Урок алгебры в 8 классе «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»
Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»
Цель урока:
Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,
Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,
Сформулировать и доказать теорему Виета,
Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,
Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой обратной теореме Виета.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование: учебник алгебры под ред. Никольский С.М. и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку, составленная учителем.
План урока.
№ | Этап урока | Содержание (цель) этапа | Время (мин) |
1 | Организационный момент | Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения. | 1 |
2 | Проверка домашнего задания | Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. | 2 |
3 | Анализ проверочной работы | Разбор допущенных ошибок, ответы на вопросы. | 3 |
4 | Изучение нового материала | Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся. | 14 |
5 | Закрепление изученного материала | Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя. | 15 |
6 | Подведение итогов урока | Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса. | 3 |
7 | Домашнее задание | Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений. | 2 |
8 | Дополнительные задания | Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся. | 5 |
Ход урока.
Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.
Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.
№ | Уравнение | а | b | c |
| Количество корней |
1 |
| |||||
2 |
| |||||
3 |
| |||||
4 |
| |||||
5 |
| |||||
6 |
|
Анализ проверочной работы. Разбор допущенных ошибок, ответы на вопросы.
Текст проверочной работы:
Вариант №1. Решите уравнения: А) Б) 2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение Один корень, Два различных корня. | Вариант №2. Решите уравнения: А) Б) 2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение Один корень, Два различных корня. |
,
имеет:
,
имеет:Изучение нового материала.
Реши уравнения:
№ | Уравнение | Корни уравнения | Сумма корней | Произведение корней |
1. | х2 + х –12 = 0 | 3 и -4 | -1 | -12 |
2. | х2 - 12х – 45 = 0 | -3 и 15 | 12 | -45 |
3. | у2+ 8у +15 = 0 | -3 и -5 | -8 | 15 |
4. | у2- 5у +6 = 0 | 2 и 3 | 5 | 6 |
5. | z2-10z +21 = 0 | 3 и 7 | 10 | 21 |
6. | z2- 3z -10 = 0 | -2 и 5 | 3 | -10 |
Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.
4.1. Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II.
Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.
Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»
Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена 
и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема , которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.
Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.
4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.
Определение. Квадратное уравнение вида 
называется приведенным.
Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.
Пример. 
.
Всякое квадратное уравнение 
может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на 
.
4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.
|
|
a, b, c | a=1, b=p , c=q |
|
|
4.4. Сформулировать и доказать теорему Виета.
Если 
и 
- корни уравнения , то справедливы формулы 
, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.
Пример. 
. p=-5,q=6.
. 
. Значит числа и - числа
положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых
равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 – корни уравнения.
4.5. Применение теоремы Виета.
С её помощью можно:
Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,
Зная один из корней , найти другой,
Определить знаки корней уравнения,
Подобрать корни уравнения, не решая его.
По данным двум числам составлять квадратное уравнение.
4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.
Если числа p, q, и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения .
4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.Закрепление изученного материала
№ 239 (устно)
№ 240 (устно)
№ 241 (а,в,д,ж)
№ 244 (устно)
№ 246 (устно)
№ 247(а,в,д)
№ 249 (а,г,ж)
Подведение итогов урока.
Ответьте на вопросы:
Какие уравнения называются приведенными?
Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?
Сформулируйте теорему Виета.
Чему равна сумма и произведение корней уравнения:
Зачем нужна теорема Виета?
Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.
Домашнее задание.
п.4.5-4.6, № 241(б,г,е,з); 247(б,г,е); 249(б,д,з).
Дополнительные задания.
Уровень А. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5. |
Уровень В. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны |
Уровень С. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
|
и 
.
6
