ЛАПКО ИРИНА ВАЛЕНТИНОВНА

Необычные способы одной из основных коммутативных операций математики - умножения - в истории чисел

Материал опубликован 23 February 2020 в группе

Творчество наших учеников

1492

15326

Автор публикации: Д. Печерская, ученица 6Б класса

МОУ « Школа № 80 г. Донецка»

Научно – исследовательская работа

на тему:

« Необычные способы одной из основных коммутативных операций математики – умножения – в истории чисел»

Составила:

Печерская Диана

6 – Б класс

Научный руководитель:

Лапко Ирина Валентиновна

ДОНЕЦК 2019

I часть.

1. « Все сущее есть число», - утверждал 25 столетий назад величайший древнегреческий математик и философ Пифагор. Пифагорийцы учили, что « числа правят миром», что Бог положил число в основу мирового порядка.

С этим учением невозможно не согласиться. Ведь как отмечал Исаак Ньютон: « Чтобы сотворить эту ( Солнечную) систему со всеми ее движениями, потребовалась причина, понимавшая и сравнившая количества материи, …, расстояния, скорости». Математика является частью нашей Вселенной. Числа и законы их употребления используются практически во всех сферах жизни и деятельности людей. « Если бы не число и его природа»,- писал философ – пифагореец Филолай, - « ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам… Мощь чисел проявляется, как нетрудно заметить, во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке.» С их помощью мы решаем различные повседневные жизненные проблемы, например, считаем, сколько гостей пригласить на день рождения, строим выкройку платья, подсчитываем стоимость трех порций мороженого или определяем, знакомясь с музыкальным произведением, его музыкальный размер, темп и т. д. Числа позволяют также решать глобальные задачи, связанные, например, с изучением нашей Вселенной.

Платон, древнегреческий философ, отмечал, что « мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы». «Ощущение числа» является врожденной способностью человека, которую необходимо развивать. Число – это часть математического языка, а лучшим способом овладения любым языком является его применение на практике.

2. Поэтому свою работу я решила посвятить более глубокому знакомству с миром чисел и исследованию одной из основных и, на мой взгляд, одной из самых интересных математических коммутативных

операций над ними – умножению, поскольку по утверждению английского физика, математика и механика Джеймса Клерка Максвелла: «Число управляет всем миром количественного, а четыре правила арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математики».

Кроме того, целью моей работы стало применение на практике необычных способов умножения, ознакомление с ними учащихся класса.

Во время этой работы я решала следующие задачи:

- Обогатить мои знания новыми сведениями о числах и различных способах математической операции умножения;

- Глубоко изучить необычные способы умножения чисел;

- Познакомить учащихся класса с необычными способами умножения чисел. Помочь им увидеть закономерности « секретов»;

- Вызвать у учащихся интерес к данной теме. Повысить их познавательную активность. Вызвать положительное отношение к учебе.

С целью решения этих задач я составила план своей работы, состоящий из следующих этапов:

- Углубленное знакомство с понятием и историей чисел;

- Изучение истории возникновения и развития операции умножение чисел;

- Выделение и анализ наиболее занимательных и необычных способов умножения чисел;

- Подготовка наглядного материала ( плакатов) с демонстрацией приемов передачи необычных способов умножения;

- Ознакомление учащихся класса с необычными способами умножения чисел, используя демонстрационный материал и акцентируя их внимание на закономерностях « секретов» этих способов;

- Анализ проделанной работы.

II часть

1. Сейчас числа для нас – это обыденное, не вызывающее удивление понятие. Но так было не всегда. Числа – одно из самых древних изобретений, но в разные эпохи люди представляли их по – разному.

Первобытный человек для счета пользовался пальцами рук и ног. Но запомнить большие числа было весьма затруднительно, поэтому со временем кроме пальцев начали задействовать другие предметы. Кстати, в Африке до сих пор некоторые племена считают на камешках и орехах, доходя до числа 5, а жители островов Тихого океана ведут счет на кокосовых черешках, маленьким черешком обозначая число 10, а большим – число 100.

П еруанцы считали, завязывая узелки на шнурках р азных цветов. У богатых людей скапливались метры этих шнурочков, поэтому они нанимали специальных людей – вспоминателей. Они вели учет узелков.

Запись чисел придумали шумеры. Они пользовались только двумя цифрами, которые записывали на сырых глиняных дощечках. Вертикальная черточка обозначала единицу, а угол из двух черточек ( напоминает знак « меньше») – десять.

Р анние цивилизации начали создавать собственные цифры.

В древней египетской нумерации (более 5 тысяч лет назад) использовались иероглифы для запися чисел 1, 10, 100, 1000…

И ндейцы племени майя пользовались двадцатеричной системой счисления. Нуль они изображали в виде ракушки, единицу – в виде точки? а число пять -в виде гори -

зонтальной линии.

У древних греков было две системы обозначения чисел. По более старой из них числа от 1 до 4 обозначались вертикальными черточками, а число 5 – буквой Г. 10 обозначали буквой Л, 100 – буквой Н, 1000 – буквой Х, 10000 – буквой М. Но эта система уступила место иной, в которой числа обозначали буквами алфавита, рисуя черточки над ними. Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв.

В Древней Индии была распространена система чисел, заменяемая словами. Вместо числа два употребляли слова « глаза», « руки», « близнецы», вместо четырех - слово « океаны» ( в индийской мифологии было 4 океана), вместо десяти – « пальцы», число 32 называли « зубами», 100 – «человеческим веком», а нуль – « пустым местом». Позже индийцы изобрели для каждого числа свой знак.

Т ак называемые арабские цифры, которыми мы пользуемся сейчас, на самом деле имеют индийское происхождение. Они возникли в V веке. Несмотря на то, что число « нуль» использовалось и в более древних цивилизациях, именно в Индии было открыто и формализовано понятие нуля в том контексте, в котором мы понимаем его сейчас. Именно это открытие позволило перейти к десятичной позиционной системе счисления, которой мы пользуемся. По высказыванию П. С. Лапласа: « Мысль выражать числа десятью знаками … настолько простая, что … трудно понять, насколько она удивительна».

В России арабские числа стали применять с XVIII века. Для этого наши предки использовали славянскую нумерацию.

Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда они обозначали цифры.

2. Джон Стивен Смитт отмечал, что арифметика – это « одна из древнейших, возможно самая древняя, отрасль человеческого знания». Ведь необходимость в числах и операциях с ними возникла еще в каменном веке в связи с потребностью людей в счете, простейших измерениях и вычислениях. Первобытный человек устанавливал количественные соотношения с помощью естественного эталона счета – пальцев руки, символизирующих конкретное число. С этим эталоном и связано возникновение понятия числа.

Прошли многие тысячелетия. Развивались обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами. Так постепенно возникли арифметические действия, причем умножать люди начали значительно позднее, чем складывать. Умножение – это особый вид сложения нескольких чисел, который возник с необходимостью вести подсчет больших чисел. В далекие времена уже при счете предметов люди учились умножать. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять число 20 не только как 10+10, но и как два десятка, т. е. 2*10; 30- как сумму 10+10+10 и как три десятка, т. е. 3*10 и т. д.

Древние египтяне пользовавшиеся десятичной системой счисления, выполняли умножение посредством сложения или последовательного удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали члены последовательности 1, 2, 4, 8, 16… В Вавилоне при умножении пользовались специальными таблицами умножения чисел от 1 до 59 – « предками» современных таблиц умножения. Самая старейшая из них найдена во время раскопок Вавилона и имеет возраст около 4000 лет. Выглядит она как глиняная дощечка с клинописной записью. В ее основе 60 – ричная система счисления, характерная еще для шумер. Известно более 300 дощечек с текстом задач и числовых таблиц. Эти находки позволили ученым предположить, что родиной таблицы умножен6ия является Месопотамия. Но это не единственная версия.

В Индии были обнаружены варианты таблиц умножения, возраст которых оценивается в 3000 – 3200 лет, и возможно, что родиной таблицы умножения является именно эта страна. В Древней Индии применяли способ умножения чисел, близкий к современному. Индийцы производили умножение, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях нужно было заменить. Математики Древней Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и писали над ними новые.

Знания и навыки по приемам счета накапливались одновременно во многих странах. В Древнем Китае операции умножения осуществлялись на счетной доске с помощью таблицы от 1*1 до 9*9.Действия производились, начиная со старших разрядов. При этом промежуточные результаты удалялись с доски, что делало проверку невозможной. В Китае найдена старейшая 10 – ричная таблица умножения, датируемая 305 годом до н. э. Поэтому многие ученые считают, что именно в этой стране могли придумать таблицу умножения, откуда вместе с торговыми караванами она попала в Индию, а оттуда распространилась по Азии и Европе. Хотя можно предположить, что таблица была изобретена параллельно сразу в нескольких империях, т. к. люди постоянно сталкивались с необходимостью делать сложные подсчеты.

В европейской же культуре ее изобретение приписывается Пифагору( 570-490 гг до н. э.), в честь которого она названа на различных языках, включая французский, итальянский, русский. Этот ученый – гений сделал массу фундаментальных открытий и подарил миру удивительное учение о числах. Но по вопросу авторства таблицы умножения мнения ученых разделились, т. к. Пифагор не оставил после себя ни одного письменного трактата, только косвенные доказательства. Последователь его учения Никомах Герасский ( I – II вв до н. э.) впервые записал таблицу умножения примерно в том виде, в каком ее печатают на обложках современных школьных тетрадей, но в своем учении « Введение в арифметику» он утверждал, что авторство принадлежит Пифагору. В 493 году Викторий Аквитанский создал таблицу из 98 столбцов, которая представлена в римских числах и является результатом перемножения чисел от 2 до 50.

В средние века арифметика являлась одним из свободных искусств, и ей уделялось большое внимание. Но она развивалась в первую очередь в Индии и странах ислама, и только потом пришла в Западную Европу, где продолжительное время произведение называли суммой умножения, а « множитель» и « множимое» появились в VI и в XIII веках.

В 1631 году английский математик Уильям Отред впервые стал обозначать умножение диагональным крестиком. Это самый старый из используемых символов.

В 1659 году Йоханн Ран для обозначения этой операции ввел звездочку, а немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1698 году – поднятую точку. В веке знаки « точка» и « диагональный крестик» стали общепризнанными.

В 1820 году в книге «Философия арифметики» шотландский физик и профессор Джон Лесли опубликовал таблицу умножения до 99, которая давала возможность перемножать числа – параллели. Он же порекомендовал ученикам заучивать таблицу до 25, что явилось революционным открытием, т. к. другие хитрые способы вычисления приводили к тому, что увеличивалось количество ошибок, и замедлялся процесс подсчета.

Таблица умножения впервые была введена в школьную программу в средневековой Англии. Это была таблица чисел до 12. В таком виде английские школьники учат ее и сегодня. Недавно и в России стали выпускать тетради с такой таблицей. А в Индии ученики до сих пор учат исходный вариант таблицы до 20.

В России первая таблица умножения была издана в 1682 году в первой печатной математической книге на русском языке, называвшуюся « Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи» и содержащую таблицу умножения пар чисел от 1*1 до 100*100.

Но наши предки умели умножать без таблицы умножения. Еще до ее появления крестьяне употребляли унаследованный ими из глубокой древности интересный способ « удвоения», который сейчас называется 2 крестьянским».

Тот же способ, который в настоящее время мы изучаем в школе – умножение « столбиком» - известен в Европе с XV века.

Так же, как и крестьянский, не требует знания таблицы умножения и «египетский» способ. Он очень древний, но и сегодня его можно встретить в отдельных районах.

Несколько способов быстрого умножения принадлежит индусам, знавшим десятичную систему с давних пор и предпочитавших устный счет письменному.

А для способа « Решетка», которым пользовались тоже с древности, нужно знание таблицы умножения и умение складывать числа. В средние века этот метод широко распространился на востоке, а в эпоху Возрождения – в Европе. Он имел разные названия, а последнее получил в Италии, где получавшиеся при умножении фигуры напоминали венецианские решетчатые ставни, закрывавшие окна их домов от солнца.

Очень интересны японский и китайский способы, в которых ощущается влияние восточного мечтательного мировосприятия.

Благодаря современному способу кандидата философских наук В. Оконешникова можно научиться складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами.

А « массив» ( или « матрица») необычайно прост и увлекателен.

В мире существует множество известных и забытых алгоритмов умножения. Они формировались на протяжении многих тысячелетий. Многие из них незаслуженно забыты. Но я бы хотела напомнить о них. Ведь среди этих способов есть очень простые, доступные, оригинальные и любопытные.

III часть

Стремясь облегчить вычисления, за многовековую историю математики люди придумали несколько десятков способов умножения. В своей работе я отразила лишь наиболее необычные и занимательные из известных в наше время. В этом плане я считаю, что в моем исследовании присутствует именно тот случай, о котором говорил Блюз Паскаль: « Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным».

Для некоторых учащихся операция умножения не представляет трудностей, но тем, у кого преобладает образная и эмоциональная память, он дается нелегко. Я думаю, что предложенные в моей работе способы помогут таким учащимся раскрыть все « тайны» действий умножения, полнее осознать их конкретный смысл и связь со сложением. А занимательность и необычность предложенных способов раскроет неизвестную для всех учащихся сторону математики, активизирует мышление, простимулирует познавательную активность. Эти способы настолько интересны, , что, по моему мнению, превосходят многие занимательные игры, от которых невозможно оторваться. Если не верите – знакомьтесь с ними и решайте вместе со мной!

КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Чтобы с успехом использовать этот способ умножения, достаточно уметь умножать и делить числа на 2.

Первый множитель запишем слева, а второй – справа на одной строке.

2 . Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2, получившиеся результаты будем записывать в столбик.

3. Если при делении возник остаток, он отбрасывается.

4. Операцию продолжаем, пока слева не останется число 1.

5. Затем вычеркиваем те строчки, в которых слева стоят четные числа и складываем оставшиеся числа в правом столбце. Получившийся результат и будет произведением двух заданных множителей.

( ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

ИТАЛЬЯНСКОЕ УМНОЖЕНИЕ РЕШЕТКОЙ

1. Здесь нам потребуется начертить таблицу. Количество клеток по горизонтали будет соответствовать количеству цифр в первом множителе, а количество клеток по вертикали – количеству цифр во втором множителе. Над квадратами слева направо поочередно записываем числа первого множителя, а справа от квадратов – числа второго множителя.

2. Затем нужно разделить каждую клетку надвое по диагонали. Чтобы получились треугольники.

3. Теперь умножим первые числа множителей, записывая результаты в квадраты их пересечения. Если получилось однозначное число, записываем

результат в нижний треугольник, а верхний оставляем пустым. Если же двухзначное – число десятков записываем в верхний треугольник, а число единиц – в нижний.

4. Далее умножаем между собой все множители обоих чисел.

5. Когда все клетки заполнены, складываем все числа в получившихся диагоналях, начиная слева.

6. Если получилось двухзначное число, число десятков прибавляем к получившемуся числу в диагонали, которая расположена левее.

7. Читаем получившиеся числа слева направо. Это и будет результатом нашего умножения.

( ПРИЛОЖЕНИЕ 2)

МАССИВ

1. Как и в предыдущем способе, нам потребуется начертить таблицу и так же написать числа множителей. Только здесь мы разделим наши числа на единицы, десятки, сотни… К примеру, если первый множитель – 643, то мы записываем над первым квадратом число 600, над вторым – число 40, а над третьим – число 3.

2. Затем мы перемножаем числа по горизонтали и вертикали.

3. И, наконец, мы складываем все числа, полученные в квадратах. Получившийся результат – произведение наших множителей.

( ПРИЛОЖЕНИЕ 3)

ЯПОНСКИЙ МЕТОД УМНОЖЕНИЯ

1. Рисуем по диагонали линии, начиная слева. Первое количество линий будет соответствовать количеству единиц в первом числе первого

множителя, немного отступив, рисуем вторую группу линий, их количество будет соответствовать количеству единиц второго числа в первом множителе и т. д.

2. Перпендикулярно им, сверху вниз рисуем другие группы линий (второй множитель), действуя по той же схеме.

3. Теперь нам нужно пересчитать количество точек пересечения этих линий в каждой группе.

4. Если в какой – либо группе мы получаем двухзначное число, то число десятков мы прибавляем к числу, расположенному левее.

5. Получившееся число – наш ответ.

( ПРИЛОЖЕНИЕ 4)

ЕГИПЕТСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Египтяне сводили умножение к удвоению и сложению чисел.

1. Выразим второй множитель в виде суммы степеней числа 2 и единицы, если число нечетное.

2. Умножим первый множитель поочередно со всеми числами 2 в тех степенях, в которых у нас получились, и с числом 1, если оно имеется.

3 . Полученные результаты сложим и узнаем результат произведения заданных нами множителей.

( ПРИЛОЖЕНИЕ 5)

С этими способами умножения я познакомила своих одноклассников. В эксперименте принимали участие 10 человек. После этого я провела опрос среди них. Мною было задано 3 вопроса. Вот какие результаты я получила:

IV часть

В результате анкетирования, проведенного среди учащихся моего класса, я выяснила, что все они не были знакомы с нетрадиционными способами умножения, и очень заинтересовались ими. Я также отметила, что многие из одноклассников выразили желание дальнейшего знакомства с увлекательными алгоритмами. Сама я тоже не хочу останавливаться на достигнутом. Ведь мною изучены далеко не все способы умножения чисел. Но и те, с которыми я познакомилась, очень интересны, любопытны, увлекательны и зачастую позволяют выполнять сложные вычисления легче, быстрее и рациональнее.

Готовя эту работу, я узнала очень много интересной и полезной информации и убедилась, что необычные для нас способы умножения чисел являются огромным завоеванием человечества и имеют право на жизнь. Хочу удивить своих родных и близких, познакомив их с ними. И всем хочу напомнить слова великих: « Для несведущих в математике сокрыты многие тайны вещей» ( Ян Амос Коменский)

Она «бесконечно распознаваема, но не познаваема» ( Рене Декарт)

« Каждое решение является своеобразным искусством поиска». « Что бы ни случилось в жизни, не опускайте рук, займитесь математикой, и вы прозреете душой» ( М. Ф. Кравчук)

СПИСОК

ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Депман И. Я. «За страницами учебника математики», И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин - М.: Просвещение,1989

2. Смирнов Ю. И. Мир чисел. - Санкт-Петербург.: Мим-Экспресс 1995.

3. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994.

4. Интернет ресурс http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/interesnye-priemy-ustnogo-scheta-0