Упрощение рациональных выражений

Разложение на множители. Упрощение рациональных выражений.

На этом уроке мы повторим базовый алгебраический материал, знание которого необходимо для успешного прохождения курса. Прежде всего, это преобразование целых рациональных и дробных рациональных выражений. Целые рациональные выражения – это одночлены и многочлены, дробные рациональные выражения – это дроби, в числителе и знаменателе которых записаны рациональные выражения.

I. Основные способы разложения многочлена на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Группировка (с последующим вынесением общего множителя за скобки).
3. Использование формул сокращенного умножения:
1) Разность квадратов двух выражений
2) Квадрат суммы или разности двух выражений
3) Сумма или разность кубов двух выражений
4) Куб суммы или разности двух выражений
4. Использование формулы разложения на множители квадратного трехчлена:
где – корни квадратного трехчлена.

Полезно знать! При разложении многочлена на множители иногда приходится предварительно прибавить и вычесть одно и то же выражение или представить некоторый член многочлена в виде суммы нескольких слагаемых.

II. Преобразование дробных выражений.

1. Свойства дробей.
1) Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, не равное нулю, то получится дробь, тождественно равная данной: .
2) Если у дроби изменить знак числителя (знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь, тождественно равная данной:
2. Правила действий с дробями.
1) Сокращение дробей – это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Чтобы сократить дробь, необходимо сначала ее числитель и знаменатель разложить на множители одним из перечисленных выше способом, а потом одинаковые множители сократить. Если общих множителей нет, то сокращение дроби невозможно.
2) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Для выполнения сложения или вычитания дробей с разными знаменателями необходимо привести эти дроби к общему знаменателю и использовать предыдущее правило.
Приведение дробей к общему знаменателю выполняется путем умножения и числителя, и знаменателя каждой дроби на такие дополнительные множители, чтобы знаменатели всех дробей стали одинаковыми.
Чтобы найти общий знаменатель нескольких дробей, надо знаменатель каждой дроби разложить на множители одним из перечисленных выше способом, затем взять знаменатель одной из дробей и добавить к нему недостающие множители из других знаменателей.
3) Умножение и деление дробей, возведение дроби в степень:

1. Разложите на множители:

а) б) в) г)

д) e) г) д)

2. Сократите дробь:

а) б) в)

г) д) е)

3. Упростите выражение:

а) б)

4. Решите уравнения:

а) б) .

Домашнее задание.

1. Разложите на множители:

а) б) в) г)

2. Сократите дроби:

а) б) в)

3. Упростите выражение:

4. Решите уравнения:

а) б)