. V (а значит и, E, иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 29

Текст задания: Сформулируйте определение ориентированного графа

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G := (V, A), для которой выполнены следующие условия: V — это непустое множество вершин или узлов, A — это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 30

Текст задания: Сформулируйте определение смешанного G-графа

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Смешанный G-граф - это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые - неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G := (V, E, A), где V, E и A определены так же, как выше. Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 31

Текст задания: Сформулируйте определение изоморфного графа 

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Изоморфный граф - это некоторый граф G, для которого существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин другого графа H, которому он изоморфен, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот - если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f^{-1}(A) в вершину f^{-1}(B).

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

Критерии оценивания вопросов:

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 112

Текст задания: Сформулируйте определение факториала

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 113

Текст задания: Сформулируйте определение перестановки

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Число всех перестановок порядка n равно факториалу: Pn=n!

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 114

Текст задания: Сформулируйте определение размещения

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 115

Текст задания: Сформулируйте определение сочетания

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают Cnk. Оно равно

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ (ТЗ) № 116

Текст задания: Сформулируйте определение комбинаторики

При дихотомической системе оценивания критерием оценки выступает правило: за правильный ответ (соответствующий эталонному – показателю) выставляется 1 балл, за неправильный ответ (несоответствующий эталонному – показателю) выставляется 0 баллов.

Оценивание осуществляется по критериям:

«5» - 3 балла

«4» - 2 балла

«3» - 1 балл

«2» - 0 баллов

Эталон: Комбинато́рика— раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов).

Условия выполнения задания:

1. Место выполнения задания в учебной аудитории

2. Максимальное время выполнения задания: 2 мин.

Разработчик: Тюменцева О. Н.

Подведение итогов