Конспект урока по геометрии для 8 класса «Практическое применение теоремы Пифагора»

Методическая разработка

конспект урока по геометрии для 8 класса

Автор: учитель математики Миронова Лариса Алексеевна,

МОУ «Лицей № 2 Краснооктябрьского района Волгограда»

Тема урока: «Практическое применение теоремы Пифагора»

Тип урока: урок обобщения и закрепления полученных знаний.

Цель урока: совершенствовать умение применять теорему Пифагора при решении прикладных задач; показать учащимся на примерах ее практическое применение в повседневной жизни.

Задачи:

Образовательная: закрепить формулировку теоремы Пифагора, выработать умение применять теорему для решения практических задач;

Развивающая: развивать математическое мышление и логическую речь учащихся, мотивацию к самосовершенствованию;

Воспитательная: формировать навыки самоконтроля; воспитывать чувство ответственности за качество и результативность выполняемой работы, воспитывать познавательную активность.

Оборудование: компьютер, презентация MS Office PowerPoint, видеопроектор, набор прямоугольных треугольников, карточки-задания для групп.

Литература:

Л.С. Атанасян. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.].- 6-е изд.-М.: Просвещение, 2016.-383 с.: ил.

Э.Н. Балаян. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7-9 классы/Э. Н. Балаян.-Изд. 4-е.-Ростов н/Д:Феникс, 2017б-223 с.:ил.-(Большая перемена). .

Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. М. Просвещение, 1982. - 240с

Интернет-рессурсы.

Ход урока

Организационный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку.

«…Геометрия владеет двумя сокровищами: Одно из них - это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота» Иоганн Кеплер.

Актуализация опорных знаний

Составь Пифагоровы тройки из чисел

Ответ: (a; b; c), (3; 4; 5), (5; 12; 13), (6; 8; 10), (7; 24; 25), (8; 15; 17).

Фронтальная работа. Закончите предложение:

Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются…

Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется…

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы…

Сформулированное выше предложение носит название…

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник…

Формирование новых знаний:

Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. В ней говорится, что в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно, предложенное президентом США Джеймсом Гарфилдом. Используя геометрический материал, докажем теорему этим методом.

Эксперимент: Расположите два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Получилось три прямоугольных треугольника, которые составляют трапецию. Площадь рассматриваемой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Также, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

Если приравнять данные выражения, то получим:

Таким образом, мы доказали теорему Пифагора, используя способ площадей, его можно отнести к алгебраическим методам.

Формирование практических умений:

Исследование пожарной «каланчи» на применение теоремы Пифагора (работа в группах)

Примером применения теоремы Пифагора может служить удивительный памятник архитектуры нашего города. Это здание первой пожарной части города Царицына Пожарная каланча – одно из первых царицынских зданий, к которым подключили канализационную систему, водопровод и централизованное отопление. Кроме того, она была главной смотровой площадкой в период Октябрьской революции, с нее открывался вид на город. Здание восстановили по оригинальным чертежам XIX века, вернув ему ранее убранную каланчу.

Задание для группы 1. Прочитайте текст, разберите доказательство и решите задачу.

В архитектуре пожарной каланчи присутствуют окна в романском стиле.

Обозначим ширину окна b, то радиусы полуокружностей будут равны и . Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен , а другой .

По теореме Пифагора имеем: ; или ; откуда . Разделив на b и приводя подобные члены, получим: .

Задача 1. Вычислите радиус p внутренней окружности, если ширина окна равна 3 метра.

Задание для группы 2. Прочитайте текст и решите задачу.

Исторически каланча была пустотелой, внутри вдоль стен шла лишь одна небольшая лестница. Пространство же по центру использовалось для сушки пожарных рукавов. При реконструкции часть круговой лестницы была восстановлена, однако дальше начинается обычная лестница, с площадками, которых раньше не было.

Задача 2. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 35 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Задание для группы 3. Прочитайте текст и решите задачу.

На высоте 30 метров пожарной «каланчи» расположена смотровая площадка, с которой открывается восхитительный вид на город и его окрестности. Например, город-спутник Волжский и ГЭС достаточно хорошо просматриваются в ясный день. Если, рассматривая панораму, открывающуюся со смотровой площадки каланчи, сравнивать ее с фотографиями и рисунками, сделанными в начале прошедшего века, можно обнаружить немало исторических зданий, сохранившихся во многом благодаря исправной службе пожарных, осматривавших город с этой высоты. Среди них – здание всем известного филиала музея-панорамы «Сталинградская битва», бывшая железнодорожная больница, «Дом чекистов», здание ЦУМа, где сдался в плен фельдмаршал Паулюс. Здание 83-й школы, хотя и надстроенное одним этажом, но сохранившее первоначальный облик фасадов.

Используя бинокль, можно измерить расстояние до нужных объектов, а затем, используя теорему Пифагора найти расстояние от подножия башни до объекта для пешей прогулки.

Задача 3. Известно, что расстояние, измеренное с помощью бинокля со смотровой площадки S пожарной каланчи, высотой 30 метров до объектов С и B, равно , . Найдите длину пешей прогулки от основания каланчи до этих объектов.

Решение: Расстояние от А до В составляет метров, от А до С составляет ≈ ≈

Ответ:

Итогом работы в группах может быть представленное решение, защита мини проекта, исторические сведения, составленные самостоятельно задачи.

Практическое применение в повседневной жизни:

При конструировании рамы окон, зная радиус большого круга, можно с помощью теоремы Пифагора рассчитать радиус малого круга.

При строительстве лестниц необходимо рассчитать длину, ширину каждой ступени, крутизну лестницы.

Ландшафтный дизайнер просчитывает расположение объектов, их высоту, форму, выводит прямые углы.

При изготовлении выкройки модели одежды необходимо рассчитать ширину и глубину выточек.

Решение практических задач (Приложение):

Задача из китайской "Математики в девяти книгах"

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Решение:

Пусть - глубина воды, построим прямоугольный треугольник, у которого один катет , второй катет 5, а гипотенуза , тогда – длина камыша

Значит, 12 Чи – глубина воды.

12+1=13 Чи – длина камыша.

Ответ:12, 13.

Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого .   

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.

Решение:

По теореме Пифагора: ; ;

; х = 44, значит, 44 стопы составляет второй катет.

Ответ: 44

Рефлексия

Что нового вы узнали на уроке?

Для каких треугольников применяется теорема Пифагора?

Как читается теорема Пифагора?

Какие интересные факты вы запомнили на уроке?

Домашнее задание: № 483 (в), № 484 (б, г, е), творческое задание: составить и решить задачу, связанную с каким-либо историческим объектом нашего города.

Приложение:

Задачи в реальной жизни и из материалов ОГЭ:

Задача 1. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км. в час и 20 км. в час. Какое расстояние будет между ними через 2 часа? (Ответ: 50 км)

Задача 2. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

Решение: , = 3 метра длина лестницы.

Ответ: 3 метра.

Задача 3. Глубина крепостного рва равна 8 м, ширина 5 м, а высота крепостной стены от ее основания 20 м. Длина лестницы, по которой можно взобраться на стену, на 2 м больше, чем расстояние от края рва до верхней точки стены (см. рис.). Найдите длину лестницы.

Решение: 20 – 8 = 12 м – высота крепостной стены до линии края рва.

= = 13, значит длина лестницы на 2 м больше, то есть 13 +2 = 15 м

Ответ: 15 м

Задача 4. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода.

Решение: 1) 9 – 4 = 5 м, 2) 3) = 13 м длина провода.

Ответ: 13 метров

Задача 5. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса.

Решение: , = 17 м длина троса.

Ответ: 17 м

Задача 6. Длина стремянки в сложенном виде равна 1, 85 м, а ее высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде.

Решение: 1) ; ;

* 2 = 2,22 (м)

Ответ: 2,22 м

Задача 7. Одна из башен в полтора раза выше другой. Расстояние между основаниями башен равно 120 метров, а между шпилями 125 метров. Чему равна высота каждой башни?

Решение: м – разность высот башен. Значит, , м – высота одной башни, тогда м – высота второй башни.

Ответ: 70 м, 105 м.