Конспект по теме "Уравнение плоскости"

Метод координат. Уравнение плоскости.

Нормальный вектор плоскости – любой ненулевой вектор, который лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Существует бесконечное количество нормальных векторов данной плоскости. Если – нормальный вектор плоскости, то вектор (t≠0) – также нормальный вектор этой плоскости.

Каждый из векторов считается нормальным вектором соответственно плоскости Oyz, Oxy, Oxz.

Для определения координат нормального вектора достаточно знать уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D =0 (где числа A, B, C одновременно не равны нулю) =>

Пример: Определить координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости

x + 2z – 7 = 0.

Решение: x + 2z – 7 = 0 => 1∙x + 0∙y + 2∙z – 7 = 0 =>

P.S. Нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Уравнение плоскости.

P.S. Определитель (или детерминант) – запись чисел в виде квадратной таблицы, составленной по определённому правилу.

I. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора и

Пример: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(–1;2;–3) и два неколлинеарных вектора и

=> 3(x+1) + 28(z+3) – 10(y-2) – (-15(z+3) + 4(y-2) + 14(x+1)) = 0

3x + 3 + 28z + 84 – 10y + 20 + 15z + 45 – 4y + 8 – 14x – 14 = 0

–11x – 14y + 43z + 146 = 0 => 11x + 14y – 43z – 146 = 0.

II. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M0(x0, y0, z0),

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой.

1 способ: Если точка, лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, т.е. подставляем координаты каждой точки в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и решаем систему из трёх уравнений.

Пример: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 1).

=> => =>

Таким образом, уравнение искомой плоскости примет вид:

–Dx – Dy + Dz + D = 0 │: (–D) => x + y – z – 1 = 0.

2 способ:

(т.е., по сути, 2-ой и 3-ий столбцы – это координаты неколлинеарных векторов и )

Пример: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 1).

=> => (–x + 0 + 0) – (–z + (y – 1)) = 0 =>

– x + z – y + 1 = 0 => x + y – z – 1 = 0

III. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0, y0, z0), перпендикулярно вектору нормали

Т.к. координаты вектора нормали – это коэффициенты A, B, C уравнения плоскости, то, подставляя координаты точки M и координаты вектора нормали, получим:

Пример: Составить уравнение плоскости по точке M0(4; -2; 3) и вектору нормали

IV. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0, y0, z0), параллельно плоскости A1x + B1y + C1z + D1 =0.

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали, поэтому искомое уравнение плоскости будет отличаться от данного только свободным коэффициентом, который можно найти, подставляя координаты точки M в уравнение A1x + B1y + C1z + D = 0.