Методическая разработка урока по теме «Теорема Пифагора»

Методическая разработка урока по теме «Теорема Пифагора»

(8 класс)

Тема урока: Теорема Пифагора.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели и задачи:

Образовательные: познакомить учащихся с теоремой Пифагора, многообразием способов ее доказательства, применением при решении задач.

Воспитательные: воспитывать познавательную активность, повышать интерес к изучению математики, показывая красоту математических доказательств, их стройность, логичность.

Развивающие: развивать умения обнаруживать способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его, развивать мышление, память, навыки аргументированной речи в процессе деятельности.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, проектный.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: групповая, фронтальная, индивидуальная.

Универсальные учебные действия:

Познавательные: умение работать с информацией, поиск, исследование, умение обобщать и делать выводы.

Коммуникативные: владение монологической и диалогической формами речи, умение выражать свою позицию. Владение навыками работы в группе.

Личностные: формирование ценностных ориентаций, формирование активной жизненной позиции.

Регулятивные: умение планировать и регулировать свое учебное время, владение приемами контроля и самоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, smart- доска.

 

 

 

 

ПЛАН УРОКА :

1. Совместная постановка целей и задач урока.

2.Знакомство и изучение различных способов доказательств теоремы.

3.Применение полученных знаний при решении задач.

4.Подведение итогов (рефлексия).

ХОД УРОКА:

Совместная постановка целей и задач урока. Формулирование темы урока.

Учащиеся класса разбиты на группы, в каждой из которых есть свой лидер (координатор), нгаправляющий работу группы и ответственный за соблюдение регламента работы.

Актуализация знаний: каждой группе предложены задания для выполнения. Время работы 3 – 4 минуты.

Заполните пропуски:

Треугольник, один угол которого равен 90 градусам - ………..

Стороны такого треугольника, являющиеся сторонами прямого угла - …………………………………………………………………….

Сторона, лежащая против прямого угла - …………………………

Треугольник, катеты которого равны - ……………………………

Площадь треугольника = …………………………………………….

Площадь прямоугольного треугольника = 1) ……………………

2) …………………….

Площадь трапеции - ………………………………………………….

Если фигура разбита на n-е количество мелких фигур, то ее площадь = ……………………………………………………………….

 

 

 

2). Найти площади фигур:

 

 

5 5 15

5 4

 

2 4 9

 

По окончании отведенного времени каждая группа передает листок с результатами своей работы соседней группе ( например, по часовой стрелке расположения групп). Таким образом, работ каждой группы будет оценена в баллах из 12 возможных. Итоги:

1 группа -…

2 группа -…

3 группа -… и т. д.

Количество баллов каждой группы меньше 12, почему?

Вопросы: За какие задания группы не получили баллы? (разъяснения учащихся других групп)

За какую задачу ни одна из групп не получила балл?

С какими трудностями встретились?

Каких данных не хватает в задаче?

Что необходимо, чтобы решить задачу?

Отвечая на эти вопросы, сам делают вывод, что на данном этапе не умеют находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника через две известных. Однако учащимся это необходимо, а значит цель урока эти пустые места в знаниях заполнить. Учащиеся сами формулируют тему урока: «Нахождение неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум известным». Следовательно нужно знать какую – то формулу, которая помогла бы это сделать.

Учитель: такая формула есть и заключена она в знаменитой теореме – теореме Пифагора. Тему нашего урока мы сформулируем более коротко – «Теорема Пифагора»

На доске появляется тема урока.

 

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свиде­тельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд: рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка, впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в целую сотню.

Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (около 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.) , и в древнеиндийском трактате VII —V вв. до н.э. « Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы.

Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

2.Знакомство и изучение различных способов доказательств теоремы.

Сегодня я предлагаю познакомиться с некоторыми классическими доказательствами теоремы Пифагора, известными из древних трактатов и не только познакомиться, а самостоятельно провести доказательства, как делали это великие умы человечества. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесслед­но исчезает первозданная геометрическая аура теоремы. Итак, теорема Пифагора.

Каждой группе учащихся предлагаются задания для доказательства теоремы, которые через 5-7 минут они должны будут представить на суд своих одноклассников. Для подстраховки, можно двум группам дать одинаковое задание. Первое задание – геометрическое доказательство теоремы, второе - по чертежу со вспомогательными вопросами. Учащиеся должны в ходе защиты своей работы не только показать, что и как они делали, но и подвести к формулировке теоремы. Далее уместно показать презентацию с доказательствами теоремы, чтобы учащиеся могли оценить свою работу и почувствовать себя учеными.

а

Рис 1.

) Простейшее доказательство .

 

 Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треуголь­ников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах — по два. Теорема доказана. "Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах."

Про картинку, иллюстрирующую эту теорему сложена шутливая поговорка : « Пифагоровы штаны на все стороны равны». Что имелось ввиду?

 

б

 

Рис. 2 Рис. 2 ) Древнекитайское доказательство.

 

 Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико - астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не используются. По-видимому, древнекитай­ские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с2=а2+Ь2.

в) Древнеиндийское доказательство.

Еще одно доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Смотрите внимательно на два квадрата, и вам все станет ясно. Индусы к этому добавляли лишь одно слово : «Смотри !».

Кто сможет объяснить, почему площадь серого квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей серых квадратов, построенных на катетах?( Из двух одинаковых квадратов вычитаем по 4 площади одинаковых треугольников)

 

г) Доказательство Джеймса Гарфилда.

Двадцатый президент США Джеймс Гарфилд, который был избран президентом в 1880 году тоже смог привести свое доказательство теоремы Пифагора. Причем сделал он это доселе неизвестным способом. А узнать об этом смогли почти через 60 лет после его смерти.

На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию.

 

В первом случае эта площадь равна

 

 

3.Применение теоремы Пифагора при решении задач.

1)Задание: составьте по рисункам, используя теорему Пифагора, если это возможно, верное равенство и вычислите значение неизвестной величины ( приложение 1).

Итак, сделаем вывод, ответив на вопрос: « На что надо обращать внимание при применении теоремы Пифагора ?»

2) Решим старинную задачу индийского математика XII века Бхаскары ( приложение 2).

4.Подведение итогов (рефлексия).

Учащиеся сами оценивают свою работу. Лидеры групп делятся впечатлениями о работе группы: что получилось, что не получилось?

5. Домашнее задание: познакомиться с доказательством теоремы в учебнике + каждая группа вытягивает творческое задание (сочинить стихотворение о теореме Пифагора, сенквейн, четверостишие, маленькую компьютерную презентацию, акронимический стих, ребусы, кроссворды и т.д.) Следующий урок обязательно начать с творческих выступлений ребят, такие выступления могут восприниматься, как одна из форм рефлексии.

 

 

Список литературы

Глейзер Г.И. «История математики в школе.» М. «Просвещение», 1982.

Еленьский Щ. «По следам Пифагора.» М. «Просвещение», 1961.

Литцман В. «Теорема Пифагора.» М. «Просвещение», 1960.

Скопец З.А. « Геометрические миниатюры.» М. «Просвещение», 1990.

Семенов Е.Е «Изучаем геометрию.» М. «Просвещение»,1987

Кордемский Б.А. «Великие жизни в математике.» М. «Просвещение»,1995

Презентация к уроку
PPT / 4.62 Мб