Конспект занятие по теории вероятностей «Основные теоремы теории вероятностей»

Лекция

Тема: «Основные теоремы теории вероятностей»

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность полной группы событий

Вероятность противоположных событий

Условная вероятность

Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей для независимых событий 

Вероятность появления хотя бы одного события в n испытаниях

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении события A или события B, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведено два выстрела и A - попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события A и B – несовместны, то A+B - событие, состоящее в появлении одного из этих событий безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий.

Пусть события A и B несовместны, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей.

Теорема. (Теорема сложения вероятностей несовместных событий)

Вероятность появления одного из несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 1. В урне 10 синих, 5 красных, 5 зеленых и 10 белых шаров. Найти вероятность появления синего, красного или зеленого шара.

Решение. Всего в урне 10+5+5+10=30 шаров.

Событие A - появление синего шара.

Вероятность события A:

Событие B - появление красного шара.

Вероятность события B:

Событие C - появление зеленого шара.

Вероятность события C:

События A, B, C попарно несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого шара), поэтому можно применить следствие из теоремы сложения вероятностей.

Искомая вероятность равна: .

Ответ: вероятность появления синего, красного или зеленого шара равна .

Вероятность полной группы событий

Теорема. Сумма вероятностей событий образующих полную группу, равна единице:

Пример 2. Экзаменационный пункт техникума получает пакеты с заданиями из городов A, B и C. Вероятность получения пакета из города A - 0,3, из города B – 0,5. Какова вероятность, что очередной пакет будет получен из города C?

Решение. События «пакет получен из города A», «пакет получен из города B», «пакет получен из города C» образуют полную группу событий, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: , отсюда искомая вероятность равна:.

Ответ: вероятность того, что очередной пакет будет получен из города C, равна 0,2.

Вероятность противоположных событий

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A,

то другое принято обозначать через .

Пример 3. Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если событие A – попадание по цели, то событие - промах.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q.

Таким образом, в силу предыдущей теоремы: .

Пример 4. Вероятность, что день будет ясным, Найти вероятность того, что день будет дождливым.

Решение. События «день ясный» и «день дождливый» - противоположные, поэтому искомая вероятность равна:

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события A часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле:

Пример 5. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» - противоположные.

Обозначим первое событие через , а второе – через .

Очевидно,

Найдем .

Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно .

Число нестандартных деталей равно ; из этого числа деталей можно способами извлечь нестандартных деталей.

Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна:

Искомая вероятность равна:

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Если требуется найти вероятность события B при условии, что произошло некоторое другое событие A, то такую ситуацию характеризуют с помощью условной вероятности . Условная вероятность равна отношению вероятности произведения событий A и B к вероятности события A:

В тех случаях, когда события A  и  B несовместны,  и соответственно.

Теорема умножения вероятностей

Определение условной вероятности в виде дает возможность записать следующую формулу для вычисления вероятности произведения зависимых событий (теорема умножения вероятностей):

.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

.

 Поскольку вероятность события А или B для независимых событий по определению не изменяется при появлении другого события, то условная вероятность совпадает с вероятностью события А, а условная вероятность  - с  Вероятности  и в отличие от условных вероятностей называются безусловными:, .                                              

Теорема умножения вероятностей для независимых событий 

Пусть вероятность события B не зависит от появления события A.

Событие B называют независимым от события A, если появление события B, т.е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:

.

Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A:

.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:

.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события , , попарно независимы, если независимы события и , и и .

Несколько событий называют независимыми (или просто независимы), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события независимы в совокупности, то независимы события и

Следствие из теоремы умножения для n независимых событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 6. Имеется 3 коробки, содержащие по 10 разных микросхем. В первой коробке 8, во второй 7 и в третьей 9 стандартных микросхем. Из каждой коробки наудачу вынимают по одной микросхеме. Найти вероятность того, что все три вынутые микросхемы окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первой коробки вынута стандартная микросхема (событие A):

Вероятность того, что из второй коробки вынута стандартная микросхема (событие B):

Вероятность того, что из третьей коробки вынута стандартная микросхема (событие С):

Так как события A, B и C независимы в совокупности, то искомая вероятность по теореме умножения равна:

Ответ: - вероятность того, что все три вынутые микросхемы окажутся стандартными.

Вероятность появления хотя бы одного события в испытаниях

Вычислим вероятность появления хотя бы одного события в испытаниях.

Пусть  – появление в  испытаниях хотя бы один раз интересующего нас события,

  - интересующее нас событие не появлялось в  испытаниях ни разу,

 - интересующее нас событие появилось в первом испытании,

- интересующее нас событие появилось во втором испытании,

…

 - интересующее нас событие появилось в  - ом испытании.

Тогда вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Пример 7. Вероятности того, студент К. сдаст экзамен по математике на «отлично», равна 0,9; студент Н. сдаст экзамен по математике на «отлично», равна 0,8; студент П. сдаст экзамен по математике на «отлично», равна 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один студент сдаст экзамен по математике на «отлично» (событие A).

Решение. Вероятность сдачи одним студентом экзамена на «отлично» не зависит от результатов сдачи экзамена другими студентами, поэтому события:

- студент К. сдаст экзамен по математике на «отлично»,

- студент Н. сдаст экзамен по математике на «отлично»,

- студент П. сдаст экзамен по математике на «отлично»- независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям , соответственно равны:

Искомая вероятность равна:

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 8. Событие - появление четырех очков при бросании игральной кости; - появление четного числа очков. События и - совместные.

Теорема. (Теорема сложения вероятностей совместных событий)

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без совместного их появления:

Пример 9. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним орудием.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события A (попадание из первого орудия) и B – попадание из второго орудия независимы.

Вероятность события AB (оба орудия дали попадание):

Искомая вероятность равна:

Ответ:- вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним орудием.