Багаева Анна Мухаровна

Конспект и анализ урока в 11 классе на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Материал опубликован 4 November 2022

Пояснительная записка к презентации

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В 11 «А» КЛАССЕ

Учитель: Багаева Анна Мухаровна

ТЕМА: «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Урок проводится с целью изучения и первичного закрепления материала по теме “ Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке”, как одной из основных тем по исследованию функций. Это первый урок из четырёх по теме “Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин” и рассчитан на 1 час учебного времени. По ходу урока акцент делается на изучение и отработку как общих методов решения задач (по известному алгоритму), так и перевод задачи на другой язык (использование свойств функций).

Тип урока: урок изучения нового материала с использованием ИКТ.

Методы урока: репродуктивный, частично-поисковый.

Внутрипредметные связи: с темами: «Свойства непрерывных функций», «Исследование функции с помощью производной».

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков.

Виды контроля знаний и умений: предварительный, текущий, тематический.

Оборудование и материалы для урока: ПК, проектор, доска, презентация для сопровождения урока, карточки.

Цель: познакомить учащихся с приемами нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

Задачи.

Образовательная - повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарная и критическая точка; вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, формировать умения решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Развивающая – развивать познавательный интерес обучающихся, умение исследовать, выделять главное, сравнивать, анализировать, делать выводы.

Воспитательная – воспитывать умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят ученики в ходе урока:

- овладение практическими умениями и навыками по теме “Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке”

- умение устанавливать причинно-следственные связи, выделять главное, обобщать, систематизировать;

- формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом;

- формирование навыков самоконтроля.

Структура урока.

Орг. момент.(1-2 мин)

Актуализация знаний ( 5-6 мин)

Мотивационно-целевой этап.(5-6 мин)

Изучение нового материала. Первичное осмысление (7-8 мин).

Закрепление изученного материала.( 15-17 мин)

Рефлексия. Определение домашнего задания (5 мин)

Ход урока

« В мире не происходит ничего,

в чем бы ни был виден смысл

какого-нибудь максимума или минимума!»

Леонард Эйлер

1. Орг. момент.

Приветствие. Эпиграф к уроку (слайд 1).

2. Актуализация знаний.

Устная работа (слайды 2-6). Повторение материала, изученного на предыдущих уроках. Фронтальная работа. Учитель обращает внимание обучающихся на существенное различие понятий максимума (минимума) функций и наибольшего (наименьшего) значений.

3. Мотивация.

С некоторыми из таких задач мы познакомимся на следующих уроках. Чтоб успешно решать такие задачи необходимо уметь находить наибольшее и наименьшее значения заданных функций на заданном промежутке.

Постановка обучающимися темы и целей урока (слайды 7-10 ).

4. Изучение нового материала.

Давайте рассмотрим различные варианты поведения непрерывной на отрезке функции, и попытаемся определить, в каких точках она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Обсуждение в группах по предложенному плану. Обмен мнениями. Фиксация выводов.

План обсуждения слайдов.

Что можно сказать о монотонности функции на отрезке [a;b]?

В какой точке функция достигает своего наибольшего значения?

В какой точке функция достигает своего наименьшего значения?

Чем можно сказать о данных точках отрезка [a;b]?

Какой вывод можно сделать?

А) Функция возрастает (убывает) на отрезке.

(слайд 11 )

Б) Функция имеет на отрезке [a;b] единственную точку экстремума.

(слайд 12)

В) Функция имеет несколько точек экстремума на отрезке [a;b].

( слайд 13)

Г) Анализ всех рассмотренных случаев, установление закономерности нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Беседа по слайду:

Где функция может достигать своего наибольшего (наименьшего) значения на отрезке?

Какой общий подход к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно применить?

(слайд 14)

Выводы:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

3. Если на отрезке [а; b] функция имеет несколько критических точек, то своего наибольшего (наименьшего) значения она достигает либо на концах этого отрезка, либо в критических точках, лежащих на данном отрезке.

3) Составление алгоритма.

(слайды 15-16 )

5. Закрепление изученного материала.

А) Решение упражнения. Ученики у доски с комментированием.

Подведение мини-итога, повторение алгоритма.

Проверка через мультимедийный проектор. (слайды 17-19.)

Б) Применение алгоритма нахождения наибольшего наименьшего значения функции при решении задач ЕГЭ ( 12 задания из профильной математики)

Вводное слово учителя: Сегодня мы уже говорили о большой практической значимости данной темы. Традиционно задачи, связанные с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке включаются в ЕГЭ. Давайте попробуем применить полученные знания при решении задач .

З адача 1. Найти наибольшее значение функции:

на отрезке [3; 10].

З адача 2. Найти наибольшее значение функции:

Задача 3. Найти наименьшее значение функции:

Задача 4. Найти наибольшее значение функции:

Проверка через мультимедийный проектор. (слайды 20-23).

В) Математическое моделирование.

( слайды 23-28)

Задача 1. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.

Задача 2. Кусок проволоки 48 метров сгибают так, чтобы получился прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Находим значения функции при х=0 х=12 и х=48 ( на концах промежутка 0,48) f(0)=0 f(12)=144 f(48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

Рефлексия. Определение домашнего задания.

(слайды 29-30)

Учитель предлагает учащимся обсудить урок и свою деятельность при постановке учебной задачи, планировании, изучении нового материала, обращая внимания на следующие моменты:

1.Каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились?

2.Способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока?

3.Какие чувства испытывали во время урока?

4.Пережили ли вы чувство радости, успеха?

5.С каким настроением вы уходите с урока?

Дома предлагается выполнить задания:

Уровень «А»: № 938 , № 940

Уровень «В»: № 944

Уровень «С»: № 947

Анализ урока математики в 11 «А» классе в соответствии с ФГОС

Ф. И. О. учителя - Багаева А.М.

Дата посещения урока 09.11.2021.

Предмет – алгебра и начала анализа

Класс 11 А

Тема урока «Наименьшее и наибольшее значение функции».

Тип урока: урок изучения нового материала с использованием ИКТ.

Методы урока: репродуктивный, частично-поисковый.

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков.

Виды контроля знаний и умений: предварительный, текущий, тематический.

Оборудование и материалы для урока: ПК, проектор, доска, презентация для сопровождения урока, карточки

Цель: познакомить учащихся с приемами нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке

Все этапы урока были направлены на то, чтобы повысить мотивацию

обучения. Структура урока соответствовала его целям и содержанию.

При проведении организационного момента визуально проверена подготовка класса и каждого обучающегося к уроку.

Проверка домашнего задания и устная работа способствовала актуализации знаний, связи данной темы с ранее изученным материалом и развитию математической речи. Применён фронтальный метод работы со всем классом, так как все обучающиеся страдают недостаточно развитой математической речью.

На уроке использовалась и устная работа, и работа на доске, и самостоятельная работа в тетрадях.

В ходе урока применялась как индивидуальная работа с обучающимися, так и коллективная. Использование различных видов работы в течение урока поддерживает внимание обучающихся на высоком уровне, что позволяет говорить об эффективности урока. Такие уроки снимают утомляемость, перенапряжение обучающихся за счёт переключения на разнообразные виды деятельности.

Объём изученного материала соответствовал программе и уровню знаний

обучающихся. Задачи, которые они решали на уроке, были различны по содержанию.

На протяжении всего урока обучающиеся активно работали и показали хорошие знания по изученной теме. Самостоятельная индивидуальная деятельность каждого обучающегося поощрялась получением оценок, что в свою очередь стимулировало их работу на протяжении всего урока и показывало на уровень усвоения ЗУН.

Использование такой формы проведения урока стимулировало восприятие учебного материала, усилило интерес, позволило сделать математику более доступной и увлекательной, привлечь интерес всех обучающихся, привлечь их к деятельности, в процессе которой приобретаются необходимые знания, умения и навыки, способствовало возникновению положительных эмоций.

Этап подведения итогов урока включал в себя оценку деятельности обучающихся на уроке. Исходя из открытости требований, они смогли объективно оценить свою работу.

Последний этап имел задачу нацелить на осознанное выполнение домашнего задания.

Цель урока была достигнута, план реализован, расчётное время этапов урока совпало с реальным.

Директор школы ----------------- Медоев А.М.

Предварительный просмотр презентации

Урок в 11 А классе 09.11.2021 Учитель : Багаева А.М.

« В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;3]. График её производной изображен на рисунке. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x).

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите точки максимума и минимума функции f(x).

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите сколько существует точек на графике функции f(х) , касательные в которых параллельны прямой y = 5 – 2x.

у х 0 -7 6 5 4 2 -5 у наиб. = 4 [-5; 6] у наиб. = 5 [-7; 6] 1 1

у х 0 -7 6 у наим. =- 3 [-7; 4] у наим. = -4 [-7; 6] -3 -2 4 -4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции по её графику

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

° ВЫВЕСТИ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. ° РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. Цели урока:

Если функция f(x) возрастает (убывает) на [a;b], то наибольшего или наименьшего значения она достигает на концах этого отрезка.

Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение fmax = fнаиб. fmin = fнаим.

Наибольшего (наименьшего) значения непрерывная на [а; b] функция достигает либо на концах отрезка, либо в критических точках, лежащих на этом отрезке.

Проанализируйте все рассмотренные случаи. В каких точках функция достигает наибольшего (наименьшего) значений?

Выводы 1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a;b] 1. Найти производную f´(х) 2. Найти критические точки функции, лежащие внутри oтрезка [a;b] 3. Вычислить значение функции у= f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b. Выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет унаим )и наибольшее (это будет унаиб )

Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y(4) = 43– 27 4 = – 44 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х - 5 4 3) y(0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y\ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

x = –1 [-2; 0] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y(0) = 4 y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2 2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1) x = 1 [-2; 0] y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 -1 Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0] 2.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3; 10 ] 3. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 7 [ 3; 10]   / / / uv v u uv   1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5. 2). Второе число – отрицательноe. 3). Значит, наибольшее число 1. 7 1

– + x y\ y -5 -4 – + Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0] 3 х 1 0 х 2 0 4. -4,5 0 max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x y = 5ln(x+5) – 5x 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. x = -4 [-4,5; 0] 0 Можно рассуждать иначе Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0. Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке 5. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

3 х 1 0 х 5 Найдите наибольшее значение функции y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке 6. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos2x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. -1 0

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию. ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Из всех прямоугольников с площадью 9м2,найти прямоугольник, периметр которого наименьший. 1.S= a*b = 9 (м2) Р=( a+b)*2 (м) х - ширина прямоугольника 9./х – длина прямоугольника Р= ( х+9/х) * 2 2. 3. Рассмотрим функцию у=( х+9/х) * 2 х>0

Найдем наименьшее значение по известному алгоритму Ответ: шит имеет форму квадрата со стороной 3м

Задача 2 Задача 2 . Кусок проволоки 48 метров сгибают так, чтобы получился прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+в) а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х2)1=24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+в) а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х2)1=24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка Находим значения функции при х=0 х=12 и х=48 ( на концах промежутка 0,48) f(0)=0 f(12)=144 f(48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

Рефлексия. 1.Каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились? 2.Способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока 3.Какие чувства испытывали во время урока? 4.Пережили ли вы чувство радости, успеха? 5.С каким настроением вы уходите с урока?

Домашнее задание Уровень «А»: № 938 , № 940 Уровень «В»: № 944 Уровень «С»: № 947

Скачать оригинальную публикацию

в формате Microsoft Word (.doc / .docx)

Скачать оригинальную презентацию

в формате MS Powerpoint (.ppt / .pptx)

Теги публикации

Комментарии

Комментариев пока нет.