Изменения и оценка погрешностей измерений

ИЗМЕРЕНИЯ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

 

1.1 ЧТО ЗНАЧИТ – ИЗМЕРИТЬ ВЕЛИЧИНУ?

От других наук физика отличается тем, что при изучении свойств материи и её изменений вводятся физические величины, которые можно измерять и выражать числами. Для обозначения при письме каждой физической величины используется символ – буква алфавита. Благодаря этому ход явлений и связи явлений выражаются математическими соотношениями (формулами) между введенными величинами. Самые важные соотношения между величинами называются законами природы.

ИЗМЕРИТЬ ФИЗИЧЕСКУЮ ВЕЛИЧИНУ – это значит с использованием технических средств (средств измерения) найти опытным путем значение физической величины, а также степень её приближения к истинному значению, которое в принципе неизвестно.

Для измерения физической величины необходимо ввести единицу величины и определить способ, при помощи которого можно сравнивать численные значения данной физической величины у разных тел или в различных процессах.

1.2. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Общепринятой в настоящее время является Международная система единиц (СИ). Она строится на семи основных единицах:

- единица длины – метр.

- единица массы – килограмм.

- единица времени – секунда.

- единица силы электрического тока – Ампер.

- единица температуры – Кельвин.

- единица силы света – кандела.

- единица количества вещества – моль.

Для обеспечения единства физических измерений созданы международные эталоны каждой из основных единиц СИ.

ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это произведение отвлеченного числа на принятую для данной физической величины единицу измерения.

ПРИМЕР. Масса тела 5 кг.

Физический смысл данного выражения можно раскрыть двояко.

а) Это означает следующее:

- «5 кг» – это значение массы тела.

- «5» – отвлеченное число, показывающее, во сколько раз масса данного тела больше массы эталона, у которого масса тела 1 кг

б) Иначе:

- «5» - числовое значение физической величины.

- «кг» - единица массы.

2. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

2.1. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Истинное значение измеряемой величины определить невозможно прежде всего потому, что ограничено воспроизведение эталона единицы физической величины, т.е. сам эталон не абсолютен. Например, точность изготовления эталона массы составляет 2 · 10 – 9 кг. Скорость света, являющаяся основой для создания эталонов метра и секунды, также измерена с некоторой погрешностью. По последним данным, истинное значение скорости находится с точностью: С = (299 792 458 ± 1, 2) м /с.

Истинное значение измеряемой величины неизвестно и не может быть найдено в конкретном сколь угодно точном эксперименте.

Нельзя определить и абсолютную погрешность измерения в виде алгебраической разности:

∆ абсолют. Х = Х изм. – Х где Х – истинное значение,

Х изм. – результат измерения.

Физическая величина измеряется в единицах физической величины, записывается с наименованием.

2.2. ГРАНИЦА АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

В каждом измерении, в принципе, возможно определить так называемую границу абсолютной погрешности. Если при выполнении опыта его результат получен Х изм., то можно представить его графически в виде интервала (рис.1).

Рис. 1

Соответствующая запись такова:

Х изм - ∆ Х < Х изм < Х изм - ∆ Х

Х = Х изм ± ∆ Х

 

Граница абсолютной погрешности – это половина 

длины интервала 2 ∆Х, достоверно содержащего

истинное значение измеряемой величины.

Граница абсолютной погрешности всегда положительное число.

Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует измерение.

ПРИМЕР. Измерили размеры крышки стола, получили:

- длина крышки (100 ± 1) см

- толщина крышки (2 ± 1) см

Граница абсолютной погрешности измерения в этих двух случаях одинакова (1 см), но интуитивно угадываем, что в первом случае качество измерения выше.

Качество измерения характеризуется понятием границы относительной погрешности.

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Выражается числом без наименования или в процентах:

                                                ∆ Х                      ∆Х

ξ = ------- или ξ = ------- · 100 %

                                              Х изм               Х изм

 

2.3. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ.

Способ определения значения измеряемой физической величины и граница абсолютной погрешности зависят от вида измерений. Измерения могут быть прямыми, косвенными и совместными.

Измерения, в которых результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора, называются прямыми.

Измерения, в которых результат определяется на основе расчетов, называют косвенными.

Измерения двух или нескольких неодноимённых величин, производимые одновременно с целью нахождения функциональной зависимости между ними, называют совместными.

2.4. МЕРЫ.

Кроме измерительных приборов, используют так называемые меры.

Мера – это тело или устройство, служащее для воспроизведения одного или нескольких известных значений данной величины.

Меры бывают однозначные и многозначные.

К однозначным мерам относятся гири и наборы гирь, наборы грузов по механике, наборы сопротивлений наборы конденсаторов.

К многозначным мерам относятся линейки, измерительные цилиндры, мензурки, амперметры, вольтметры.

Номинальное значение меры – значение данной физической величины, обозначенное на мере или её футляре (от латинского «nominalis» – именной). Например, на каждой гире обозначено её номинальное значение в килограммах, граммах или миллиграммах.

3. ТРЕБОВАНИЯ К ЗАПИСЯМ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИЗМЕРЕНИЙ.

Процесс измерения сопровождается вычислениями. Правильная организация вычислений связана с учетом абсолютных и относительных погрешностей. Принципиальная особенность вычислений состоит в том, что приходится работать с приближенными числами.

3.1. ВЕРНАЯ ЦИФРА.

В физике пользуются понятием «верная цифра» в узком смысле: цифра п-го разряда называется верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы этого разряда.

ПРИМЕР. Если по таблице плотностей для газа азота плотность равна 1,25 кг/м 3, то цифра 5 в разряде сотых верная. Следовательно, граница погрешности числа 1,25 равна 0,005 кг/м 3. Также построена подпрограмма по округлению чисел микрокалькулятора.

3.2. ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА.

Значащими цифрами называются все верные цифры в записи числа, кроме нулей, стоящих перед первой, отличной от нуля, цифрой.

ПРИМЕР. В числе 0, 00060 = 6,0 · 10 – 4     две значащие цифры.

Число значащих цифр и десятичных знаков связано с относительными и абсолютными погрешностями. Число десятичных знаков определяет абсолютную погрешность приближенного числа. Количество значащих цифр определяет относительную погрешность числа.

ПРИМЕР. Число Х = 25,6 записано верными цифрами. Это значит, что

Х = 25,60 ± 0,05.

                                                                         0,05

Следовательно, относительная погрешность ξ х = ----------

                                                                         25,60

Относительная погрешность не зависит от положения запятой.

 

3.3. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Результат измерений и расчетов не должен записываться с бόльшим числом десятичных знаков, чем их имеется в абсолютной погрешности.

ПРИМЕР. При вычислении скорости тела, брошенного под углом к горизонту, получили с помощью микрокалькулятора результат 0,560325035 м/с. Это означает, что скорость измерена с погрешностью 0,0000000005 м/с = 5 · 10 – 10 м/с и это абсурдно, т.к. реальная погрешность значительно выше. Чтобы не делать таких ошибок, при округлении числа цифры в разрядах за верными цифрами отбрасываются, т.к. они не являются верными.

В приведенном примере результат нужно записать (0,56 ± 0,**) м/с.

 

3.4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ГРАНИЦЫ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

Чаще всего погрешность записывается с одной значащей цифрой. Первая слева цифра погрешности определяет сомнительную цифру результата. Вторая цифра погрешности обычно не вносит существенных изменений в результат.

При записи приближенного значения достаточно одной значащей цифры в погрешности, т.к. число записывается не более чем с одной сомнительной цифрой.

ПРИМЕР № 1. Было получено число (27,47 ± 0,18) м. Округляем погрешность до одной значащей цифры (∆ = 0,2 м), округляем приближенное значение до десятых и записываем результат следующим образом: (27,5 ± 0,2) м.

ПРИМЕР № 2. Вместо записи (5391 ± 28) м при округлении погрешности до одной значащей цифры с избытком получим (5391 ± 30) м. Это означает, что цифра десятков в числе 5391 сомнительна, а цифра единиц неверна. Правильная запись результата такова (5390 ± 30) м.

ПРИМЕР № 3. При записи (5398 ± 30) м верной будет запись (5400 ± 30) м.

ПРИМЕР №4. Можно отступить от основного правила округления погрешности с избытком до одной значащей цифры, если вторая цифра 5, её можно оставить и записать результат (73,48 ± 0.25) м.

Особое внимание следует обращать на использование нуля в качестве значащей цифры.

ПРИМЕР № 1. Запись (2,4 ± 0,08) м нарушает правило об одинаковом числе знаков в числе и его погрешности. Правильная запись такова (2,40 ± 0,08) м.

ПРИМЕР № 2. При измерении длины отрезка получен результат (72 ± 0,5) см. Если результат записать так 720 мм, то в числе 720 нуль значащий, а абсолютная погрешность равна 0,5 мм, тогда как в действительности погрешность измерения длины отрезка равна 0,5 см, т.е. в 10 раз больше. Таким образом, нуль в числе 720 не является значащим. Именно поэтому необходимо пользоваться стандартной формой записи числа с наименованием в системе СИ: 7,2 · 10 – 1 м.

При сложении приближенных значений границы абсолютных погрешностей складываются арифметически.

ПРИМЕР. По формуле Ф = а + в + с + … запишем: ∆Ф = ∆а + ∆в + ∆с + …

При арифметическом сложении погрешностей можно пренебречь малыми слагаемыми, которые не превышают (1/3 ÷ 1/4) от максимальных. Это правило называют правилом ничтожных погрешностей и его учет значительно упрощает вычислительную работу при оценке погрешностей.