Лорикник

Программа элективного курса по геометрии «Четырёхугольники» (8 класс)

Материал опубликован 29 April 2023

Программа элективного курса «Четырёхугольники»

Пояснительная записка

Геометрия формирует абстрактное, модельное мышление, развивает математическую интуицию и формирует логику интеллекта, как высший этап его развития, формирует эстетику математики, развивает логику доказательств, последовательность интеллектуальных операций, что делает этот предмет, при всей его сложности, востребованным и важным.

Задачи по планиметрии, включаемые в КИМы ЕГЭ, можно сгруппировать по следующим основным темам:

Треугольники

Четырехугольники (параллелограмм и трапеция)

Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.

Окружности, вписанные в четырехугольник и описанные около

четырехугольника.

Данный курс «Четырехугольники» рассчитан на 17 часов для учащихся 8-9 классов, желающих расширить и углубить свои знания по математике и качественно подготовиться к ОГЭ.

Цели и задачи элективного курса

Цели курса:

Развитие интереса учащихся к изучению геометрии.

Формирование умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.

Задачи курса:

Систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на вписанные и описанные четырехугольники.

Познакомить учащихся с различными типами задач и способами их решения.

Развивать логическое мышление учащихся, обогащать и расширять математический кругозор учащихся.

Сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.

Общая характеристика предмета:

При разработке данной программа: учитывалось то, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов учащихся, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.

Научиться решать задачи по геометрии значительно сложнее, чем по алгебре. Это связано с обилием различных типов геометрических задач и с многообразием приемов и методов их решения.

Основная трудность при решении этих задач обычно возникает по следующим, причинам:

планиметрический материал либо был плохо усвоен в основной школе, либо плохо сохранился в памяти;

для решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо не отрабатываются;

в «нетипичных» задачах, в которых представлены не самые знакомые конфигурации, надо уметь применять известные факты и решать базисные задачи, которые входят как составной элемент во многие задачи.

Структура курса представляет собой пять логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различимте формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работы, защитой индивидуальных проектов.

Учебно-тематический план

	Тема курса	Кол-во часов
	Общее понятие о четырехугольнике	3
	Четырехугольники	2
	Вписанные и описанные четырехугольники	3
	Площади фигур	3
	Подобные треугольники: свойства фигур, которые сохраняются при их проецировании	1
	Решение задач по всему курсу	3
	Защита индивидуальных проектов	2
	Итого:	17

Содержание программы

Тема 1. Общее понятие о четырехугольнике (3 часа).

Метрические соотношения в четырехугольниках. Свойства произвольного четырехугольника. Виды четырехугольников. Равновеликость. Равносоставленность.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения.

Тема 2. Четырехугольники-2ч.

Виды четырехугольников, их свойства и признаки. Вписанные и описанные четырехугольники.

Цель: обобщить, систематизировать и углубить знания о свойствах четырехугольников и их признаках.

Тема 3. Вписанные и описанные четырехугольники (3 часа).

Понятия вписанного и описанного четырехугольника. Свойства четыреугольников вписанного и описанного около окружностей.

Методы обучения; лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; самостоятельная работа.

Тема 4. Площади фигур-3ч

Свойства площади фигур. Различные формулы нахождения площади треугольников, площади четырехугольников. Напомнить учащимся теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Цель: расширить и углубить представления учащихся об измерении площадей, развивать умение вычислять площади фигур.

Тема 5. Подобные треугольники: свойства фигур, которые сохраняются при их проецировании-1ч.

Повторение признаков подобия треугольников, решение прямоугольных треугольников. Используя подобие треугольников, решение задач по вычислению высоты предмета, определению расстояний на местности. Решение поставленных практических задач на выбранной местности, различными способами.

Цель: сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников.

Тема 6. Решение задач по всему курсу (3 часа).

Защита проектов (2 часа).

Литература

Список литературы для учителя

Атанасян, Л.С. Геометрия [Изучение геометрии в 7-9 классах]: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.

Атанасян, Л.С. Курс элементарной геометрии : Учебное пособие для пед. ун-тов и ин-тов и шк. с углубл. изучением математики : В 2 ч. / Л. С. Атанасян, Н. С. Денисова, Е. В. Силаев . - Москва : Сантакс-Пресс, 1997

Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

584 с.

Капкаева, Л.С. Лекции по теории и методике обучения математике : частная методика : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов : в 2 ч. Ч. 1 / Л.С. Капкаева ; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2009. - 262 с.

Киселев, А.П. Элементарная геометрия : книга для учителя / А.П. Киселев.

М. : Просвещение, 1996. - 287 с.

Саранцев, Г.И. Методика обучения геометрии : учеб. пособие для студентов вузов по направлению «Педагогическое образование» / Г.И. Саранцев. - Казань: Центр инновационных технологий, 2011. - 228 с.

Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-ов / Г.И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2002. - 208 с.

Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2005. - 255 с.

Совайленко В.К., «Система обучения математике», М., Просвещение, 2005г.

Список литературы для учащихся

Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006.

В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.

Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение.

Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение.

Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука.

Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.

Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука.

Дополнительный материал элективного курса

Тема 1. Общие сведения о четырехугольнике

Определение: Четырехугольником называется многоугольник, имеющий четыре вершины.

четырехугольник может быть выпуклым (рис. 1) или невыпуклым (рис. 2);

диагонали четырехугольника - отрезки, соединяющие две несмежные его вершины (на рисунках 1 и 2 - отрезки АС, BD).

Пусть F и F1, . . . , Fn — многоугольники, для которых выполняются следующие условия: (1) при каждом i и j ≠ i многоугольники Fi и Fj не имеют общих внутренних точек; (2) F = Uni=1Fi. Тогда говорят, что F разрезан на многоугольники Fi.

Пусть F и G — два многоугольника. Если F и G можно так разрезать на многоугольники F1, ... , Fn и G1,... , Gn соответственно, что при каждом i = 1, . . . , n многоугольники Fi и Gi равны, то F и G называются равносоставленными.

Многоугольники F и G называются равновеликими, если их площади равны.

Свойство 1. Любая из сторон четырехугольника меньше суммы трех его других сторон.

Правильность этого утверждения следует из свойства многоугольника: любая сторона многоугольника меньше суммы всех его других сторон.

Свойство 2. Теорема. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.

Доказательство:

Диагонали четырехугольника делят его на два треугольника. Например, на рисунке 5 диагональ АС делит четырехугольник ABCD на ΔABC и ΔACD. Тогда сумма внутренних углов четырехугольника равна сумме углов этих треугольников, т.е. 180· 2=360°.

Следствие 1. Не существует четырехугольника, у которого все углы острые или все углы тупые.

Утверждение легко доказывается от противного:

1) Пусть существует четырехугольник, у которого градусная мера каждого из углов больше 90°. Тогда сумма всех углов этого четырехугольника больше, чем 90*4, т.е. не равна 360°, что противоречит теореме. Следовательно, не существует четырехугольник, у которого все углы тупые.

2) Пусть существует четырехугольник, у которого градусная мера каждого из углов меньше 90°. Тогда сумма всех углов этого четырехугольника меньше, чем 90*4, т.е. не равна 360°, что противоречит теореме. Следовательно, не существует четырехугольника, у которого все углы острые.

Задача: В прямоугольнике ABCD точка M - середина стороны BC, точка N - середина стороны CD, P - точка пересечения отрезков DM и BN. Докажите, что углы MAN и BPM равны (рис. 6).

Решение:

Пусть K — середина стороны AB, Q - точка пересечения отрезков AM и CK. Тогда MQC = BPM (чертеж симметричен относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC).

С другой стороны, т.к. AKCN — параллелограмм, MQC = MAN. Следовательно, MAN = BPM.

А это и требовалось доказать.

Следствие 2. Сумма внешних углов четырехугольника (по одному при каждой вершине) равна 360°.

Сумма внешних углов четырехугольника - это сумма смежных углов этого четырехугольника.

(180° -  1) + (180° - 2) + (180° - 3) + (180° - 4) = 180°*4 - (1+ 2 + 3 + 4) = 180°*4 - 360°= 360°.

Виды четырехугольников.

Среди множества выпуклых четырехугольников выделяют такие виды четырехугольников.

Трапеция - четырехугольник, у которого две сторона: параллельны, а две другие не параллельны (рис. 8).

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны (рис. 9).

Ромб - параллелограмм , у которого все сторона: равны (рис. 10).

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямоте (рис. 11).

Квадрат - прямоугольник , у которого все сторона: равны (рис. 12).

Задачи:

Могут ли биссектрисы двух смежных углов четырехугольника быть параллельными?

Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла - равны.

Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь такого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

Диагональ АС делит вторую диагональ четырехугольника ABCD на две равные части. Докажите: если AB>AD, то BC<DC.

Два противолежащих угла выпуклого четырехугольника - тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше второй диагонали.

Постройте четырехугольник по: а) сторонам и одной из диагоналей; б) сторонам и одному из углов.

Постройте четырехугольник ABCD по углам А и В, сторонам AB и AD, сумме сторон BC и CD.

Тема 2. Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник.

Напомним, четырехугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Эту окружность называют описанной вокруг данного четырехугольника. Центр такой окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров ко всем сторонам четырехугольника.

Правильным будет и обратное утверждение. Если серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам четырехугольника, пересекаются в одной точке, то вокруг него можно описать окружность.

Теорема 1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности. Докажем, что A+C=B+D=180°.

Доказательство:

Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 14).

Вписанные углы A и C опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности, следовательно, ∠А+∠С=180°. Аналогично, ∠В+∠D=180°.

Итак, если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180°.

Теорема доказана.

Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если сумма двух противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Пусть сумма углов А и С четырехугольника ABCD равна 180°. Проведем окружность γ через точки А, В и D. Нужно доказать что вершина С лежит на этой окружности.

Доказательство:

Проведем от противного. Пусть С γ (рис. 15) и прямая DC пересекает окружность в точке К. По теореме 1 А+К=180° = А+С. Тогда К=С. При этом для треугольника ВСК один из этих углов - внутренний, а другой - внешний, т.е. такое равенство невозможно.

Теорема доказана.

Следствие. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник		Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, а p – полупериметр, т.е.

Описанный четырехугольник Напомним: четырехугольник называют описанным вокруг окружности, если все его сторона: касаются окружности. Т.е. окружность вписывают в четырехугольник. Центр такой окружности - точка пересечения биссектрис всех внутренних углов четырехугольника.

Правильным будет и обратное утверждение: если биссектрисы всех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность.

Теорема 3. Суммы противолежащих сторон четырехугольника, описанного вокруг окружности, равны.

Пусть четырехугольник ABCD вписана окружность. Докажем, что AB+CD=BC+AD.

Доказательство:

О трезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим длины соответствующих отрезков как x, y, t, z. Тогда AB+CD=(x+y)+(z+t)=(x+t)+(y+z)=AD+BC.

Теорема доказана.

Теорема 4 (обратная к теореме 3). Если выпуклом четырехугольник суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть для четырехугольника ABCD выполняется соотношение АВ + CD=BC+AD. Докажем, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство:

Проведем его от противного. Пусть окружность касается трех сторон данного четырехугольника и не касается его четвертой сторона: CD.

Из точки С проведем к этой окружности касательную, которая пересечет прямую AD в точке Р. Согласно прямой теореме получим, что

АВ+СР=ВС+АР.

Вывод: точки Р и D совпадают. Теорема доказана.

Следствие. В ромб всегда можно вписать окружность.

Опорная задача .

Площадь описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Дано: K1, К2, К3, K4- точки касания.

Д оказать: S=pr.

S=SΔAOB+ SΔBOC+ SΔCOD+ SΔDOA.

K1, К2, К3, К4- точки касания, тогда OK1AB, OK2ВС, OK3CD, OK4AD и OK1=OK2=OKs=OK4=r.

S=½AB·r+½BC·r+½CD·r+½AD·r= =½r (a + b + c + d) = pr.

Что и требовалось доказать.

Основные определения и свойства
	Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°: ∠A+∠B+∠C+∠D=360°. Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые. Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов: ∠A < ∠B+∠C+∠D, ∠B < ∠A+∠C+∠D, ∠C < ∠A+∠B+∠D, ∠D < ∠A+∠B+∠D. Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон: a < b+c+d, b < a+c+d, c < a+b+d, d < a+b+c. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:
	Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины. Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:
Описанные четырёхугольники
	Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной. Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны: a+c = b+d. Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно: a+c ≥ 4r, b+d ≥ 4r. Площадь описанного четырёхугольника: S = pr, где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника. Площадь описанного четырёхугольника:
	Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника. Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника: AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN. Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то ∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD=180°. Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c и AD=d верны соотношения:
Вписанные четырёхугольники
	Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠A+∠C=∠B+∠D=180°. Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
	Площадь вписанного четырёхугольника:
	Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами. Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов. У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.
	Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь: Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
Параллелограмм
	Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны: AB\|\|CD, BC\|\|AD. У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны: AB=CD, BC=AD; ∠A=∠C, ∠B=∠D. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°: ∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.
	Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: AO=OC; BO=OD. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: ∠ABC=∠CDA; ∠ABD=∠CDB. Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника: SΔABO=SΔBCO=SΔCDO=SΔADO. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: e2+f2 = a2+b2+a2+b2 = 2(a2+b2).
Признаки параллелограмма: Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм. Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
	Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне: ha = b·sin γ; hb = a·sin γ. Площадь параллелограмма можно определить: через его сторону и высоту, проведённую к ней: S = aha = bhb; через две его стороны и угол между ними: S = ab·sin γ.
Ромб
	Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны: AB=BC=CD=AD. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов: AC⊥BD; ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB; ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.
	В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить: через высоту ромба: через диагонали ромба и сторону: через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания: Площадь ромба можно определить: через диагонали: через сторону и угол ромба: через сторону и высоту: через сторону и радиус вписанной окружности:
Прямоугольник
	Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые: ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
	Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка: AC=BD; AO=BO=CO=DO. Площадь прямоугольника можно определить: через его стороны: S = ab; через диагонали и угол между ними: S = ½d²·sin γ.
	Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали: BD = 2R.
Квадрат
	Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны: ∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD.
	Диагонали квадрата равны и перпендикулярны. Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: Площадь квадрата:
	У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей. Радиус описанной окружности: Радиус вписанной окружности:
Трапеция
	Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны: AD\|\|BC. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами. Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
	Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции: AK=KB; CL=LD. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме: KL\|\|AD; KL\|\|BC; KL = ½(AD+BC).
	При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ: ΔAED∼ΔBEC, k=AD/BC. Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ: ΔAОD∼ΔCОВ, k=AD/BC. Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: SΔABO = SΔCDO.
	Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон: O∈KL; E∈KL. Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности: RS\|\|AD; RS\|\|BC; RS = ½(AD–BC).
	В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон: AD+BC=AB+CD. Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции. В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств: Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом: ∠AOB=∠COD=90°. Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить: через высоту: через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:
	Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны: AB=CD. У равнобокой трапеции: диагонали равны: AC=BD; углы при основании равны: ∠A=∠D, ∠B=∠C; сумма противолежащих углов равна 180?: ∠A+∠C=∠B+∠D=180°. Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая. Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: d² = ab+c².
	Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
	Площадь трапеции можно определить: через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту: через диагонали и угол между ними: