Элективный курс «Формирование обобщенных умений решать планиметрические задачи на вычисление на подготовительном факультативе в 9 классе»

Методическая тема

 

«Формирование обобщенных умений решать

планиметрические задачи на вычисление

на подготовительном факультативе в 9 классе»

Срок работы над темой 2022-2024 Введение

Отличие геометрии от всех других образовательных предметов состоит в том, что ее содержание практически не меняется в течение многих веков и основные цели ее изучения также остаются неизменными:

1.Развитие пространственных представлений, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как умение:

• читать и делать чертежи, необходимые для решения;

• выделять необходимую конфигурацию при чтении чертежа;

• определять необходимость дополнительных построений при решении задач и выполнять их;

• различать взаимное расположение геометрических фигур.

2. Формирование и развитие логического мышления, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как владение методами доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т. д.), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Анализ результатов ГИА-9 по математике в 2019году позволяет выявить сильные и слабые стороны в системе обучения математике в основной школе. Значительные трудности вызывают задания с геометрическим содержанием.

Одна из причин состоит в том, что у учащихся не сформировано обобщенное умение решать задачи. А на экзамене нужно применять знания в измененных и новых ситуациях: задачи повышенного уровня — задачи с измененной ситуацией, которая требует знаний различных конфигураций, задачи высокого уровня носят комплексный характер, допускают несколько способов решений, различающихся использованием различных методов, и, соответственно, различной системой ссылок (аргументацией).

Преподавание в школе построено на изучении тем. После изучения теории, решаются задачи для закрепления этой темы. Отметим, небольшое количество уроков обобщающего повторения, которые в большинстве своем завязаны, опять-таки, на темы пройденных занятий.

Один из путей преодоления этого противоречия, проведение уроков обобщающего повторения или факультативных занятий по изучения определенного метода решения задач, к примеру, метода ключевого треугольника.

Обучение учащихся самостоятельному поиску решения задач – одна из ведущих проблем методики преподавания математики. Планиметрические задачи почти не поддаются алгоритмизации, требуют широкого запаса теоретических знаний, знания основных приемов решения задач.

Проблема: разрешение противоречия между составом и уровнем сформированности умений решать планиметрические задачи на вычисление, который определяется требованиями КИМов ОГЭ по геометрии в основной школе, и тем составом и уровнем сформированности этих умений, который обеспечивается реализуемыми методическими подходами к обучению решения задач данного вида.

Цель: разработать методику обучения решению планиметрических задач на вычисление, ориентированную на подготовку выпускников основной школы к осознанному использованию разновидностей метода ключевого треугольника.

Задачи:

Провести анализ КИМов ОГЭ по геометрии за курс основной школы с целью выявления требований, предъявляемых к умениям выпускников решать планиметрические задачи на вычисление.

Провести анализ учебных пособий по геометрии с целью сбора и систематизация данных о теоретических основах и методах решения школьных планиметрических задач на вычисление.

Разработать методику обучения решению планиметрических задач на вычисление в рамках подготовительного факультатива.

Методы исследования: анализ, систематизация и классификация, теоретическое моделирование.

1. Уровни сформированности умения решать планиметрические задачи у выпускников основной школы, определенные требованиями итоговой аттестации

Умение — освоенный учащимся способ выполнения действия. Умение обеспечивается совокупностью приобретенных ранее знаний, умений и навыков. Умение формируется путем упражнений и создает возможность выполнения действия не только в привычных, но и в изменившихся условиях.

Умение решать задачи — совокупность освоенных методов решения данного типа задач, знание общих закономерностей процесса решения задач.

Обобщенные умения — это умения, которые сформировались при выполнении одних действий, а могут применяться при выполнении других. Обобщенное умение обеспечивает продуктивную деятельность (В.А. Кулько).

Например, умения составлять план прочитанного (уроки литературы, истории), пересказывать текст, пользоваться оглавлением учебника, делать выводы и т. д. Эти умения, усвоенные на одних уроках, вполне годятся к применению на других

Обобщенное умение решать задачи — умение решать задачи в незнакомой ситуации.

Составляющими обобщенных умений решать задачи являются:

-выделение и анализ структурных компонентов задач, соответствие хода решения и производимых операций условию.

-преобразование задач и нахождение различных способов решения с обоснованием оптимального, составление обратных задач.

-классификация задач по способу решения, осознание общего подхода при анализе и решении задач.

-подбор способов решения к задачам с нечётко выраженной структурой.

-составление и решение задач по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению).

-решение задач, включающих несколько типов разных отношений.

Обобщенное умение решать планиметрические задачи на вычисление подразумевает:

-умение применять известные факты в новой ситуации;

-знания о свойствах различных конфигураций;

-владение способами и методами решения различных типов задач;

-знание общих закономерностей процесса решения задач.

Планиметрические задачи в контрольно-измерительных материалах ОГЭ по геометрии на сегодняшний день представлены задачами базового, повышенного и высокого уровней сложности. Анализ содержания этих задач и критериев оценки решения задач высокого уровня сложности позволяет выделить требования к уровню сформированности умения решать планиметрические задачи, определяемые ОГЭ по геометрии.

Особенности экзаменационной работы определялись целью проведения экзамена: оценить образовательную подготовку выпускников 9 класса общеобразовательных учреждений с целью их государственной (итоговой) аттестации.

Проверка достижения требований стандарта осуществлялась путем включения в содержание работы только тех вопросов, которые входят в обязательный минимум содержания основных образовательных программ, то есть на итоговую проверку не выносился материал предметных тем: «Геометрические преобразования» и «Построения с помощью циркуля и линейки». В меньшей степени осуществлялась прямая проверка овладения теоретической составляющей курса. Основное внимание было уделено проверке овладения практическими умениями, формируемыми в процессе изучения геометрии.

В требованиях к вариантам контрольных измерительных материалов для проведения итоговой аттестации в новой форме оговаривается обязательное наличие заданий каждого уровня сложности (базового, повышенного, высокого), доступных различным по уровню подготовки группам учащихся.

 

2. Основные методические подходы к обучению решению планиметрических задач на вычисление в курсе геометрии основной школы

Обучение решению геометрических задач – важная составная часть изучения школьного курса геометрии. При решении геометрических задач закрепляются теоретические знания, формируются умения и вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность. Рассмотрим некоторые методические подходы к обучению решению планиметрических задач.

Подготовка учащихся к экзамену предусматривает решение задач из экзаменационных материалов предыдущих лет. Традиционно на уроке учитель объясняет их решение, ученики его записывают и получают аналогичные задачи на дом. Иногда ученикам предлагается самостоятельно выполнить вариант экзаменационной работы с последующей проверкой и разбором ошибок в классе. Но и в этом случае «сложные» задачи достаются учителю.

В условиях прохождения итоговой аттестации в новой форме учащиеся должны быть заранее осведомлены о том, что они не смогут быть положительно аттестованы, если не научатся самостоятельно решать задачи, в которых требуется применять небольшое число элементов содержания, овладение которыми показывает усвоение материала на базовом уровне. Желательно при изучении каждой темы ознакомить учащихся с требованиями к обязательному уровню подготовки. Например, указать, какие задачи (в учебнике, дидактическом пособии) они должны уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Можно предложить учащимся список таких задач, например, в качестве заданий для самопроверки достижения обязательной подготовки по теме.

Заметим, что формирование умений решать задачи базового уровня – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Это обязательная часть учебного процесса, недооценивать которую нельзя. Только после этого этапа можно переходить формированию умений решать геометрические задачи повышенного и высокого уровней.

Анализ данных о выполнении заданий повышенного уровня сложности показывает, что они вызывают трудности у значительного числа учащихся, причем, не только у слабых, но и у учащихся, продемонстрировавших при выполнении всей работы хороший уровень математической подготовкой. В числе причин неуспеха в решении таких задач можно выделить две основных.

Во-первых, для решения задач повышенного уровня нужно применить небольшое число геометрических фактов, но в такой ситуации, которую обычно называют измененной, т. е. в ситуации, не всегда отрабатываемой на уроках геометрии. Часть учащихся, даже усвоивших определенные элементы содержания, «не узнает» в представленной постановке задачи возможность применения этих элементов.

Во-вторых, при изучении некоторых разделов курса геометрии особенно проявляется слишком формальное усвоение материала учащимися. Были выявили два таких раздела: «Векторы» и «Правильные многоугольники».

Таким образом, для того, чтобы быстро и успешно справляться с решением задач повышенного уровня, необходимо выполнение ряда условий. Одним из важнейших условий является уверенное владение свойствами ряда «опорных» геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах. Другим, не менее важным, является умение проанализировать предлагаемую в задаче фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами: их взаимное расположение, метрические соотношения.

Формирование представлений об опорных конфигурациях должно происходить на протяжении всего процесса изучения курса геометрии. При этом целесообразно обращать внимание учащихся на такие конфигурации, решать задачи на доказательство свойств соответствующих фигур, а также задачи на применение доказанных свойств. Так, например, при изучении курса планиметрии, помимо свойств равнобедренного, правильного, прямоугольного треугольников, полезно рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник; прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе; параллелограмм (трапеция или прямоугольник), в котором проведена биссектриса одного из углов и т.п.

По мере изучения материала знания учащихся о свойствах рассматриваемых фигур пополняются. Например, о равнобедренном треугольнике сначала известно, что две его стороны равны, углы при основании равны, медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, медианы, проведенные к боковым сторонам, равны и т.д. Затем в связи с изучением теоремы Пифагора устанавливается связь между боковой стороной, основанием и высотой к основанию; в связи с изучением окружности – отмечается положение центров вписанной и описанной окружностей на высоте к основанию. При обсуждении плана решения задач полезно вспоминать набор всех известных на данный момент свойств равнобедренного треугольника с целью выбора тех из них, которые нужны для решения данной конкретной задачи.

Умения анализировать ситуацию, предлагаемую в конкретной задаче, формируются в ходе целенаправленных действий учителя, побуждающих учащихся вычленять в рассматриваемых конфигурациях «нужные» фигуры, то есть фигуры, вычисления в которых могут привести к искомому результату. Например, если в задаче говорится об окружности, то весьма вероятно будет использоваться равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, соединяющей их концы, или прямоугольный треугольник, возникающий при проведении радиуса через середину хорды или радиуса в точку касания окружности и касательной. Таким образом, в ходе изучения курса геометрии решение конкретной задачи – это не самоцель. Главной целью должно являться формирование умений анализировать предлагаемую конфигурацию, видеть в ней «детали» и связывать их с опорными конфигурациями и, соответственно, с их свойствами, позволяющими обосновывать шаги решения и проводить вычисления.

Полезно также рассмотреть наиболее важные методы решения задач и повторить те конфигурации, в которых возможно их применение. Например, решение прямоугольных треугольников, в том числе, теорема Пифагора, применяются в конфигурациях, где можно выделить прямоугольный треугольник, в частности в четырехугольниках при проведении высоты, в окружности при проведении касательной или радиуса, перпендикулярного хорде, в прямоугольнике, в ромбе при проведении двух диагоналей. Такое обобщающее рассмотрение применения свойств фигур и методов вычислений позволит более эффективно закрепить умения их применять.

Все действия, о которых говорилось выше, могут осуществляться только в процессе решения задач. Решение задач должно превалировать в обучении по сравнению с рассмотрением теоретических фактов. Особенно это относится к этапу контроля (текущего, тематического, рубежного). Гораздо важнее, чтобы учащиеся научились применять теоремы, чем воспроизводить их доказательства.

Если обратиться к темам «Векторы» и «Правильные многоугольники», то здесь особенно важно больше уделять внимания решению задач, где изученные сведения применяются в различных вариациях. Например, свойства векторов больше рассматривать в геометрических фигурах: треугольниках, параллелограммах и т.п., причем, в одной и той же фигуре рассматривать эти свойства применительно к разным элементам данной фигуры. Например, в треугольнике АВС рассмотреть сумму векторов (скалярное произведение векторов и др.), применительно к векторам и , и , и и т. д. Очень важно при изучении этой темы постоянно обращать внимание на связь между свойствами геометрических фигур и свойств векторов.

При изучении правильных многоугольников особую важность приобретает выделение в данном многоугольнике равнобедренных и прямоугольных треугольников, образованных при проведении радиусов описанной и вписанной окружностей, и вычисление углов этих треугольников. При решении задач необходимо подчеркивать, что из методов вычислений здесь наиболее часто применяются именно те методы, которые связаны с прямоугольными и равнобедренными треугольниками, а также формулы с величиной угла. Речь идет о решении прямоугольных и косоугольных треугольников, формулах площади треугольников. При обучении решению задач повышенного уровня сложности особое внимание следует уделить именно процессу поиска решений, а не показу готовых алгоритмов или стандартных процедур.

Задачи высокого уровня сложности, как правило, в общеобразовательных классах на уроках решаются редко. Во-первых, самостоятельно найти путь решения для большинства учащихся – непосильная задача, а во-вторых, решение таких задач требует значительных временных затрат. Поэтому для наиболее сильных учащихся необходимо предусмотреть индивидуальные задания на дом или для работы в классе, которые выполняются по желанию ученика и поощряются оценками. Иногда сложные задачи можно рассматривать на уроке в качестве фронтальной работы с классом. В таком случае более сильные ученики должны быть заняты поиском решения, составлением плана решения задачи, а менее подготовленные учащиеся – выполнением и обоснованием отдельных шагов решения. При таком подходе пользу получат все ученики.

Большую роль в приобретении умений решать задачи, в которых применяются факты из разных разделов курса геометрии, играет обобщающее повторение, на которое выделяется учебное время в конце учебного года. Материал следует повторять не в той последовательности, в какой он изучался, а «классифицировано», причем за основу классификации целесообразно принять вид фигуры (треугольники, четырехугольники, окружность и т.п.). При этом для каждого вида фигур рассматриваются все изученные в курсе способы вычислений (теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, решение пропорций в подобных треугольниках, формулы площади и т.п.). В такую схему повторения естественным образом вписывается обобщающее рассмотрение свойств опорных конфигураций, о которых говорилось выше. Например, при повторении материала по теме «Параллелограмм», кроме свойств углов, сторон и диагоналей параллелограмма, рассматриваются несколько конфигураций и связанных с ними вычислений:

– Параллелограмм, в котором проведены диагонали. Возможно рассмотрение равных треугольников, равновеликих треугольников, применение свойств углов при параллельных прямых и секущей, соотношения между квадратами диагоналей и сторон параллелограмма, метода удвоения медианы треугольника, формулы площади параллелограмма или треугольника с использованием синуса угла, вычисление стороны или диагонали по теореме косинусов или синусов.

– Параллелограмм, в котором проведена высота. Возможно применение Теоремы Пифагора и определений тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, формулы площади параллелограмма или треугольника с использованием высоты.

– Параллелограмм, в котором проведена биссектриса угла. Возможно рассмотрение равнобедренного треугольника, отсекаемого биссектрисой.

– Параллелограмм, в котором из двух вершин проведены отрезки, пересекающие противолежащие стороны. Возможно рассмотрение подобных треугольников или треугольников, имеющих общую высоту.

Для организации повторения нужно использовать специально подобранные задачи – простые и комплексного характера, в ходе решения которых учащиеся могли бы рассмотреть разнообразные варианты постановок задач для каждой из конфигураций.

При решении задач необходимо обращать внимание на обоснованность шагов решения. В экзаменационной работе для большинства задач не требуется приводить ни обоснований, ни вычислений и нужно только указать получившийся ответ. Однако для того, чтобы получить верный ответ, нужно правильно оценить ситуацию и применить определенные признаки и свойства фигур и способы вычислений. Этого не достигнуть, если в процессе обучения не требовать от учащихся обосновывать решения задач.

Для трех задач экзаменационной работы требуется записать решение. Для получения максимального числа баллов решение должно содержать все шаги, необходимые для получения ответа, все вычисления должны быть верными, и должны быть приведены обоснования основных моментов решения. В ходе обучения нужно обращать внимание учащихся на необходимость приведения корректных доказательных рассуждений, причем, не только в задачах на доказательство, но и при решении вычислительных задач.

Особо следует обратить внимание на то, что задания, входящие в контрольные измерительные материалы по контролируемым в них элементам содержания не выходят за рамки образовательного стандарта. В этой связи, отметим, что успешное выполнение вариантов государственной итоговой аттестации всецело зависит от полноценного и глубокого изучения программного материала по действующим учебникам.

Таким образом, подготовка к государственной итоговой аттестации по математике (геометрии) не должна подменять систематическое изучение школьных предметов, а, как и любая традиционная подготовка к экзамену, должна быть обеспечена качественным изучением нового материала, продуманным текущим повторением, и, наконец, обязательным обобщением, систематизацией знаний из различных разделов курса.

Факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения. Целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Задачи факультатива:

– обучение учащихся самостоятельному поиску решения задач;

– подготовка к экзамену по математике (геометрии);

– изучение определенных методов решения задач;

– решение задач повышенного и высокого уровня сложности.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений.

Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Естественно также при проведении факультативных занятий в основном использовать методы изучения (а не обучения), а также проблемную форму обучения.

3. Методика формирования знаний и умений учащихся, связанных с использованием разновидностей метода ключевого треугольника при решении планиметрических задач на вычисление, в рамках подготовительного факультатива

Данная методика разработана для учащихся 9 классов. Рекомендуется к применению во 2 полугодии в рамках подготовительного факультатива. Методика не обеспечивает полной готовности к экзамену, она знакомит учащихся с разновидностями метода ключевого треугольника, помогает лучше находить треугольники (комбинации треугольников) ведущих к решению задачи. Количество часов – восемь, выбрано исходя из того, что в школах на факультативы выделяется очень мало часов (час в неделю, час в две недели) или совсем не выделяется.

Цели, которые преследует данная методика:

-повторение, закрепление усвоенного материала, в большей степени относящегося к треугольникам;

-психологическая подготовка учащихся к сдаче экзамена в новой форме;

-освоение метода ключевого треугольника и его разновидностей;

-преодоление страха учащимися, при самостоятельном решении задач «не по шаблону», т.е. задач повышенного и высокого уровня сложности.

База теоретических знаний, которая требуется для усвоения материала представлена в приложении А «Виды треугольников, их признаки и свойства». Само собой разумеется, что только теорем-признаков и теорем-свойств треугольников недостаточно, необходимо знать признаки и свойства основных геометрических фигур (прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, окружность), углов (вертикальных, при параллельных прямых и секущей, центрального и вписанного в окружность) и прочее.

Этапы формирования метода ключевого треугольника у учащихся:

Подготовительный этап. Его цель – овладение перечисленными основными понятиями и основными действиями. Этому этапу отвечает занятие №1 «Введение в метод ключевого треугольника».

Мотивационный этап. Его задача – показать необходимость овладения этим методом и добиться осознания того факта, что на следующих этапах целью деятельности учащихся будет именно усвоение этого метода решения задач. Мотивация учащихся проводится во время занятии №№1-2.

Ориентировочный этап. Его цель – разъяснить суть метода и выделить его основные компоненты на примере анализа решенной этим методом задачи. Этап полностью раскрыт на занятии №3 «Работа над ошибками».

Этап овладения компонентами метода. Цель – используя специально подобранные задачи, формировать отдельные компоненты метода. Разновидности метода ключевого треугольника (вычислительный метод, метод вспомогательных площадей, метод подобных треугольников) рассмотрены на занятиях №№4-6

Этап формирования метода «в целом». Цель – решение задач, в которых работают все или большинство компонентов метода. Занятие №7 посвящено решению задач, занятие №8 – итоговая контрольная работа.

Апробации методики не проводилось, ничего нельзя сказать о её эффективности.

Методика построена на самостоятельном решении учащимися задач в измененной и незнакомой ситуации. Это способствует формированию обобщенных умений решать планиметрические задачи на вычисление. Этой одной методики недостаточно, чтобы полноценно сформировать обобщенное умение решения задач, т. к. обобщенное умение подразумевает владение различными методами решения задач.

План занятий:

1)Занятие №1. Введение в метод ключевого треугольника. Занятие подводит учащихся к самостоятельному определению метода ключевого треугольника, знакомит с шагами «алгоритма» метода.

2)Занятие №2. Закрепление основ метода ключевого треугольника. Занятие рассчитано на работу учащихся в команде (4 человека), позволяет проверить усвоение метода ключевого треугольника.

3)Занятие №3. Работа над ошибками. Считаем это занятие необходимым, чтобы выявить на ранней стадии непонимание, неточности при решении задач методом ключевого треугольника.

4)Занятия №№4-6 знакомят учащихся с разновидностями метода ключевого треугольника: вычислительным методом, методом вспомогательных площадей, методом подобных треугольников. Задания выдаются на карточках (4-6 задач), на каточках имеется чертеж и краткое условие задачи. Требуется выдвинуть предположение, какие треугольники приводят к решению задачи, и подтвердить предположение решением.

5)Занятие №7. Решение задач. Подготовка к итоговой контрольной работе. Занятие рассчитано на самостоятельное решение задач с консультациями по возникающим вопросам.

6)Занятие №8. Итоговая контрольная работа. Проверка овладения учащимися методом ключевого треугольника и его разновидностями.

Занятие №1. Введение в метод ключевого треугольника.

Цель: Подвести учащихся к самостоятельной формулировке метода ключевого треугольника

Задачи: 1. Выявление общих закономерностей в решении задач

2. Закрепление теории с помощью заполнения таблицы

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2-4. Решение и анализ задачи (17 мин)

5. Актуализация базовых знаний. (10 мин)

6. Решение задачи.(12 мин)

7. Домашнее задание. (3 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Вводная задача.

З адача №1. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 8 см, а боковая сторона AD равна 6 см. Найдите DC, DB

Условие задачи должно быть написано на доске. Дать время на самостоятельное решение (5 мин). Для решения задачи можно вызвать к доске сильного ученика, либо решать совместно с классом. Чертеж необходимо выполнить заранее на обратной стороне доски.

а) Что мы можем найти сразу, как? (DB, по теореме Пифагора)

Рассмотрим ΔABD.

ΔABD — прямоугольный, так как BAD = 90° (по условию задачи).

Найдем гипотенузу BD. По теореме Пифагора

б) Как найти DC? (в два этапа, сначала OB, затем DC)

Рассмотрим ΔABD и ΔOAB.

Так как DAB = AOB = 90º и DBA — общий, то ΔABD ~ ΔOAB по двум углам. Тогда по определению подобных треугольников получим , откуда следует,

в) Рассмотрим ΔOBA и ΔODC.

Так как OBA = COD как вертикальные и OAB = OCD как накрест лежащие при параллельных прямых AB, CD и секущей AC, то ΔOBA ~ ΔODC по двум углам. Тогда по определению подобных треугольников получим , откуда следует,

Ответ: DC = 4,5 см, DB = 10 см.

3. Определение метода ключевого треугольника.

Что общего в трех пунктах решения задачи? (Выделяли треугольник (треугольники), решали задачи о треугольниках)

Методом ключевого треугольника называется метод решения планиметрических задач, состоящий из следующих основных шагов:

- формулировка по условию данной задачи вспомогательных подзадач о треугольниках;

- решение подзадач о треугольниках;

- использование их результатов для решения данной задачи.

4. Анализ решенной задачи с точки зрения определения метода ключевого треугольника.

5. Актуализация базовых знаний.

Какие теоремы использовались при решении задачи? (Теорема Пифагора, подобие треугольников по двум углам)

Заполнение таблицы «Виды треугольников, их признаки и свойства» в тетрадях. Заполнить всем классом строку «Подобные треугольники». В качестве домашнего задания заполнение строк «Равные треугольники», «Прямоугольные треугольники». Таблица приведена в приложении А.

6 . Решение задачи.

Основания трапеции равны 17 и 9. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение:

Рассмотрим ∆OCD и ∆OAB. Так как DOC = BOA как вертикальные и OAB = OCD как накрест лежащие при параллельных прямых AB, CD и секущей AC, то ∆OCD ~ ∆OAB по двум углам. Тогда по определению подобных треугольников получаем .

Получаем , , , .

Рассмотрим ∆OKL и ∆OAB. Так как AOB — общий и , то ∆OKL ~ ∆OAB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Получаем

Ответ: 4.

II способ (план).

Провести среднюю линию трапеции MN, . Доказать, что точки K и L принадлежат MN.

Рассмотреть ∆ACD, доказать, что KM — средняя линия, . Рассмотреть ∆BCD, доказать, что NL — средняя линия, .

Получается, .

Ответ: 4.

7. Домашнее задание.

а) Заполнение таблицы.

Решете задачи с выделением вспомогательных подзадач на треугольники.

б) Высота ромба делит его сторону на отрезки 6 и 2. Найдите диагонали ромба.

в) Основания трапеции равны 10 и 20, боковые стороны равны 6 и 8. Найдите угол, под которым пересекаются при продолжении боковые стороны трапеции.

Занятие №2. Закрепление основ метода ключевого треугольника.

Цель: Проверить усвоение основ метода ключевого треугольника.

Задачи: 1. Отработать умение выделять ключевые треугольники при решении задач

2. Проверка умения работать в команде.

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (заполнения таблицы), собрать тетради для проверки решенных задач. (4 мин)

3. Повторение теории прошлого занятия (5 мин)

4. Самостоятельное решение задач в группе. (30 мин)

5. Домашнее задание. (3 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания (заполнение таблицы). На дом заполнение строк таблицы «Равнобедренный треугольник», «Равносторонний треугольник», «Произвольный треугольник».

3. Попросить дать определение метода ключевого треугольника.

Уточнение определения метода ключевого треугольника

Метод ключевого треугольника в задачах на нахождение (вычисление) величины состоит из следующих шагов:

1) выделение треугольника или цепочки треугольников с общими элементами, которые связывают данные и искомые величины;

2) нахождение искомой величины и промежуточных величин, как элементов треугольника по его известным элементам.

4. Решения задач. Разбить учащихся на группы по четыре человека для совместного решения задач. За урок группа должна сдать оформленными желательно все задачи (каждый в группе должен оформить не менее одной задачи, желательно – две). Оставшиеся задачи индивидуально на дом. Разбор задач на следующем уроке.

А) В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. Найти AD, если известно, что ABD = ACD = 45°, BC = 1.

Б) Смежные стороны параллелограмма равны 12 и 4, а один из его углов равен 30°. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

В) Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60°. Найдите диагонали трапеции, если AD = 10, BC = 3, CD = 4.

Г) В ромбе ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD соответственно. Найдите косинус MAN, если BAD = 60°.

Д) В треугольнике ABC угол С равен 60°, а биссектриса угла С равна . Длины сторон AC и BC относятся как 5 : 2 соответственно. Найти длину стороны BC.

Е) Найти углы ромба, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

Ж) Найдите стороны и углы четырехугольника с вершинами в серединах сторон ромба, диагонали которого равны 6 и 10.

З) В трапеции ABCD (AD — большее основание) диагональ AC перпендикулярна стороне CD и делит угол BAD пополам; CAD = 60°; периметр трапеции равен 2. Найдите AD.

Занятие № 3. Работа над ошибками.

Цель: Проверить формирование умения решать задачи методом ключевого треугольника.

Задачи: 1. Выявить сложности учащихся при решении задач.

2. Провести работу над ошибками.

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (заполнения таблицы) (4 минут).

3. Набор задач «для скучающих». (1 мин)

4. Разбор задач (30 мин)

5. Домашнее задание. (2 мин)

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка заполнения таблицы «Виды треугольников, их признаки и свойства».

3. Набор задач для решения в классе и дома.

А) В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Б) Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника перпендикулярны, то его диагонали равны.

В) Биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на втором её основании. Докажите, что второе основание равно сумме боковых сторон.

4. Разбор задач занятия №2.

Приведем решения некоторых задач.

А) Решение:

Рассмотрим треугольник ABO, у него АОВ прямой, АВО = 45°, значит по теореме о сумме углов треугольника ВАО = 45°. По признаку р авнобедренного треугольника (два угла равны), АВО – равнобедренный, значит OA = OB.

Аналогично, COD – равнобедренный, значит OC = OD.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AOD и BOC, они равны по двум катетам (OA = OB и OD = OC). В равных треугольниках соответствующие элементы равны, т. о. AD = BC = 1.

Ответ: AD = 1.

Б) Решение:

A BCD – параллелограмм, AB = CD = 4, AD = BC = 12, BAD = 30°,
ABC = 180° – 30° = 150°.

Рассмотрим ABD, по теореме косинусов получаем:

Рассмотрим треугольник ABC, по теореме косинусов получаем:

Рассмотрим треугольник AOB, AO = , BO = = , по теореме косинусов

Ответ: , ,

В ) Решение:

Рассмотрим треугольник ACD, по теореме косинусов:

С = 180° – D = 180° – 60° = 120° (углы С и D соответственные при параллельных прямых AD и BC и секущей CD).

Рассмотрим треугольник BCD, по теореме косинусов:

Ответ: ,

Г ) Решение.

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке О,

AC пересекает MN в точке K,

сторона ромба равна 1.

AB = BC = CD = DA = 1.

DAC = DCB = 60° (т. к. противоположные углы ромба равны)

ABC + DAB = 180° (как соответственные при параллельных прямых AD и CB и секущей AB)

ABC = 180° – DAB = 120°. Следовательно, и ADC = 120°.

ABD = CBD = ½·ABC = 60° (т. к. диагонали ромба делят углы пополам). Аналогично, ADB = CDB = 60°.

Рассмотрим ΔBCD, у него DBC = BCD = CDB = 60°, следовательно треугольник правильный. DB = 1.

MN – средняя линия треугольника (по условию M и N середины сторон BC и CD). MN = ½·DB = 1/2.

DO = BO, т. к. диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Значит, CO – медиана в правильном треугольнике BCD, а следовательно биссектриса и высота.

CO = (как высота в правильном треугольнике BCD).

Аналогично, AO = (высота в правильном треугольнике ABD).

CK = KC = ½·CO = (CK = KC по теореме Фалеса, угол DCO, MN || DB, CN = ND)

NK = KM = ½·MN = (т. к. медиана в треугольнике делит среднюю линию пополам)

Рассмотрим ΔAKN и ΔAKM, у них AKN = AKM = 90° (высота OC в треугольнике DBC перпендикулярна средней линии MN), NK = KM, OK – общая, значит треугольники равны по двум катетам и AN = AM.

Рассмотрим ΔAMN, у него AM = AN, значит треугольник равнобедренный. AK – высота треугольника AMN, а значит и биссектриса. Получаем, NAK = KAM = ½·MAN. AK = AO +OK = . ,

Ответ:

5. Домашнее задание. Решить задачи пункта 3.

Занятие № 4. Разновидности метода ключевого треугольника: вычислительный метод.

Цель: Вооружить учащихся вычислительным методом (разновидностью метода ключевого треугольника).

Задачи: 1. Познакомить учащихся с вычислительным методом.

2. Отработать применение вычислительного метода при решении задач.

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (7 мин)

3. Немного теории (2 мин)

4. Решение задач на карточках (15 мин)

5. Решение задач. (16 мин)

6. Домашнее задание. (2 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания.

3. Немного теории.

Задачи на установление пропорциональности геометрических величин чаще всего требуют использования одного из следующих методов: вычислительного метода, метода вспомогательных площадей, метода подобных треугольников.

Вычислительный метод предусматривает предварительное вычисление или выражение значения сравниваемых величин через одни и те же величины. Затем находится их отношение. Реализация данного метода требует привлечения метрических теорем о треугольниках.

4. Раздать карточки с шестью задачами. Попросить решить первые три, остальные на дом.

Определите треугольники, которые надо рассмотреть для решения следующих задач на установление пропорциональности вычислительным методом. Подтвердите свое предположение решением.

Подсказки: 1. Рассмотреть треугольники ABM и BCM. Обозначить угол AMB за α. Воспользоваться теоремой синусов.

5. Решение задач.

Вычислительный метод имеет две основные формы: поэтапное нахождение значений величин, нахождение значений величин путем составления и решения системы уравнений.

1) Величина угла А параллелограмма ABCD равна 30°, а меньшая диагональ BD равна 13. Точка Е – точка пересечения диагоналей параллелограмма – удалена от прямой AD на расстояние 11/2. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма, если известно, что AD > AB.

2) В трапеции ABCD AD||BC, BC = 7 см, AC = 13 см, AD = 20 см, BD =  см. Найти ее площадь.

6. Домашнее задание. Все нерешенные на дом.

Занятие № 5. Разновидности метода ключевого треугольника: Метод вспомогательных площадей.

Цель: Вооружить учащихся методом вспомогательных площадей (разновидностью метода ключевого треугольника).

Задачи: 1. Познакомить учащихся с методом вспомогательных площадей.

2. Отработать применение метода вспомогательных площадей при решении задач.

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (7 мин)

3. Немного теории (2 мин)

4. Решение задач на карточках (15 мин)

5. Решение задач. (16 мин)

6. Домашнее задание. (2 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания.

3. Немного теории.

Метод вспомогательных площадей основан на использовании утверждений, которые являются следствиями известных формул вычисления площадей треугольников.

Приведем основные из них:

- если основания и проведенные к ним высоты двух треугольников равны, то треугольники равновелики;

- отношение площадей треугольников, имеющих равные основания (или общее основание), равно отношению их высот;

- отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты (или общую высоту) равно отношению длин их оснований;

- отношение площадей треугольников, имеющих одну пару равных углов (или общий угол) равно произведению отношений длин сторон этих треугольников, лежащих на сторонах равных углов;

- медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

4. Раздать карточки с четырьмя задачами. Попросить решить первые две, остальные на дом.

Определите треугольники, которые надо рассмотреть для решения следующих задач на установление пропорциональности методом вспомогательных площадей. Подтвердите свое предположение решением.

5. Решение задач.

1) Докажите, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

2) Докажите, что если трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

3) В правильном треугольнике выбрана точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника, если длина стороны треугольника равна 1.

6. Домашнее задание. Все нерешенные на дом.

Занятие № 6. Разновидности метода ключевого треугольника: метод подобных треугольников.

Цель: Вооружить учащихся методом подобных треугольников (разновидностью метода ключевого треугольника).

Задачи: 1. Познакомить учащихся с методом подобных треугольников.

2. Отработать применение метода подобных треугольников при решении задач.

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (7 мин)

3. Немного теории (2 мин)

4. Решение задач на карточках (15 мин)

5. Решение задач. (16 мин)

6. Домашнее задание. (2 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания.

3. Немного теории.

Метод подобных треугольников состоит из двух основных шагов: доказательство подобия треугольников, использования свойств пропорциональности длин их соответствующих отрезков и площадей. Использование данного метода требует привлечения знаний определения подобных треугольников и признаков подобия.

Область применения метода подобных треугольников определяется содержанием теорем о свойствах подобных фигур, поэтому позволяет:

1) доказывать равенство углов;

2) находить отношение длин (их сумм и разностей) соответствующих линейных элементов в подобных треугольниках (или доказывать их пропорциональность);

3) устанавливать отношение площадей подобных треугольников.

Частным случаем метода подобия является метод равных треугольников.

4. Раздать карточки с шестью задачами. Попросить решить первые три, остальные на дом.

Назовите треугольники, которые надо рассмотреть для решения следующих задач на установление пропорциональности методом подобных треугольников. Подтвердите свое предположение решением.

5. Решение задач.

1) Найти отношение сторон параллелограмма ABCD, если биссектриса, выходящая из вершины A, отсекает от параллелограмма треугольник, площадь которого вдвое больше площади треугольника, образованного вершиной D и точками пересечения этой биссектрисы с диагональю BD и с продолжением стороны DC параллелограмма.

2) Диагональ АС параллелограмма ABCD делит высоту BE в точке О так, что BO : OE = m : n. Найти площадь четырехугольника BEDC, если площадь параллелограмма ABCD равна S.

6. Домашнее задание. Все нерешенные на дом.

Занятие №7. Решение задач.

Цель: продолжение формирование умения учащихся решать задачи методом ключевого треугольника.

Задачи: 1. Развитие умения пользоваться методом ключевого треугольника при решении задач.

2. Подготовка к контрольной работе.

План:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (7 мин)

3. Решение задач (34 мин)

4. Домашнее задание (1 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания.

3. Выдать задачи на карточках, консультировать по возникающим вопросам.

1) В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке K. Найти площадь треугольника AKD, если AB = 27 см, DC = 18 см, AD = 3 см, BC = см.

2) На высотах ВВ1 и СС1 треугольника АВС взяты точки В2 и С2 так, что АВ2С = АС2В = 90°. Докажите, что АВ2 = АС2.

3) Ромб со стороной a и острым углом α разделен на три равновеликие части двумя лучами, проведенными из вершины одного и того же острого угла. Определить длину отрезков этих лучей, лежащих внутри ромба.

4) Четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Площади трех из них равны 10, 20 и 30. Найдите наименьшую площадь данного четырехугольника.

5) В треугольнике KLM из вершины M проведена высота, которая пересекается с биссектрисой угла K в точке О. Известно, что угол МОК равен 105°. Найти углы треугольника KLM, если разность углов L и М в три раза меньше угла K.

6) Середина одной из диагоналей выпуклого четырехугольника соединена с концами другой. Докажите, что полученная ломаная делит четырехугольник на две равновеликие части.

7) В параллелограмме ABCD точки E и F лежат соответственно на сторонах AB и BC, M – точка пересечения прямых AF и DE, причем AE = 2BE, а BF = 3CF. Найдите отношение AM : MF.

8) Докажите, что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки, принадлежащей основанию, до боковых сторон есть величина постоянная.

4. Домашнее задание. Все нерешенное на дом.

Занятие №8. Итоговая контрольная работа.

Цель: проверка усвоения учащимися метода ключевого треугольника.

Задачи: 1. выставить отметку по итогам изучения метода ключевого треугольника.

2. Выявить ошибки учащихся.

3. Провести анализ ошибок для корректировки дальнейших занятий.

План:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Итоговая контрольная работа (43 мин)

Ход занятия:

1. Организационный момент

2. Задачи итоговой контрольной работы.

1) В равностороннем треугольнике АВС длина высоты h. На стороне АВ взята М, причем АМ : МВ = 1 : 3. На стороне ВС взята точка N, причем BN : NC = 3 : 5. Найти площадь треугольника MBN и четырехугольника AMNC.

2) В трапеции ABCD (AB || CD) AB = 1, CD = 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке F. Найдите отношение суммы площадей треугольников ABF и CDF к сумме площадей треугольников AFD и BFC.

3) Найти площадь треугольника, образованного меньшей стороной прямоугольника, его диагональю и перпендикуляром, опущенным из вершины прямоугольника, содержащей эту сторону на эту диагональ, если известно, что стороны прямоугольника равны 3 и 4.

4) В треугольнике KLM прямая АВ параллельна стороне KM и пересекает стороны LK и LM в точках А и В, причем LA : AK = 2 : 3. Найти площадь четырехугольника KABM, если известно, что площадь треугольника ALB равна a.

 

Заключение

Геометрическое образование – одна из важнейших частей математического образования и образования в целом, без качественного геометрического образования невозможно продолжение обучения большинству технических специальностей. Результаты ОГЭ и ЕГЭ свидетельствуют о существенном падении уровня геометрического образования

Анализ экзаменационных работ показывает, что при решении задач с развернутой записью решения учащиеся делают следующие ошибки:

1) арифметические ошибки;

2) допущенные по невнимательности;

3) неверное составление отношений сторон подобных треугольников;

4) необоснованный вывод о величине сторон и углов по чертежу;

5) неверное применение теорем-свойств прямоугольного треугольника.

Нет универсального метода решения задач. И по условию задачи нельзя сказать, каким методом она решается. Ученик должен быть хорошо знаком с целым рядом различных формул, различных теорем. Ученик вынужден зависимости, которые необходимы ему для решения геометрической задачи, искать не только в самом тексте, но и выбирать эти зависимости из целого ряда теорем, не имеющихся в тексте задачи.

Получается, что у ученика должен быть богатый опыт решения задач, он должен владеть разнообразными методами решения задач. Методом ключевого треугольника (его разновидностями) решается множество задач. Этот метод будет полезным инструментом в «копилке» ученика.

Данная методика рассчитана на применение в рамках подготовительного факультатива во втором полугодии в 9 классе. Знакомит учащихся с методом ключевого треугольника, его разновидностями: вычислительным методом, методом подобных треугольников, методом вспомогательных площадей. Последнее занятие – итоговая контрольная работа, призванная оценить успехи учеников в освоении метода. Основной упор на самостоятельное решение учащимися задач, только так можно научиться решать задачи. Наличие раздаточного материала (карточек) с условиями задач экономит время и помогает учащимся лучше понимать условия задач.

Апробации методики не проводилось, ничего нельзя сказать о её эффективности.

Методика построена на самостоятельном решении учащимися задач в измененной и незнакомой ситуации. Это способствует формированию обобщенных умений решать планиметрические задачи на вычисление. Этой одной методики недостаточно, чтобы полноценно сформировать обобщенное умение решения задач, т. к. обобщенное умение подразумевает владение различными методами решения задач.

План работы над методической темой