Буклет «Интеграл и биология»

Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () -- число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () -- средняя масса особи возраста , а М () -- био-масса всех особей в возрасте от 0 до

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо-бей возраста , рассмотрим разностьM( + ?) - M(),где ?>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо-бей в возрасте от до + ?, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ()? ? M ( + ?) - M () ? N()P()?,

где N () Р () -- наименьшее, а - N()P() -- наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + ?]. Учитывая, что ?>0, из неравенств N () Р ()? ? M ( + ?) - M () ? N()P()?,

Средняя длина пролета.

В некоторых исследованиях необходимо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При-ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

Птица может под любым углом в любой точке пересечь окружность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через. Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые летят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета - это среднее расстояние между дугами АСВ и АСВ. Иными словами, это среднее значение функции f(х) -- f(х), где у = f(х) -- уравнение верхней дуги,

а у = f2(х) уравнение нижней дуги.

 

ДОНЕЦКАЯ НАРОДНАЯ РЕСПУБЛИКА 
УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА ДОНЕЦКА 
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
«ШКОЛА № 80 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

Интеграл и биология

Автор: Харина Елена,

учащаяся 11 класса

Научный руководитель:

Лапко Ирина Валентиновна,

учитель математики

ИНТЕГРАЛ

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной.

Интеграл в биологии

Применение определенного интеграла в биологии :

Численность популяции.

Биомасса популяции.

Средняя длина пролета(пробега) животного и т.д.

Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини-цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по-пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша-тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень-шаясь или увеличиваясь.

Если известна скорость роста популяции (v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ-ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз-ной для v (t).