Моргунова Антонина Анатолевна

Статья на тему «Методика организации решения уравнений и их систем графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся»

Материал опубликован 13 July 2020

Методика организации решения уравнений и их систем графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся .

Слышу - и забываю,

вижу - и запоминаю,

делаю - и понимаю.

(Восточная мудрость)

Многие говорят, что математика скучна. Так думают люди, далеко стоящие от математики. Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты. Научить ребят видеть красоту математики, развить, сформировать интерес к ней – одна из важнейших задач обучения математике. Ведь устойчивый познавательный интерес – один из инструментов, побуждающий учащихся к более глубокому познанию предмета, развивающий их способности.

Открыть ребёнку всю радость, привлекательность, роскошь мысли – ещё одна из важных задач, стоящих перед учителем: не мыслям нужно учить, а мыслить. И если глаза учеников блестят от радости открытий, и если кто-то скажет: “Как я люблю эти функции и их графики!”, то, наверно, мой труд не напрасен.

Именно этим целям служат мой опыт: основная идея которых показать, как можно применять хорошо известные свойства функций в тех ситуациях, где ученики не привыкли ими пользоваться, как с помощью геометрических преобразований быстро, легко и красиво построить график уравнения, содержащего один, два, три и большее число модулей, как построить график сложной функции, применяя разные способы и приёмы. Говоря о построении графика функции, имеется в виду лишь его эскизное изображение, отражающее характерные особенности функции, передающие ее ход на всей области определения. Это требует умения математически грамотно размышлять, продумывать, на что следует обратить внимание и как передать те или иные черты поведения функции на рисунке.

На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала обучающиеся должны уметь производить измерения и решать задачи с производственно – техническим содержанием, пользоваться справочниками и таблицами, считать на простейших приборах, выполнять хозяйственные расчёты, строить схемы, диаграммы и графики, свободно владеть чертежными и измерительными инструментами.

Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи, решение которых требует применения графического способа.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики и методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений и математическая культура учащихся. В то же время, графическому решению уравнений и их систем в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся не вспоминают о таком способе и решают, приводя громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость построить так обучение, что бы не затрачивая дополнительное время, уметь не только строить графики элементарных функций, но и выполнять их преобразования.

В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С. Теляковского. Линейная функция и функции у=х2, у=х3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.

Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:

- постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х2; у=4; б) у=х2; у=2х.

- изобразите схематически графики функций у = 0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10; у=

9. Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: х 3 = 7;  х+2 = 9;  4  х  = 1,5.

В 8 классе изучаются функции у = к/х; у = х. Представлены функции у = 4/ х, у = 6/ х.

Интересны задания

- Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться а) в одной точке;

б) в двух точках;

в) в трёх точках.

- Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях.

Опять же эти упражнения в дополнительных.

В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = х+6; (8/х = х2). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. ( х3  х + 1 = 0; х3 + 2х  4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.

В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями..

- На рисунке изображён график одной их функций у = ; у =; у =. Какой именно?

- Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = х 2

Сделаны попытки преобразования графических объектов.

- Какие преобразования надо выполнить, чтобы

а) из графика функции у=х3 получить графики функций у =  х3; у = (х3)3; у = х3 + 4.

б) из графика функции у = х получить графики функций у =  х ; у = ;

у = ?

- Постройте в одной координатной плоскости графики функций у =  х; у =х 4; у = х 43.

В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.

Достаточное внимание уделяется графическому способу решения систем нелинейных уравнений. Он выделяется как способ: способ сложения, способ подстановки, графический способ. Однако функции заданы стандартно, преобразования графических объектов практически не требуются.

В учебниках А.Г. Мордковича упражнений более чем достаточно. Графический способ ярче просматривается. Этот метод замечательно прорабатывается в УМК А.Г.Мордковича “Алгебра и начала анализа”, в котором именно функционально-графическая линия выбрана в качестве приоритетной из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры.

Данный метод помогает найти точное или приближённое значения корней, позволяет найти количество корней уравнения. При построении графиков и решении уравнений мы используем свойства функций, поэтому метод и называется функционально-графическим.

Для решения уравнений “делим” его на две части, вводим две функции, строим их графики, используя свойства функций, находим координаты точек пересечения этих графиков – абсциссы этих точек и есть корни нашего уравнения. В процессе решения уравнений повторяются и свойства различных функций.

Например:

-Решить графически

-x2+4=(x-2)2

X+1=(x-1)2

X2-3=

x2-4=-(x+2)2

Однако время остаётся тем же, поэтому приоритетным считается аналитический метод.

В старших классах содержание программного материала насыщено, поэтому поздно формировать навыки преобразования графических объектов. Необходимо показать их применение при решении уравнений и систем уравнений.

В 2003 году, когда выпускники Волгоградской области впервые сдавали экзамены в форме ЕГЭ в контрольно - измерительных материалах появились такие «скромные» уравнения х2 + 1 = cos х. Естественно решить его проще всего графическим способом. На экзамене 2003 г. (уровень В) были предложены системы

вида

По итогам анализа экзамена только 16 – 23 % выпускников справились с системами уравнений.

Хотя, владея навыками построения графиков функций и преобразования графических объектов, решить несложно, построив графики функций

А в 11 классе при аттестации вполне можно обойтись и без графиков.

то решила построить «линию» в изучении графиков функций и преобразования их как объектов и на уроке, и во внеурочное время на занятиях кружка, консультациях, если таковые запланированы учебным планом.

Уже в 7 классе строим графики функций у =  х  3, у = 4   х; у =х +4;

у =  х  3. При построении параболы вводим первые преобразования:

- построить графики функций у = х2 +3; у=х2 5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2)2; у = (х1)2. Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.

В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = х. (См. приложение 4).

I. II.

Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л. Галицкого, А.И. Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметромх2 2х3 = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = х2 2х3; у = а. Получаем ответ а = 4.

В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х2 2)2  (х2 1)2;

Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?

Считаю, что основное в решение уравнений графическим способом – это преодоление психологического барьера. Считаю, главным сформировать мнение о графическом способе как равноправном наряду с другими. Мои ученики решают уравнения вида sinх = х; cos2х = х2+1; 2х  1=х.

Формирование у обучающихся умений преобразования графических объектов происходит на различных этапах урока. Например, при изучении темы «Показательная функция» на 2 - 3 уроке на доске или с помощью мультимедийнопроектора предлагаются рисунки:

На каком из рисунков изображён график функции у = 2х+1?

2) Укажите функцию, график которой изображён на рисунке.

1) у = 2х+1 – 1; 2) у = 2х; 3) у = 21-х – 1; 4) у = 2-х -2.

3) Укажите функцию, график которой изображён на рисунке.

1) у = 0,5х+2 – 1; 2) у = 0,5х+1 – 2; 3) у = 0,5-2-x – 1; 4) у = 0,5-3-x – 2.

При изучении темы «Логарифмическая функция»:

График какой функции изображён на рисунке?

1) у = loq2(х–1); 2) у = loq2 х –1;

3) у = loq2 х +1; 4) у = loq2(х+1).

При изучении темы «Тригонометрические функции»: укажите график функции, заданной формулой у = cos 2х.

Устная работа по готовым чертежам превращается в тренинг. Неоднократное повторение с опорой на наглядность позволяет устанавливать соответствие графика функции с формулой, которой он задан, учитывая графические преобразования объектов.

Наибольшую результативность показывают уроки – практикумы и лабораторно – графические работы

Преобразование графиков тригонометрических функций выполняется по предлагаемой схеме: у = Аf(кх+а) – В

Схема поэтапного построения графика.

Порядок построения графика

Порядок упрощения функции

Y+В=Af[k(x+

)] перенос оси абсцисс на |B|единиц

1. Y=Af[k(x+)] перенос оси ординат на ||единиц

2. Y=Af(kx) отражение графика относительно оси абсцисс

(этап выполняется только при А<0)

3. Y=|A|f(kx) сжатие или растяжение графика вдоль оси ординат

4. Y=f(kx) отражение графика относительно оси ординат

(этап выполняется только при к<0)

5. Y=f(|k|x) сжатие или растяжение графика вдоль оси абсцисс

6. Y=f(x)

При этом учитываются индивидуальные способности учащихся и их математическая подготовленность. Для слабоуспевающих не включаются такие преобразования, как сжатие или растяжение. Последовательное выполнение производится в обязательном порядке цветными карандашами или ручками. Обычно такая работа организуется в парах на первых этапах освоения схемы построения. Затем для слабых учащихся предлагается выполнить самостоятельно, а для более успешных учеников задача усложняется. В своей работе использую разноуровневые дидактические материалы авторов А.П. Ершова, В.В. Голобородько.

В одной системе координат постройте графики функций:

Вариант А1 Вариант А2

у = cos х у = sin х

у = cos х 2 у = 3sin х

у = 2cos х у = sin х + 2

Вариант Б1 Вариант Б2

у = sin х у = cos х

у = sin (х + /3) у = cos (х /6)

у =2 sin (х + /3) у = 1/2cos (х /6)

Вариант В1 Вариант В2

у = ctq х у = tq х

у = 2ctq (х  /4) у = 1/2 tq(х+/4)

у = 2ctq (х  /4) у =1/2 tq(х+/4)

Обучающиеся с повышенным интересом к математике получают домашние самостоятельные работы, как правило более высокого уровня сложности. Творческие гимназисты с помощью графиков элементарных функций и их преобразований могут составить орнамент и выполнить его художественную интерпретацию. График кусочно – элементарных функций выполняется в первой координатной четверти, а затем отображается относительно осей координат. Например: у = -4х+4, х0; 1

у = loq2 х, х1; 4

у =  х+6, х4; 6

у = (х6)2, х6; 8

у = (х10)2, х8; 10

Некоторые учащиеся составляют определённые фигуры, цветы, предметы. При этом сопровождается непростой аналитической работой по нахождению точек стыковок.

Уравнения, решаемые графическим способом.

I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.

Уравнения	Функции	Ответ
х3 +х – 10 =0	f (х) = х3 g (х) = 10 – х	2
х5 + х – 34 = 0	f (х) = х5 g (х) = 34 – х	2
х4 + 5х –6 = 0	f (х) = х4 g (х) = –5х +6	-2, 1
х3 +3х2 = (х+2)6 + 4	f (х) = х3 +3х2 g (х) =(х+2)6 + 4	2

II. Уравнения с квадратным корнем.

Уравнения	Функции	Ответ
	f (х) = g (х) = 2х	1
	f (х) = g (х) = х – 1	2
	f (х) = g (х) = х – 4	3
	f (х) = g (х) = 3х – 3	1

III. Уравнения с модулем.

Уравнения	Функции	Ответ
 х+2 + х = 0	f (х) =  х+2 g (х) = – х	– 1
 х–3 – х +1 = 0	f (х) =  х–3 g (х) = х – 1	2
х2 –  х = 0	f (х) = х2 g (х) =  х	– 1, 0, 1
х2 – 2+ х = 0	f (х) = х2– 2 g (х) =–  х	– 1, 1
х2 – 2х + х– 2 = 0	f (х) = х2 – 2х g (х) = – х– 2	1,2
1/2х2 + 2х +  х+4=0	f (х) = 1/2(х2+4х) g (х) = – х + 4	–4, –2
 х – 1/х=0	f (х) =  х g (х) = 1/х	1
 х + 4/х=0	f (х) =  х g (х) = – 4/х	– 2

IV. Уравнения с тригонометрическими функциями.

Уравнения	Функции	Ответ
sin х – х +  = 0	f (х) = sin х; g (х) = х – 	
sin х –х/ +1=0	f (х) = sin х; g (х) = х/ – 1	
sin х – (х – /2)2 – 1=0	f (х) = sin х; g (х) =(х – /2)2 +1	
sin х – (х – 3/2)2 + 1=0	f (х) = sin х; g (х) = (х – 3/2)2 – 1	3/2
sin х – (х – /2) – 1=0	f (х) = sin х; g (х) = (х – /2) + 1	/2
sin х – (х + /2) + 1	f (х) = sin х; g (х) = (х + /2) – 1	– /2
sin х + х =0	f (х) = sin х; g (х) = х	0
sin х – =0	f (х) = sin х; g (х) =	
cos х – х – 1 =0	f (х) = cos х g (х) = х+1	0
cos х – х + /2 =0	f (х) = cos х g (х) = х – /2	/2
cos х – х2 – 1 =0	f (х) = cos х g (х) = х2 +1	0
cos х + (х – ) + 1 = 0	f (х) = cos х g (х) = – (х – ) –1	
cos х +  х – 1 =0	f (х) = cos х g (х) = –  х + 1	0
cos х – =0	f (х) = cos х g (х) =	/2

V. Уравнения с показательной и логарифмической функциями.

Уравнения	Функции	Ответ
3х + х – 4 = 0	f (х) = 3х g (х) = –х + 4	1
3х – х – 2 = 0	f (х) = 3х g (х) = х +2	1
3х – 3/х = 0	f (х) = 3х g (х) = 3/х	1
(1/3)х = х + 4	f (х) = (1/3)х g (х) = х + 4	– 1
loq2 х + х – 3 = 0	f (х) = loq2 х g (х) = – х + 3	2
loq3 х + х – 1 = 0	f (х) = loq3 х g (х) = – х + 1	1
loq2 х – 2/х = 0	f (х) = loq2 х g (х) = 2/х	2
loq2 х – (х–1)2	f (х) = loq2 х g (х) = (х–1)2	1,2

Системы, решаемые графическим способом 1.

x0+y0

2).

x0*y0

3).

x0-y0

4).

x0*y0

5).

x0+y0

6).

x0+y0

7).

x0-y0

8).

x0-y0

x0<0

9).

10). 11).

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и систем уравнений, при решении которых использовали некоторые свойства функций.

Работа может быть использована для углубления и расширения знаний в области построения графиков функций и использовании графического метода при решении некоторых видов уравнений. Теорию можно использовать так же при подготовки к экзаменам , к олимпиадам.

Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация их применения на практике.

IV. Список литературы:

Алгебра:7кл,8кл,9класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2015

Алимов Ш.А .Алгебра и начала математического анализа. . - М. : Просвещение, 2016

М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре 8-9 класс М. Просвещение, 2010

Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы», М.: «Дрофа», 2010 г

А.В. Попадюк «Тригонометрические уравнения и неравенства», 2006 г

Е.В. Хорошилова. Элементарная математика. Учебное пособие для старшеклассников и абитуриентов. — М.: Изд-во МГУ, 2010, Ч.1 — 472с., Ч.2 —

Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.