ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Теорема Безу.
Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена 
на многочлен 
- это 
.
Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле вещественных либо комплексных чисел).
Теорема Безу - доказательство.
Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a):
Исходя из того, что deg R(x) < deg (x-a) = 1 - многочлен степени не выше нуля. Подставляем 
, так как 
, получаем 
.
Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:
1. Число 
- корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a.
Исходя из этого – множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения x-a.
2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице – все рациональные корни целые).
3. Предположим, что - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого 
число 
делится на 
.
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если 
, то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:
Т.о., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена 
, степень которого на 1 меньше степени начального многочлена. Иногда таким методом - называется понижением степени - находят все корни данного многочлена.
Теорема Безу примеры:
Найти остаток от деления многочлена 
на двучлен 
.
Теорема Безу примеры решения:
Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке 
. Тогда найдем 
, для этого значение подставляем в выражение для многочлена 
вместо 
. Получаем:
Ответ: Остаток = 5.
Схема Горнера.
Схема Горнера – это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену 
.
Построим этот алгоритм:
Предположим, что 
- делимое
- частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше), r - остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).
По определению деления с остатком P(x) = Q(x) (x–a) + r. После подстановки выражений многочленов получаем:
Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:
Удобно вычисления сводить в такую таблицу:
В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.
Схема Горнера примеры:
Пусть надо поделить многочлен 
на двучлен x–2.
Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на а=2 и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена F(x). Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие – коэффициентами неполного частного.
