Урок алгебры в 8 классе «Степень с отрицательным показателем»

Тема урока: Свойство степени с целым показателем.

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять

Цели урока:

Познакомить учащихся со свойствами степени с целым показателем.

Вырабатывать умение применять свойства степени при выполнении упражнений.

Воспитывать сознательное отношение к учебе, чувство взаимопомощи при работе по освоению новых знаний.

Развивать память и логическое мышление.

Оборудование:

интерактивная доска.

Ход урока

• Организационный момент.

Математика – это одна из основных наук. Без знания математики, которая включает в себя алгебру и геометрию, трудно будет жить любому человеку. Знающий математику человек – это умный человек. А как сказал французский ученый Р.Декарт: «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять»

Сегодня на уроке, ребята, каждый из вас применит свой ум, свои знания и умения по теме: «Свойства степени с целым показателем» при выполнении различных заданий, закрепит ранее полученные знания и я думаю успешно их применит в любом задании со степенями.

II. Проверка усвоения изученного:

Но в начале давайте вспомним, что изучали мы ранее.

1 вопрос 2 вопрос

 

3 вопрос

III. Изучение нового материала

На экране вы видите части формул, ваша задача собрать верные равенства. Мы с вами повторили свойство степени с натуральным показателем, определение степени с отрицательным показателем степени.

1) an  am = an+m

2) an : am = an – m

3) (an)m = anm

4) (a  b)n= an  bn

5) (a : b)n= an : bn

2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).

Пример 1

(свойство 1).

(свойство 4)

(свойство 5)

На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.

3. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства(ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q). Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (ap)q=ap·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. Аналогично, если q=0, то(ap)0=1 и ap·0=a0=1, откуда (ap)0=ap·0. Если же и p=0 и q=0, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, откуда (a0)0=a0·0.

Теперь докажем, что (a−p)q=a(−p)·q. По определению степени с целым отрицательным показателем а-р=1/ар, тогда (а-р)q=(1/ap)q. По свойству частного в степени имеем

(1/ap)q=aq/(ap)q . Так как 1p=1·1·…·1=1 и (ap)q=apq,то aq/(ap)q=1/apq. Последнее выражение по определению является степенью вида a−(p·q), которую в силу правил умножения можно записать как a(−p)·q.

Аналогично (ap)-q=1/(ap)q=1/apq=a-(pq)=ap(-q). И (a-p)-q=(1/ap)-q=(ap )q=apq=a(-p)(-q).

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. В учебнике вы найдете доказательство свойств 1 ,2 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.

Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.

Физминутка

Упражнения для снятия утомления с мелких мышц кисти. Исходное положение -сидя, руки подняты вверх. 1 - сжать кисти в кулак, 2 - разжать кисти. Повторить 3 -4 раза, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.

Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1 - 4, потом перенести взор вдаль на счет 1 - 6. Повторять 2 - 3 раза.

Выполним задания из учебника

Устно №1117, письменно №1118 (а, б, д, и)

Работа с интерактивной доской

1) (5-2)-1= 4) 32·2-3=

2) (2·3)-2= 5) (7-3·7-1):7-6=

3) 20-5:20-6= 6) 15-2:75-2=

Ньютон

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3и т.д."

7. Выполним задания из учебника

Письменно № 1126 (а, в, д)

8. Рефлексия. Поднимите руки, кто заработал 6-7 баллов – вы молодцы, отлично усвоили тему урока. Теперь поднимите руки кто заработал 4-5 балла – что именно у вас вызвало затруднение?

9. Подведение итогов. Итак, сегодня на уроке мы изучали и отрабатывали навыки по теме «Свойства степени с целым показателем». Давайте повторим все свойства.

Д/з

Изучить доказательство свойств степени с целым показателем

Выполнить из учебника №№ 1119(а, б), 1122(б, г), 1126(б, г)

Составить дешефровку на интересный факт связанный с развитием степени с целым показателем.