Урок алгебры в 8 классе «Свойства степени с целым показателем»

Тема урока: Свойство степени с целым показателем.

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять

Ход урока

Организационный момент.

Математика – это одна из основных наук. Без знания математики, которая включает в себя алгебру и геометрию, трудно будет жить любому человеку. Знающий математику человек – это умный человек. А как сказал французский ученый Р.Декарт: «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять»

Сегодня на уроке, ребята, каждый из вас применит свой ум, свои знания и умения по теме: «Свойства степени с целым показателем» при выполнении различных заданий, закрепит ранее полученные знания и я думаю успешно их применит в любом задании со степенями.

II. Проверка усвоения изученного:

Но в начале давайте вспомним, что изучали мы ранее. С помощью тестирующей системы Votum-web пройдем тест на повторение. (тест 4 вопроса по 30 сек).

1 вопрос (на тему числовой промежуток)

2 вопрос (на тему квадратное уравнение)

3 вопрос ( на тему определение отрицательного показателя степени)

4 вопрос ( вычисления степени с целым показателем)

III. Изучение нового материала

На экране вы видите части формул, ваша задача собрать верные равенства. Мы с вами повторили свойство степени с натуральным показателем, определение степени с отрицательным показателем степени.

1) a^n* a^m = a^n+m

2) a^n : a^m = a^n – m

3) (a^n)^m = a^n*m

4) (a * b)^n= a^n * b^n

5) (a : b)^n= a^n : b^n

2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).

Пример 1

(свойство 1).

(свойство 4)

На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.

3. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых не положительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства(a^p)^q=a^p·q, (a^−p)^q=a^(−p)·q, (a^p)^−q=a^p·(−q) и (a^−p)^−q=a^(−p)·(−q). Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (a^p)^q=a^p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a^0)^q=1^q=1 и a^0·q=a^0=1, откуда (a^0)^q=a^0·q. Аналогично, если q=0, то(a^p)^0=1 и a^p·0=a^0=1, откуда (a^p)^0=a^p·0. Если же и p=0 и q=0, то (a^0)^0=1^0=1 и a^0·0=a^0=1, откуда (a^0)^0=a^0·0.

Теперь докажем, что (a^−p)^q=a^(−p)·q. По определению степени с целым отрицательным показателем а^-р=1/а^р, тогда (а^-р)^q=(1/a^p)^q. По свойству частного в степени имеем

(1/a^p)^q=a^q/(a^p)^q . Так как 1^p=1·1·…·1=1 и (a^p)q=a^pq,то a^q/(a^p)^q=1/a^pq. Последнее выражение по определению является степенью вида a^−(p·q), которую в силу правил умножения можно записать как a^(−p)·q.

Аналогично (a^p)^-q=1/(a^p)^q=1/a^pq=a^-(pq)=a^p(-q). И (a^-p)^-q=(1/a^p)^-q=(a^p )^q=a^pq=a^(-p)(-q). (Доказательство проводим с помощью презентации)

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. В учебнике вы найдете доказательство свойств 1 ,2 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.

Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.

Физминутка

Упражнения для снятия утомления с мелких мышц кисти. Исходное положение -сидя, руки подняты вверх. 1 - сжать кисти в кулак, 2 - разжать кисти. Повторить 3 -4 раза, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.

Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1 - 4, потом перенести взор вдаль на счет 1 - 6. Повторять 2 - 3 раза.

Выполним задания из учебника

Устно №1117, письменно №1118 (а, б, д, и)

Работа с интерактивной доской

1) (5^-2)^-1=                                     4) 32·2^-3=

2) (2·3)^-2=                                      5) (7^-3·7^-1):7^-6=

3) 20^-5:20^-6=                                6) 15^-2:75^-2=

Ньютон

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3 и т.д."

7. Выполним задания из учебника

Письменно № 1126 (а, в, д)

8. Выход в интернет. Под своими логинами заходим на сайт Якласс.ру-Предметы-Алгебра-8 класс-V. Действительные числа- 6. Степень с отрицательным целым показателем-Тренировка по теме Степень с отрицательным целым показателем. Выполним тест из 4 заданий, за который вы можете заработать максимум 7 баллов.

9. Рефлексия. Поднимите руки, кто заработал 6-7 баллов – вы молодцы, отлично усвоили тему урока. Теперь поднимите руки кто заработал 4-5 балла – что именно у вас вызвало затруднение?

10. Подведение итогов. Итак, сегодня на уроке мы изучали и отрабатывали навыки по теме «Свойства степени с целым показателем». Давайте повторим все свойства.

Д/з

Изучить доказательство свойств степени с целым показателем

Выполнить из учебника №№ 1119(а, б), 1122(б, г), 1126(б, г)

Составить дешефровку на интересный факт связанный с развитием степени с целым показателем.