Проектная задача как элемент урока математики

Проектная задача на уроке математики в 10-11 классах

Задача: Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 500 литров воды. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Данная проектная задача может быть предложена учащимся 10-11 классов по алгебре и началам математического анализа в рамках изучения темы «Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин».

Цели решения задачи:

Общеобразовательные: углубление понимания сущности производной путём применения её для получения новых знаний; установление межпредметных связей.

Развивающие: формирование умений строить доказательство, логическую цепочку рассуждений; формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к учебному предмету; воспитание у учащихся культуры логического мышления.

Основополагающий вопрос: Какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность.

Учебные вопросы:

Площадь квадрата.

Площадь прямоугольника.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда.

Возрастание и убывание функции.

Точки максимума и минимума.

Область определения функции.

Наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке.

Этапы работы над задачей:

Первый этап: Составление математической модели (перевод задачи на язык функций. Для этого выбирается удобный параметр , через который интересующая нас величина выражается как функция ).

Проанализировав условие задачи, выяснить оптимизируемую величину (О.В.), т.е. величину, о наименьшем значении которой идёт речь. Обозначить её буквой S.

Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О.В., принять за независимую переменную (Н.П.) и обозначит её буквой . Установить реальные границы изменения Н.П. (в соответствии с условием задачи), т.е. область определения для искомой О.В.

Исходя из условия задачи, выразить S через . Математическая модель задачи представляет собой функцию с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

Второй этап: Работа с составленной моделью (средствами анализа отыскать наименьшее значение функции на промежутке).

На этом этапе для функции , найти , используя при этом правила нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Третий этап: Ответ на вопрос задачи (интерпретация найденного решения, т.е. «перевод» его с языка функций в терминах задачи).

На данном этапе следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Решение задачи: Первый этап. Составление математической модели.

О.В. – площадь поверхности бака, т.к. в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим О.В. буквой S.

Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Сторону квадрата, служащего основанием бака, примем за Н.П. и обозначим её буквой . По смыслу задачи , т.е. .

Если бак вмещает 500 л воды, то объём V бака равен 500 . Если h – высота бака, то , откуда .

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной и 4-х прямоугоьников со сторонами и . Значит, .

Второй этап: Работа с составленной моделью.

Задача сводится к отысканию наименьшего значения функции , где .

, .

На промежутке критических точек нет, а стационарная точка только одна: при .

Заметим, что при выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Значит, – единственная стационарная точка, причём точка минимума функции на заданном промежутке, а потому в этой точке функция принимает наименьшее значение.

Третий этап: Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна 10 дм.

Ответ: 10 дм.