Урок математики в 10 классе «Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля»
ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Тема: «Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля»
Цели:
- Формировать представление о биномиальных коэффициентах и их свойствах.
- Способствовать самостоятельному применению знаний и умений для решения комбинаторных задач.
Структура занятия:
- Оргмомент
- Анализ самостоятельной работы
- Проверка д.з.
- Лекция
- Решение примеров
- Подведение итогов
Ход занятия.
Проверка д.з.
Сколькими способами из мешка с шарами (всего 90 шаров) можно сделать выборки по 5 штук?
Ответ: N = 
Сколькими способами в выборке окажется шар, помешенный числом 90?
Ответ: N = 
Лекция
Числа 
часто называют биномиальными коэффициентами.Числа обладают целым рядом свойств.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство:
1) 
, 
, ч.т.д.
2) Вытекает из 1)
3) 
· 
=
,
=
· 
=, ч.т.д.
4) ,
=
= 
=
=, ч.т.д.
Заметим, что при k=0 
=
+
, т.к. =1 и =1, то следует положить, что =0. Аналогично положить, что=0 для k>n, тогда формула верна для k=n.
5) +
+…+
=2n – примем пока без доказательства (доказательство приведем после изучения темы «Бином Ньютона».
Свойства 1) и 2) позволяют расположить биномиальные коэффициенты в виде треугольника.
Построенная таблица чисел известна как треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля — это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.
В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665 г. уже после смерти автора. В указанном сочинении была опубликована следующая таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же , что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду:
Таким образом, наш треугольник отличается от "треугольника" рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов.
Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника". Приведем для примера лишь 3 свойства "треугольника", найденные самим Паскалем; при этом будем исходить из того расположения "треугольника" на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах.
Свойство 1:
|
Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А(в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы). |
|
Свойство 2:
|
Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. |
|
Свойство 3:
|
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются). |
|
Решение примеров
Самостоятельная работа 2 варианта.
