Сырых Ольга Анатольевна

Программа элективного курса по математике «Тайны уравнений» (8–9 классы)

Материал опубликован 8 December 2019

Программа элективного курса «Тайны уравнений»

Сырых Ольга Анатольевна,

учитель математики

ОГЛАВЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

3 . УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

4 . СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

ГЛАВА 1: Линия числа.

ГЛАВА 2: Линия тождественных преобразований.

ГЛАВА 3: Линия уравнений.

ГЛАВА 4: Системы уравнений.

ГЛАВА 5: Линия текстовых задач.

ГЛАВА 6: Сложные комбинации.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

5. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПРОВЕДЕНИЯ АТТЕСТАЦИИ.

С.Р.№ 1.

С.Р. № 2

К.Р.

Защита проектов.

6. ЛИТЕРАТУРА.

АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ.

Элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся восьмых классов посвящен одной из самых важных тем: « Уравнения». При решении многих задач на старшей ступени обучения, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходиться обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, разложению трехчлена на множители, определению знака квадратного трехчлена. В последнее время в материалах итоговой аттестации, ЕГЭ по математике предлагаются уравнения и неравенства не только второй степени но и, другие виды уравнений, содержащих параметр или знак модуля. Задачи такого вида вызывают затруднения учащихся, так как выходят за рамки школьной программы.
В программе данного курса уравнения высших степеней и задачи с параметром рассматриваются как средство обобщения и систематизации знаний учащихся об уравнениях. Основная цель курса – повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования, самостоятельному определению в выборе профиля обучения на старшей ступени.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет выполнять действие деление многочленов, что облегчает в дальнейшем решение таких задач как нахождение асимптот, интегралов, производных. Данный курс позволит ученикам научиться решать уравнения более высоких степеней, чем вторая. Учащиеся узнают нестандартные решения алгебраических уравнений и их систем. Научатся делить многочлен на многочлен столбиком. Расширят свой кругозор, укрепят знания. Научится составлять уравнения и их системы. Делать презентацию, защищать рефераты. Работать в Интернете по заданной теме, работать с электронным справочником.
Элективный курс «Тайны уравнений» поможет учащимся подготовиться к итоговой аттестации за курс основной школы, оценить свои способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения. То есть, можно отметить, что данный элективный курс является курсом обобщения и систематизации знаний учащихся по названной теме, а также пропедевтическим и предпрофильным курсом. Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентности.
Курс предполагает 34 занятий по одному часу в неделю.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс рассчитан на учащихся 8-9 классов, интересующихся математикой.

Работа состоит из 6 глав.

1 Глава: Линия числа

2 Глава: Линия тождественных преобразований

3 Глава: Линия уравнений

4 Глава: Системы уравнений.

5 Глава: Линия текстовые задачи

6 Глава: Сложные комбинации

ЦЕЛИ КУРСА: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме. Обретение практических навыков при стандартных и нестандартных решениях и преобразованиях.

Образовательная цель: создать условия для повышения уровня понимания и практической подготовки в темах тождественные преобразования, уравнения, системы уравнений и текстовые задачи.

Развивающая цель: способствовать развитию у учащихся умений анализировать, обобщать, работать с учебной литературой. Создавать проекты.

Воспитательная цель: воспитывать умение публично выступать, задавать вопросы, рассуждать.

ЗАДАЧИ КУРСА:

Вооружить учащихся системой знаний по данным темам.

Сформировать навыки применения данных знаний.

Сформировать навыки самостоятельной работы.

Сформировать навыки работы со справочной литературой и электронными справочниками.

ТРЕБОВАНИЯ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА:

В результате изучения программы данного элективного курса учащиеся получат дополнительные представления о решении уравнений высших степеней и их широком спектре применений. Приобретут опыт самостоятельного поиска, анализа при решении задач. Приобретения опыта к восприятию материала курса алгебры и начала анализа.

Глава

ТЕМА

Учебное

Время

Самостоятельная работа

Учебная

Литература

Творческая

работа

Контроль

Работа

Интер-

нете

Лек-

ции

Прак-

тика

Учеб-

ник

Справ-

очник

Другая

Подг. к семинару

Подг.к шк. олимпиаде

реферат

Созд.

проек-

тов

Решение

задан. др. учеб.

Сам. работы

1.1

1.2.

1.3

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

4.1

4.2

4.3

4.4

5.1

5.2

5.3

Линия числа.

Рациональные и действительные числа.

Делимость чисел.

Алгоритм Евклида

Линия тождественных преобразований.

Разложения многочлена на множители.

Формулы сокращен. умножения.

Формула для разложения на множители разности степеней.

Формула квадрата суммы нескольких слагаемых.

Деление многочленов.

Теорема Безу и корни многочлена.

Нахожд. рац. корней многочлена с целыми коэффициентами.

Бином Ньютона.

Линия уравнений.

Основные определения.

Основные методы решения уравнений.

Параметры в квадратном уравнении

Разложение на множители.

Формула Виета для многочленов высших степеней.

Выделение квадрата.

Возвратные и однородные уравнения.

Системы уравнений.

Метод сложения и подстановки.

Метод замены

Метод Гаусса

Системы с параметрами

Текстовые задачи.

Различные типы задач с исследованием.

Элементарные.

Сложные.

Сложные комбинации.

Олимпиадного характера.

Контрольная работа

Содержание программы:

Глава 1: Линия числа:

Занятие 1.Определение: натурального, целого, рационального числа, простого числа, взаимообратного числа, противоположного числа, признаки делимости на 2, на 3, на 9, на 5, на 10, .

Занятие 2: Рассмотреть признаки делимости на 4, на 8, на 6, на 25, на 11. Делимость целых неотрицательных чисел. Наибольший общий делитель, наименьший общий кратное и алгоритм Эвклида.

Метод обучения: объяснения, выполнения, упражнение.

Глова 2: Линя тождественных преобразований:

Занятие 3: Лекция: Формулы сокращенного умножения, Формулы для разложения на множители разности степеней с одинаковым показателем. Формула квадрата сумы нескольких слагаемых. Деления многочлена на многочлен. Разложение многочлена на многочлен. Теорема Безу и корни многочлена. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.

Занятие 4-6: Рассмотреть различные способы разложения на многочлен. Формулы сокращенного умножения,

Занятие 7: Рассмотреть деление многочлена на многочлен столбиком и запись равенства: а = b c+ r, где а- делимое, b- делитель, с- частное, r- остаток.

Занятие 8: Разобрать теорему Безу, понятие корня многочлена. Происходит знакомство с биографией Э. Безу.

Занятие 9: Разобрать теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Научиться раскладывать многочлен на многочлен.

Занятие 10-11: Разобрать формулу Ньютона и применение треугольника Паскаля. При возведении бинома в натуральную степень. Происходит знакомство с биографией Ньютона и Паскаля.

Методы работы: Лекции, разбор заданий, доклады о биографии учёных, поиск и подбор заданий, создание детьми самостоятельных работ.

Контроль: Проверка самостоятельной работы № 1.

Глава 3. Линия уравнений.

Занятие 12: (лекция) Основные определения. Определение линейного, квадратного уравнения. Количество корней квадратных уравнений. Теорема Виета, свойства коэффициентов квадратных уравнений. Теоремы о исследование квадратного трехчлена. Рассмотреть решение уравнений высших степеней. Решение уравнений разложением на множители. Метод замены. Решение несколькими нестандартными приёмами.

Занятие 13-14: Решение заданий с квадратным трёхчленом. Применение теоремы о корнях уравнений, при решении заданий с параметрами.

Занятие 15: Решение уравнений методом разложения на множители.

Занятие 16-18: Решение уравнений методом замены переменной. Биквадратные, возвратные и однородные уравнения.

Занятие 19: Решение уравнений выделением квадрата.

Занятие 20: Решение уравнений различными способами. Выполнение самостоятельной работы № 2.

Методы обучения: Лекции, выполнение тренировочных упражнений, беседа, объяснение, работа в Интернете, поиск подобных заданий, создание проектов.

Метод контроля: проверка самостоятельно решенных заданий, проверка составленных заданий, проверка самостоятельной работы № 2.

Глава 4: Системы уравнений.

Занятие 21-22: Проводится обзор систем уравнений. Рассмотрение различных способов решения систем. Решение систем методом подстановки и методом алгебраического сложения. Метод замены переменных. Метод разложения на множители.

Занятие 23: Рассмотреть метод Гаусса. Решение симметрических систем уравнений.

Занятие 24: Решение систем с параметрами.

Метод обучения: Выполнение тренировочных упражнений, объяснение, разбор нестандартных заданий.

Метод контроля: Проверка самостоятельно решённых задач.

Глава 5: Текстовые задачи.

Занятие 25-30: Решение различных типов задач. Задачи на составление уравнений и их систем.

Глава 6: Сложные комбинации.

Занятие 31-32: Задачи олимпиадного характера.

Занятие 33: Проверка знаний, умение, навыков. Контрольная работа.

Занятие 34: Разбор контрольной работы.

Темы творческих работ:

1) Проект памятки правил и алгоритмов решение уравнений.

2) Реферат на тему: «Великие математики»

3) Проект нестандартные задачи.

4) Проект памятки алгоритмов решение систем.

Самостоятельная работа №1.

В-Ι. В-ΙΙ

1. Вычислить наиболее рациональным способом.

4 (0,82- 0,8 1,7+1,72) 25,33-13,73

1,63+3,43 11,6

2. С помощью алгоритма Евклида найдите делитель чисел.

Д (42628;33124) Д (71004;154452)

3. Представить в виде многочлена:

(x2-3y2+2z2)2 (1+2a2b+4ab2)2

4. Проведите деление с остатком.

x4+x2+1 на x+5 x4-64 на x-3

5. Разложить на множители выражение.

64x6-729y6 211 *а11+311 *b22

4x4y2+9x2y4+12x3y3-16x2y-24xy2+16 x6+4y10+16z12-4x3y5-8x3z6+16y5z6

x4+4x2-5 4x4+5x2+1

Самостоятельная работа № 2

В – I

Один из корней уравнения равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.

2. Решить уравнение

В – II

1. Один из корней уравнения равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

2. Решить уравнение

Контрольная работа.

Ι В.

ΙΙ В.

1. Решить уравнение

x4-4x3+5x2-4x+1=0

(2x-1)2+2(2x-1)(3-2x)+(2x-3)2=4x

(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)=24

(x-1)5+(x+3)5=242(x+1)

2. Решите задачу.

Гонорар за книгу был распределен между

тремя соавторами в отношении 8:6:5.Если

бы этот же гонорар был распределен в

отношение 7:5:4, то один из соавторов

получил на 25 руб. больше, чем он получил

на самом деле. Чему равна сума гонорара?

3.При каком значении k выполняется без остатка деления

x3+6x2+2x2+kx+12 на x+4 ?

4. Решите систему:

x+y+z=2

x2+y2+z2=6

x3+y3+z3=8

5. При каких значениях а уравнения

(а+5)x2+(2а-3) x+a-10=0 имеет действительные корни одного знака?

1. Решить уравнение

x4-2x3-x2-2x+1=0

(y-5)2+2(5-y)(y+4)+(4+y)2=-9y

x(x+3)(x+5)(x+8)+56=0

(x-2)6+(x-4)6=64

2. Решите задачу.

Двое рабочих выполнили вместе

некоторую работу за 12 дней. Если бы сначала первый сделал половину работы,

а затем другой остальную часть, то вся

работа была бы выполнена за 25 дней. За

какое время мог выполнить эту работу

каждый в отдельности?

3.При каком значении а и b выполняется без остатка деления

x4+3x3-2x2+ax+b на x2-3x+2 ?

4. Решите систему:

x-y+z=6

x2+y2+z2=14

x3+y3+z3=36

5. При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена

x2+2(а+1) x+9x-5=0 отрицательны?

Тема занятия № 17: « Решение возвратных уравнений».

Ценить людей надо по тем целям, которые они ставят перед собой.

Н.Н.Миклухо-Маклай.

Цели урока.

Научиться решать возвратные уравнения;

Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнений;

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

План урока.

Повторение материала, изученного ранее;

Изучение нового способа решения уравнений;

Закрепление темы;

Итог урока.

Домашнее задание.

Повторение материала

Что такое уравнение?

Что такое корень уравнения?

Что значит решить уравнение?

Какие уравнения вы знаете?

Какие важные приемы преобразования уравнений мы знаем?

Выразите переменную.

А = 2 х тогда А2 = ?

А = ½ х тогда А2 = ?

В = 3+х тогда В2 = ?

В = х + 1/х тогда В2 = ?

В2 = х2 + 1/х2+2 , то х2 + 1/х2 =

Самостоятельная работа (обучающего характера)

x3-2x2-2x+1=0

2x3+7x2+7x+2=0

x3-3x2-3x+1=0

3x3-7x2-7x+3=0

Ответы на самостоятельную работу.

х= -1, х=(3 +√5)1/2,x=(3-√5)1/2.

х= -1, х= -1/2 x=-2

х=-1, х=2+√3, x=2-√3

х=-1, х=3, x=1/3/

Уравнение
aх2 + bх3 – cх2 + bх+ a = 0
называется возвратным.

Примеры:
6х4 - 35х3 + 62х2 - 35х +6 = 0

x4+x3-4x2+x+1=0

4x4+12x3-47x2+12x+4=0

5x4-12x3+14x2-5=0

x4+5x3+6x2+5x+1=0

Решить уравнение
6х4 - 35х3 + 62х2 - 35х +6 = 0

Легко заметить, что х=0 не является корнем уравнения, поэтому обе части уравнения делим на х2.

6(x2+1/x2)-35(x+1/x)+62=0

Пусть а= х + 1/х,

тогда а2 - 2 = х2+1/х2

Получим уравнение

6(a2-2)-35a+62 =0,

Откуда находим корни квадратного уравнения а= 5/2, а=10/3.

Так как а = х + 1/х, то имеем

х +1/х =5/2,

Где х= 2, x=1/2.

Или х+1/х=10/3.

Откуда х=3,x=1/3.

Ответ: 2;1/2;3;1/3.

Решаем оставшиеся уравнения самостоятельно.

Итог урока.

Домашнее задание.

Что нового вы узнали на уроке?

Пригодятся ли вам знания полученные на уроке?

(х-2)²(х+1)² –(х-2)(х²-1)-2(х-1)²=0

(х+2)(х-3)(х-1)(х+6)=40х²

Решить уравнение

x4- 7х3 + 14 х2 - 7х +1 =0

5х4- 3х3- 4х2 - 3х + 5 = 0

Приложение к теме:

Исследование квадратного трехчлена.

§1. Предварительные замечания.

Квадратным трехчленом называется выражение:

f(x) = ax2+bx+c (a=0),

графиком соответствующей функции является парабола (рис.1)

a<0

В зависимости от величины дискриминанта D (D = b2 – 4ac)

Возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ox:

При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трехчлена);

0 0

х х

а) б)

Рис. 2

• при D = 0 эти точки совпадают (случай кратного корня);

• при D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет);

• в последнем случае, если а > 0, график параболы целиком лежит выше оси Ох (рис. 2, а), а если а < 0 — целиком ниже оси Ох (рис. 2,б).

3. Координаты вершины параболы определяются формулами:

§2.ТЕОРЕМА ВИЕТА

Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2 + bх + с и коэффициентами существуют соотношения:

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

ТЕОРЕМА 1

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

D = b2 – 4ac0, >0,

при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

и оба корня будут отрицательны, если

<0.

ТЕОРЕМА 2

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

D = b2 – 4ac>0, <0,

при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если

если же

<0,

то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

§3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

2. Пусть f(x) = ax2+bx+c (a=0), имеет действительные корни х1 и х2, а х0 — какое-нибудь действительное число. Тогда:

ТЕОРЕМА 3

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0, необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):

Рис. 3

ТЕОРЕМА 4

Ч
тобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число x0, а другой больше числа х0 (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 4):

ТЕОРЕМА 5

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 5):

Рис. 5

3. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение (ax0 2+bx0 +c).

4. Приведем наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений.

Следствие 1

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А(М < А), т.е. лежали на интервале между М и А, необходимо и достаточно (рис. 6):

Следствие 2

Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А), необходимо и достаточно (рис. 7):

при этом меньший корень вне отрезка .

Следствие 3

Ч тобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А) необходимо и достаточно (рис. 8):

при этом больший корень лежит вне отрезка .

Следствие 4

Ч тобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно (рис. 9):

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при

решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.

Тема занятия №14: «Исследование квадратного трёхчлена»

Цели урока:

- обобщать знания учащихся по теме «квадратные уравнения»

- развивать мышление школьников; организовывать свою учебную деятельность и работать в заданном темпе; использовать, ранее приобретенные знания, умения и навыки для получения знаний и использования их в новой ситуации; развитие интереса к предмету, расширение кругозора учащихся.

- научиться применять полученные знания при решении задач с параметрами.

Ход урока:

Домашним заданием было внимательно ознакомиться с «дополнительным материалом» в приложении.

Рассмотрим приметы:

Пример 1:

Дано квадратное уравнение

(а-1)x2-(2a-1)x+a+5=0.

При каких а это уравнение имеет действительные корни?

Исследовать знаки корней.

Какие условия для этого необходимы?

Пример 2:

При каких значениях а корни квадратного трехчлена

(2-а)х2-3ах+2а=0

действительны и оба больше ½?

Воспользуемся теоремой №5. Почему выбраны эти условия?

Пример 3:

Найти все те значения параметра k, при которых оба корня квадратного уравнения

x2-6kx+(2-2k+9k2)=0

действительны и больше, чем 3.

Пример 4:

При каких значениях k один из уравнения

(k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0

Больше 1, а другой меньше 1?

Пример 5:

Существуют ли такие k, при которых корни уравнении

x2+2x+k=0

действительны и различны и оба заключены между -1 и +1?

Итог урока.

Домашнее задание.

Что нового вы узнали на уроке?

Аттестация учеников.

Самостоятельная работа №1.

Самостоятельная работа №2.

Контрольная работа.

Защита проектов

Защита рефератов

Критерии оценки за курс.

«Отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и возможное отношение,

сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению, учащийся освоил

теоретический материал, получил навыки в его применении при решении

конкретных задач, в работе над индивидуальными и творческими заданиями

учащийся демонстрирует умение работать самостоятельно, творчески.

«Хорошо» учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени,

что справился со стандартными заданиями, выполняет домашние знания

прилежно, наблюдаются определенные положительные результаты,

свидетельствующие об интеллектуальном росте.

«Удовлетворительно» учащийся освоил наиболее простые идей и методы

курса, что позволило ему достаточно успешно выполнить простые задания.

Список литературы.

1. «2600 тестов и проверочных заданий но математике»

Москва «Дрофа» 2000г.

2. Математика 5 класс и 6 класс. Г.В.Дорофеев, Л.Г.Питорсон.

Москва «Балансс-с-ИНФО» 1997-2008г.

3. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Под. Редакцией М.И. Сканави.

Киев «Каннон» 1997г.

4. Математика для поступающих в ВУЗы. И.Ф. Шарыгин

Москва «Дрофа» 1997г.

5. Математические олимпиады. А.В. Фатков

Москва «Экзамен» 2009г.

6. Учебное пособие для учащихся 8 классов с углублённым изучением математики.

Н.Я. Виленкин. Москва «Просвящение», 1991г.

7. Учебное пособие для учащихся 9 классов с углублённым изучением математики.

Н.Я. Виленкин. Москва « Просвящение» 1990г.

8. Факультативный курс по математике 7-9 класс. И.Л. Никольская

Москва «Просвящение» 1991г.

9. Справочник по математике для средней школы. А.Г. Цыпкин

Москва «Просвящение» 1979г.

10. Математика интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Черкасов, А. Якушев.

Москва «Айрис пресс» 2002.

11. Примеры с параметрами и их решение. В.С. Крамор

Москва «Аркти» 2000г.