Конспект и анализ урока в 11 классе на тему «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Урок в 11 А классе 09.11.2021 Учитель : Багаева А.М.

« В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;3]. График её производной изображен на рисунке. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x).

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите точки максимума и минимума функции f(x).

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите сколько существует точек на графике функции f(х) , касательные в которых параллельны прямой y = 5 – 2x.

у х 0 -7 6 5 4 2 -5 у наиб. = 4 [-5; 6] у наиб. = 5 [-7; 6] 1 1

у х 0 -7 6 у наим. =- 3 [-7; 4] у наим. = -4 [-7; 6] -3 -2 4 -4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции по её графику

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

° ВЫВЕСТИ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. ° РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. Цели урока:

Если функция f(x) возрастает (убывает) на [a;b], то наибольшего или наименьшего значения она достигает на концах этого отрезка.

Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение fmax = fнаиб. fmin = fнаим.

Наибольшего (наименьшего) значения непрерывная на [а; b] функция достигает либо на концах отрезка, либо в критических точках, лежащих на этом отрезке.

Проанализируйте все рассмотренные случаи. В каких точках функция достигает наибольшего (наименьшего) значений?

Выводы 1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a;b] 1. Найти производную f´(х) 2. Найти критические точки функции, лежащие внутри oтрезка [a;b] 3. Вычислить значение функции у= f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b. Выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет унаим )и наибольшее (это будет унаиб )

Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y(4) = 43– 27 4 = – 44 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х - 5 4 3) y(0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y\ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

x = –1 [-2; 0] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y(0) = 4 y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2 2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1) x = 1 [-2; 0] y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 -1 Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0] 2.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3; 10 ] 3. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 7 [ 3; 10]   / / / uv v u uv   1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5. 2). Второе число – отрицательноe. 3). Значит, наибольшее число 1. 7 1

– + x y\ y -5 -4 – + Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0] 3 х 1 0 х 2 0 4. -4,5 0 max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x y = 5ln(x+5) – 5x 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. x = -4 [-4,5; 0] 0 Можно рассуждать иначе Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0. Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке 5. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

3 х 1 0 х 5 Найдите наибольшее значение функции y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке 6. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos2x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. -1 0

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию. ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Из всех прямоугольников с площадью 9м2,найти прямоугольник, периметр которого наименьший. 1.S= a*b = 9 (м2) Р=( a+b)*2 (м) х - ширина прямоугольника 9./х – длина прямоугольника Р= ( х+9/х) * 2 2. 3. Рассмотрим функцию у=( х+9/х) * 2 х>0

Найдем наименьшее значение по известному алгоритму Ответ: шит имеет форму квадрата со стороной 3м

Задача 2 Задача 2 . Кусок проволоки 48 метров сгибают так, чтобы получился прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+в) а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х2)1=24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+в) а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х2)1=24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка Находим значения функции при х=0 х=12 и х=48 ( на концах промежутка 0,48) f(0)=0 f(12)=144 f(48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

Рефлексия. 1.Каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились? 2.Способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока 3.Какие чувства испытывали во время урока? 4.Пережили ли вы чувство радости, успеха? 5.С каким настроением вы уходите с урока?  

Домашнее задание Уровень «А»: № 938 , № 940 Уровень «В»: № 944 Уровень «С»: № 947