Программа элективного курса "Тайны уравнений"

Программа элективного курса «Тайны уравнений»

Сырых Ольга Анатольевна,

учитель математики

ОГЛАВЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

3 . УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

4 . СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

ГЛАВА 1: Линия числа.

ГЛАВА 2: Линия тождественных преобразований.

ГЛАВА 3: Линия уравнений.

ГЛАВА 4: Системы уравнений.

ГЛАВА 5: Линия текстовых задач.

ГЛАВА 6: Сложные комбинации.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

5. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПРОВЕДЕНИЯ АТТЕСТАЦИИ.

С.Р.№ 1.

С.Р. № 2

К.Р.

Защита проектов.

6. ЛИТЕРАТУРА.

АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ.

Элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся восьмых классов посвящен одной из самых важных тем: « Уравнения». При решении многих задач на старшей ступени обучения, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходиться обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, разложению трехчлена на множители, определению знака квадратного трехчлена. В последнее время в материалах итоговой аттестации, ЕГЭ по математике предлагаются уравнения и неравенства  не только второй степени но и, другие виды уравнений, содержащих параметр или знак модуля. Задачи такого вида вызывают затруднения   учащихся, так как выходят за рамки школьной программы.
В программе данного курса уравнения высших степеней и задачи с параметром рассматриваются как средство обобщения и систематизации знаний учащихся об уравнениях. Основная цель курса – повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования, самостоятельному определению в выборе профиля обучения  на старшей ступени.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет выполнять действие деление многочленов, что облегчает в дальнейшем решение таких задач как нахождение асимптот, интегралов, производных. Данный курс позволит ученикам научиться решать уравнения более высоких степеней, чем вторая. Учащиеся узнают нестандартные решения алгебраических уравнений и их систем. Научатся делить многочлен на многочлен столбиком. Расширят свой кругозор, укрепят знания. Научится составлять уравнения и их системы. Делать презентацию, защищать рефераты. Работать в Интернете по заданной теме, работать с электронным справочником.
Элективный курс «Тайны уравнений» поможет учащимся подготовиться к итоговой аттестации за курс основной школы, оценить свои способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения. То есть, можно отметить, что данный элективный курс является курсом обобщения и систематизации знаний учащихся по названной теме, а также пропедевтическим и предпрофильным курсом. Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентности.
Курс предполагает 34 занятий по одному часу в неделю.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс рассчитан на учащихся 8-9 классов, интересующихся математикой.

Работа состоит из 6 глав.

1 Глава: Линия числа

2 Глава: Линия тождественных преобразований

3 Глава: Линия уравнений

4 Глава: Системы уравнений.

5 Глава: Линия текстовые задачи

6 Глава: Сложные комбинации

ЦЕЛИ КУРСА: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме. Обретение практических навыков при стандартных и нестандартных решениях и преобразованиях.

Образовательная цель: создать условия для повышения уровня понимания и практической подготовки в темах тождественные преобразования, уравнения, системы уравнений и текстовые задачи.

Развивающая цель: способствовать развитию у учащихся умений анализировать, обобщать, работать с учебной литературой. Создавать проекты.

Воспитательная цель: воспитывать умение публично выступать, задавать вопросы, рассуждать.

ЗАДАЧИ КУРСА:

Вооружить учащихся системой знаний по данным темам.

Сформировать навыки применения данных знаний.

Сформировать навыки самостоятельной работы.

Сформировать навыки работы со справочной литературой и электронными справочниками.

ТРЕБОВАНИЯ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА:

В результате изучения программы данного элективного курса учащиеся получат дополнительные представления о решении уравнений высших степеней и их широком спектре применений. Приобретут опыт самостоятельного поиска, анализа при решении задач. Приобретения опыта к восприятию материала курса алгебры и начала анализа.

Содержание программы:

Глава 1: Линия числа:

Занятие 1.Определение: натурального, целого, рационального числа, простого числа, взаимообратного числа, противоположного числа, признаки делимости на 2, на 3, на 9, на 5, на 10, .

Занятие 2: Рассмотреть признаки делимости на 4, на 8, на 6, на 25, на 11. Делимость целых неотрицательных чисел. Наибольший общий делитель, наименьший общий кратное и алгоритм Эвклида.

Метод обучения: объяснения, выполнения, упражнение.

Глова 2: Линя тождественных преобразований:

Занятие 3: Лекция: Формулы сокращенного умножения, Формулы для разложения на множители разности степеней с одинаковым показателем. Формула квадрата сумы нескольких слагаемых. Деления многочлена на многочлен. Разложение многочлена на многочлен. Теорема Безу и корни многочлена. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.

Занятие 4-6: Рассмотреть различные способы разложения на многочлен. Формулы сокращенного умножения,

Занятие 7: Рассмотреть деление многочлена на многочлен столбиком и запись равенства: а = b c+ r, где а- делимое, b- делитель, с- частное, r- остаток.

Занятие 8: Разобрать теорему Безу, понятие корня многочлена. Происходит знакомство с биографией Э. Безу.

Занятие 9: Разобрать теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Научиться раскладывать многочлен на многочлен.

Занятие 10-11: Разобрать формулу Ньютона и применение треугольника Паскаля. При возведении бинома в натуральную степень. Происходит знакомство с биографией Ньютона и Паскаля.

Методы работы: Лекции, разбор заданий, доклады о биографии учёных, поиск и подбор заданий, создание детьми самостоятельных работ.

Контроль: Проверка самостоятельной работы № 1.

Глава 3. Линия уравнений.

Занятие 12: (лекция) Основные определения. Определение линейного, квадратного уравнения. Количество корней квадратных уравнений. Теорема Виета, свойства коэффициентов квадратных уравнений. Теоремы о исследование квадратного трехчлена. Рассмотреть решение уравнений высших степеней. Решение уравнений разложением на множители. Метод замены. Решение несколькими нестандартными приёмами.

Занятие 13-14: Решение заданий с квадратным трёхчленом. Применение теоремы о корнях уравнений, при решении заданий с параметрами.

Занятие 15: Решение уравнений методом разложения на множители.

Занятие 16-18: Решение уравнений методом замены переменной. Биквадратные, возвратные и однородные уравнения.

Занятие 19: Решение уравнений выделением квадрата.

Занятие 20: Решение уравнений различными способами. Выполнение самостоятельной работы № 2.

Методы обучения: Лекции, выполнение тренировочных упражнений, беседа, объяснение, работа в Интернете, поиск подобных заданий, создание проектов.

Метод контроля: проверка самостоятельно решенных заданий, проверка составленных заданий, проверка самостоятельной работы № 2.

Глава 4: Системы уравнений.

Занятие 21-22: Проводится обзор систем уравнений. Рассмотрение различных способов решения систем. Решение систем методом подстановки и методом алгебраического сложения. Метод замены переменных. Метод разложения на множители.

Занятие 23: Рассмотреть метод Гаусса. Решение симметрических систем уравнений.

Занятие 24: Решение систем с параметрами.

Метод обучения: Выполнение тренировочных упражнений, объяснение, разбор нестандартных заданий.

Метод контроля: Проверка самостоятельно решённых задач.

Глава 5: Текстовые задачи.

Занятие 25-30: Решение различных типов задач. Задачи на составление уравнений и их систем.

Глава 6: Сложные комбинации.

Занятие 31-32: Задачи олимпиадного характера.

Занятие 33: Проверка знаний, умение, навыков. Контрольная работа.

Занятие 34: Разбор контрольной работы.

Темы творческих работ:

1) Проект памятки правил и алгоритмов решение уравнений.

2) Реферат на тему: «Великие математики»

3) Проект нестандартные задачи.

4) Проект памятки алгоритмов решение систем.

Самостоятельная работа №1.

В-Ι. В-ΙΙ

1. Вычислить наиболее рациональным способом.

4 (0,82- 0,8 1,7+1,72) 25,33-13,73

1,63+3,43 11,6

2. С помощью алгоритма Евклида найдите делитель чисел.

Д (42628;33124) Д (71004;154452)

3. Представить в виде многочлена:

(x2-3y2+2z2)2 (1+2a2b+4ab2)2

4. Проведите деление с остатком.

x4+x2+1 на x+5 x4-64 на x-3

5. Разложить на множители выражение.

64x6-729y6 211 *а11+311 *b22

4x4y2+9x2y4+12x3y3-16x2y-24xy2+16 x6+4y10+16z12-4x3y5-8x3z6+16y5z6

x4+4x2-5 4x4+5x2+1

Самостоятельная работа № 2

В – I

Один из корней уравнения равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.

2. Решить уравнение

В – II

1. Один из корней уравнения равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

2. Решить уравнение

Контрольная работа.

Тема занятия № 17: « Решение возвратных уравнений».

Ценить людей надо по тем целям, которые они ставят перед собой.

Н.Н.Миклухо-Маклай.

Цели урока.

Научиться решать возвратные уравнения;

Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнений;

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

План урока.

Повторение материала, изученного ранее;

Изучение нового способа решения уравнений;

Закрепление темы;

Итог урока.

Домашнее задание.

Повторение материала

Что такое уравнение?

Что такое корень уравнения?

Что значит решить уравнение?

Какие уравнения вы знаете?

Какие важные приемы преобразования уравнений мы знаем?

Выразите переменную.

А = 2 х тогда А2 = ?

А = ½ х тогда А2 = ?

В = 3+х тогда В2 = ?

В = х + 1/х тогда В2 = ?

В2 = х2 + 1/х2+2 , то х2 + 1/х2 =

Самостоятельная работа (обучающего характера)

Ответы на самостоятельную работу.

Уравнение
aх2 + bх3 – cх2 + bх+ a = 0
называется возвратным.

Примеры:
6х4 - 35х3 + 62х2 - 35х +6 = 0

x4+x3-4x2+x+1=0

4x4+12x3-47x2+12x+4=0

5x4-12x3+14x2-5=0

x4+5x3+6x2+5x+1=0

Решить уравнение
6х4 - 35х3 + 62х2 - 35х +6 = 0

Легко заметить, что х=0 не является корнем уравнения, поэтому обе части уравнения делим на х2.

6(x2+1/x2)-35(x+1/x)+62=0

Пусть а= х + 1/х,

тогда а2 - 2 = х2+1/х2

Получим уравнение

6(a2-2)-35a+62 =0,

Откуда находим корни квадратного уравнения а= 5/2, а=10/3.

Так как а = х + 1/х, то имеем

х +1/х =5/2,

Где х= 2, x=1/2.

Или х+1/х=10/3.

Откуда х=3,x=1/3.

Ответ: 2;1/2;3;1/3.

Решаем оставшиеся уравнения самостоятельно.

Итог урока.

Домашнее задание.

Что нового вы узнали на уроке?

Пригодятся ли вам знания полученные на уроке?

(х-2)²(х+1)² –(х-2)(х²-1)-2(х-1)²=0

(х+2)(х-3)(х-1)(х+6)=40х²

Решить уравнение

x4- 7х3 + 14 х2 - 7х +1 =0

5х4- 3х3- 4х2 - 3х + 5 = 0

Приложение к теме:

Исследование квадратного трехчлена.

§1. Предварительные замечания.

Квадратным трехчленом называется выражение:

f(x) = ax2+bx+c (a=0),

графиком соответствующей функции является парабола (рис.1)

a<0

В зависимости от величины дискриминанта D (D = b2 – 4ac)

Возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ox:

При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трехчлена);

0 0

х х

а) б)

Рис. 2

• при D = 0 эти точки совпадают (случай кратного корня);

• при D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет);

• в последнем случае, если а > 0, график параболы целиком лежит выше оси Ох (рис. 2, а), а если а < 0 — целиком ниже оси Ох (рис. 2,б).

3. Координаты вершины параболы определяются формулами:

§2.ТЕОРЕМА ВИЕТА

Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2 + bх + с и коэффициентами существуют соотношения:

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

ТЕОРЕМА 1

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выпол­нение следующих соотношений:

D = b2 – 4ac0, >0,

при этом оба корня будут положительными, если дополнитель­но наложить условие:

>0

и оба корня будут отрицательны, если

<0.

ТЕОРЕМА 2

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполне­ние соотношений:

D = b2 – 4ac>0, <0,

при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если

>0

если же

<0,

то отрицательный корень имеет большую абсолютную вели­чину.

§3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на ко­ординатной прямой.

2. Пусть f(x) = ax2+bx+c (a=0), имеет действительные корни х1 и х2, а х0 — какое-нибудь действительное число. Тогда:

ТЕОРЕМА 3

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были мень­ше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0, необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):

Рис. 3

ТЕОРЕМА 4

Ч
тобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число x0, а другой больше числа х0 (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение усло­вий (рис. 4):

ТЕОРЕМА 5

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 5):

Рис. 5

3. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение (ax0 2+bx0 +c).

4. Приведем наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений.

Следствие 1

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А(М < А), т.е. лежали на ин­тервале между М и А, необходимо и достаточно (рис. 6):

Следствие 2

Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А), необходимо и достаточно (рис. 7):

при этом меньший корень вне отрезка .

Следствие 3

Ч тобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М < А) необходимо и достаточно (рис. 8):

при этом больший корень лежит вне отрезка .

Следствие 4

Ч тобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и доста­точно (рис. 9):

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при

решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.

Тема занятия №14: «Исследование квадратного трёхчлена»

Цели урока:

- обобщать знания учащихся по теме «квадратные уравнения»

- развивать мышление школьников; организовывать свою учебную деятельность и работать в заданном темпе; использовать, ранее приобретенные знания, умения и навыки для получения знаний и использования их в новой ситуации; развитие интереса к предмету, расширение кругозора учащихся.

- научиться применять полученные знания при решении задач с параметрами.

Ход урока:

Домашним заданием было внимательно ознакомиться с «дополнительным материалом» в приложении.

Рассмотрим приметы:

Пример 1:

Дано квадратное уравнение

(а-1)x2-(2a-1)x+a+5=0.

При каких а это уравнение имеет действительные корни?

Исследовать знаки корней.

Какие условия для этого необходимы?

Пример 2:

При каких значениях а корни квадратного трехчлена

(2-а)х2-3ах+2а=0

действительны и оба больше ½?

Воспользуемся теоремой №5. Почему выбраны эти условия?

Пример 3:

Найти все те значения параметра k, при которых оба корня квадратного уравнения

x2-6kx+(2-2k+9k2)=0

действительны и больше, чем 3.

Пример 4:

При каких значениях k один из уравнения

(k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0

Больше 1, а другой меньше 1?

Пример 5:

Существуют ли такие k, при которых корни уравнении

x2+2x+k=0

действительны и различны и оба заключены между -1 и +1?

Итог урока.

Домашнее задание.

Что нового вы узнали на уроке?

Аттестация учеников.

Самостоятельная работа №1.

Самостоятельная работа №2.

Контрольная работа.

Защита проектов

Защита рефератов

Критерии оценки за курс.

«Отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и возможное отношение,

сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению, учащийся освоил

теоретический материал, получил навыки в его применении при решении

конкретных задач, в работе над индивидуальными и творческими заданиями

учащийся демонстрирует умение работать самостоятельно, творчески.

«Хорошо» учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени,

что справился со стандартными заданиями, выполняет домашние знания

прилежно, наблюдаются определенные положительные результаты,

свидетельствующие об интеллектуальном росте.

«Удовлетворительно» учащийся освоил наиболее простые идей и методы

курса, что позволило ему достаточно успешно выполнить простые задания.

Список литературы.

1. «2600 тестов и проверочных заданий но математике»

Москва «Дрофа» 2000г.

2. Математика 5 класс и 6 класс. Г.В.Дорофеев, Л.Г.Питорсон.

Москва «Балансс-с-ИНФО» 1997-2008г.

3. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Под. Редакцией М.И. Сканави.

Киев «Каннон» 1997г.

4. Математика для поступающих в ВУЗы. И.Ф. Шарыгин

Москва «Дрофа» 1997г.

5. Математические олимпиады. А.В. Фатков

Москва «Экзамен» 2009г.

6. Учебное пособие для учащихся 8 классов с углублённым изучением математики.

Н.Я. Виленкин. Москва «Просвящение», 1991г.

7. Учебное пособие для учащихся 9 классов с углублённым изучением математики.

Н.Я. Виленкин. Москва « Просвящение» 1990г.

8. Факультативный курс по математике 7-9 класс. И.Л. Никольская

Москва «Просвящение» 1991г.

9. Справочник по математике для средней школы. А.Г. Цыпкин

Москва «Просвящение» 1979г.

10. Математика интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Черкасов, А. Якушев.

Москва «Айрис пресс» 2002.

11. Примеры с параметрами и их решение. В.С. Крамор

Москва «Аркти» 2000г.