Статья «Методика обучения школьников векторному методу моделирования физических процессов»

Методика обучения школьников векторному методу моделирования физических процессов

Оглавление.

«Книга Вселенной написана на языке математики».

Г.Галилей

В работе представлена модель объединения, взаимопроникновения физики и математики, стирание четких граней между ними; строится естественнонаучная интегрированная система мира. Использование физикой знаний, полученных математикой; взаимообмен методами и приемами исследования - это магистральный путь формирования «единой науки будущего».

В этой работе предлагается метод, позволяющий сделать математику более интересной и менее отвлеченной.

Предлагаемый метод представляет так же интерес в плане математической обоснованности расчетов в изучении физики, повысит интерес учащихся к предмету.

Этот метод призван повысить интерес учащихся к обоим предметам, провести параллель между теоретическими математическими выкладками и практическим их применением.

История возникновения векторного метода.

«История физики учит нас, что отыскание аналогии двумя различными науками было, может быть, самым надежным и плодотворным методом при построении физических теорий».

П. Дюгем

Современное естествознание имеет дело с ветвящимися мирами, гиперскоростями, микромиром, исчезающее малыми частицами. Хотя наука ориентирована на предметное и объективное исследование реальности (включая в это исследование объекты, которые могут стать предметом практического освоения только в будущем), в ней часто приходится иметь дело с объектами, не сводимыми к наглядным предметам обыденного опыта.

Особенности некоторых изучаемых объектов делают недостаточными средства, применяющиеся в обыденном познании. Прежде всего, это относится к языку науки, все более специализирующемуся по мере её развития. Становится неизбежным особый понятийный аппарат со строгим научным статусом и вполне конкретным содержанием, в них вкладываемым.

Наряду со специализированным языком физика все более нуждается в развитии особых средств и методов исследования как теоретических, так и экспериментальных.

Развитие физики (раннее название - натуральной философии) неоднократно приводило к созданию специального математического аппарата.

Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: геометрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных величин, встречаемых в естествознании) и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры).

Векторное исчисление, т.е. исчисление с направленными отрезками приняло современный вид лишь в конце XIX века, главным образом в связи с потребностями физики, в частности её раздела - механики. Вот почему учение о векторах до конца XIX века называли геометрическим анализом или геометрическим исчислением.

III век до н.э. Само определение вектора в математике еще не введено. Учение Аристотеля о механическом движении, несмотря на неправильность основных положений, было шагом вперед в процессе формирования натурфилософии. Он впервые поставил вопрос о формировании основных понятий механики: движение, скорость и т.д. Аристотелю принадлежит правило параллелограмма для сложения движений. (В настоящее время правило параллелограмма геометрического сложения векторов изучают в курсе геометрии 9-го класса).

Таким образом, первое обращение к еще не сформированному понятию «вектор» можно отнести к III век до н.э.

Как уже упоминалось, математика всегда развивалась вслед за натурфилософией, как её язык и средство доказательства её выводов.

В III веке до н.э. математика начинает складываться как самостоятельная наука. Евклид «очистил» математику от натурфилософских идей и придал ей логическую стройность. Он создал настолько логичную систему геометрии, что она просуществовала многие столетия. В древнегреческом геометрическом исчислении, изложенном в «Началах» Евклида, сложение и вычитание геометрических величин сводится к таким же операциям над отрезками, умножение величин – к построению прямоугольника на этих отрезках.

Следовательно, это ему мы обязаны закреплением в геометрии открытий Аристотеля, касающихся правила параллелограмма.

Несколько столетий подряд данной теме не уделялось должного внимания. Однако общество не стояло на месте. В XIV веке начинает усиленно развиваться промышленное производство, что ставит перед наукой новые задачи. Математика отставала, однако в физике Леонардо да Винчи, Галилео Галилей и другие ученые пользовались направленными отрезками для большей наглядности в физике. Симон Стевин дошел до разложения силы на составляющие и открыл закон параллелограмма (вторично, вслед за Аристотелем), Кеплер ввел понятие радиус-вектора планеты (направленный отрезок, соединяющий фокус эллиптической траектории планеты с движущейся точкой – планетой).

Ученые – физики развивают механику. В области динамики они обратили внимание на трудности объяснения движения брошенного тела. Механика как наука начинает развиваться в учении Галилея.

Буридан развивает теорию, которая нам интересна тем, что в ней получает развитие понятия, появившегося ещё в древности как чего-то внешнего по отношению к движущемуся телу, но к нему относящемуся (или приложенному) - то, что позже Ньютон (1643-1727) стал называть силой.

Первый этап её развития завершается выходом в свет главного труда Ньютона «Математические начала натуральной философии». Он обосновал понятие направления силы и направления ускорения.

Ньютон завершил формирование понятия вектора в натурфилософии. Он дал определение силы.

В работах Ньютон показал, что сила имеет точку приложения, модуль и направление. Закрепил за понятием силы геометрическую сумму и правило параллелограмма. Решая задачи по динамике, он использовал аналог понятия «проекция вектора на ось».

Дальнейшее развитие ещё не оформленного понятия «векторная величина» на примере силы получила в работах Готфрида Лейбница (1646-1716). «Сила» по Лейбницу, должна измеряться тем действием, которое она может произвести. Лейбниц утверждает, что закон Декарта в этом случае будет справедлив, если учитывать, что «количество движения» может иметь как положительный, так и отрицательный знак. Лейбниц понимал количество движения как геометрическую величину, а сумму количеств движения – как геометрическую сумму.

Выше сказанное очень напоминает современное понимание проекции вектора на ось, которая может иметь различные знаки.

Именно ему принадлежит идея создания геометрического исчисления, близкого по смыслу к современному векторному исчислению.

Развитие настоящего векторного исчисления относится к XIX веку.

Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены уроженцем Норвегии Каспаром Весселем. Двумерное векторное пространство Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Работа Веселя является ярким примером огромного влияния, которое оказывает, практика на развитие математики. Следует также отметить, что в его работах нет никаких примеров из механики или вообще из физики.

Л Карно в работе «Геометрия положения для тех, кто готовится к измерению земель», изданной в 1803 г. вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками.

Под влиянием работ Л. Карно швейцарский математик Жан Арган (1768-1882) решает задачу построения исчисления направленных отрезков, которые он называет «направленными линиями». Этот метод он применяет для решения математических и физических задач.

Многие математики занимались этой проблемой. Однако современный вид векторному исчислению придал в конце XIX века американский физик, один из основателей химической термодинамики и статистической механики – Дж. Гиббс(1839-1903). В последней четверти XIX века происходит слияние трех путей исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится отдельной ветвью математики.

Математика всегда следовала за развитием физики, помогая ученым-физикам обосновывать результаты своих исследований. Например, дифференциальное и интегральное исчисление у Декарта и Лейбница, тензорный анализ – новый раздел математики, который потребовался Эйнштейну для создания общей теории относительности и был создан его другом – математиком.

Что такое векторный метод.

Физические величины можно разбить на два вида: скалярные и векторные. Скалярные физические величины характеризуются модулем и единицей измерения. К ним относятся масса, объем, время и т.д.

Векторные физические величины характеризуются еще и направлением. Примерами векторных величин служат сила, скорость, ускорение и т.д.

Определение 1. Вектором называется отрезок, у которого указано какой из его концов считается началом, а какой концом.

Для обозначения векторной физической величины обычно используют буквенные обозначения самой величины со стрелкой сверху, например, . На рисунке вектор изображается стрелкой, обращенной к его концу:

Определение 2. Длиной вектора называется его длина. Длина вектора обозначается символом и т.д.

Определение 3. Направлением на плоскости или пространстве называется множество всех лучей, сонаправленных между собой.

Определение 4. Направлением вектора называется направление, определяемое лучом F.

Определение 5. Векторы называются сонаправленными, если их направления совпадают.

Определение 6. Два вектора называются противонаправленными, если направления векторов противоположны.

Определение 7. Свободный вектор – это множество всех равных векторов плоскости или пространства, например, напряженность электромагнитного поля, сила тяжести в определённой точке земного шара.

Определение 8. Два вектора называются равными, ели они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

История изучения векторного метода в школьном курсе геометрии

Векторная геометрия в школьный курс введена сравнительно недавно: после революции её начали ознакомительно изучать в старших классах общеобразовательной школы.

В связи с происходящей реформой школы произошел разрыв между планированием различных предметов в школьном курсе. Геометрия начинает изучать вектора в I четверти в 9-м классе. (Сравните: в физике вектор силы изучается по новой программе в 7-м классе. Там же мы проходим сложение и вычитание векторов, направленных вдоль одной прямой).

При этом в школьном курсе геометрии предложена такая расчасовка этой темы:

Понятие вектора - 2 часа.

Сложение и вычитание векторов – 3 часа.

Умножение вектора на число – 4 часа.

Координата вектора – 2 часа.

Это в общей сложности дает 11 часов. При 2 часах геометрии в неделю на изучение векторов в данном объеме (недостаточном для его применения на практике) потребуется 1,5 месяца, т.е. вся первая четверть. К этому времени физика 9-го класса должна по плану пройти всю кинематику и законы Ньютона в их применении. Математика значительно опаздывает в изучении векторов в школьном курсе.

Использование векторного метода при изучении природных явлений и физических процессов.

Одной из основных задач, стоящих перед школой, является активизация процесса обучения.

Решение этой задачи идет по многим направлениям, в том числе и по направлению усиления наглядности.

Термин наглядность в настоящее время понимается очень широко. Мы с вами ограничимся его первоначальным значением, и будем говорить только о роли визуальной наглядности. Известно, что к средствам визуальной наглядности можно отнести не только сами предметы, но и рисунки, их изображающие. Чертежи могут быть выполнены в схематизированном (упрощенном) или символическом виде.

5.1 Использование векторов при выполнении чертежей.

Символическое изображение предмета уже не напоминает сам предмет, а отражает только его функцию, т.е. служит своеобразным понятием.

Рисунки особенно необходимы тогда, когда объекты, изучаемые с помощью векторного метода, недоступны непосредственному наблюдению, например, задачи по космической механике, на нахождение напряженности электромагнитного поля, и т.д. Слово учителя в этом случае оказывается недостаточным, чтобы дать представление об объекте. В этом случае рисунок может взять на себя функции языка.

Правильно составленный чертеж с некоторыми объяснительными надписями служит своеобразной записью данных задачи, графическим конспектом урока, который чрезвычайно удобен для повторения изучаемого материала и при ответах учащихся по темам, изучаемым векторным методом. Для того чтобы графический язык успешно служил целям описания природных явлений и физических процессов, графическое изображение должно однозначно соответствовать фрагментам действительности. Поэтому важна унификация графических обозначений, используемых на уроках математики, а в идеале, на всех изучаемых предметах и во всех классах.

5.2 Математические требования к выполнению чертежей, с использованием векторов.

Чтобы чертеж отражал явление или процесс более полно, важен способ изображения физических величин. В 7-м классе мы вводим понятие вектора и даем три его признака: направление, модуль и точка приложения. Наиболее полно на чертежах это требование выполняется при решении задач по механике в разделе динамика. В остальных же случаях учителя физики допускают неточности при выполнении чертежей в целях экономии времени или (как им кажется) большей наглядности. На чертежах показывающих действие атмосферного давления допускают обозначение вектора с оперением и т.д. С точки зрения математики это недопустимо.

В старших классах часто подменяют вектора напряженности и магнитной индукции силовыми линиями электрического или магнитного поля. Вектор – это отрезок прямой с острием на конце, а силовая линия – замкнутая кривая с острием посередине. Поэтому для изучения процессов и явлений в физике особо важно уважение к математическому языку. Например:

Нижняя стрелка, характеризующая поле, имеет обозначение . Так как она не отличается от других, то остальные, по определению 7, надо принять за векторы напряженности.

Определение 7. Свободный вектор – это множество всех равных векторов плоскости или пространства.

Однако в задаче имелась виде эквипотенциальная поверхность, результирующая напряженность равна нулю, что не соответствует рисунку и путает учащихся. (На чертеже не может быть указан вектор, там должны быть нарисованы кривые с остриями посередине).

Но в механике существуют и принципиальные трудности изображения векторных величин, связанные с выбором точки приложения силы. Например, где следует считать приложенной силу трения, возникающую при движении одного тела по поверхности другого? С научной точки зрения точка приложения находится на границе соприкосновения трущихся тел.

Однако, с дидактической точки зрения полезность такого чертежа сомнительна, т.к. непонятно, к какому телу приложена сила трения и зрительно она не может уравновешивать силу тяги. Советуем воспользоваться определением 8: два вектора называются равными, ели они сонаправлены и имеют одинаковую длину и перенести все силы в центр тяжести тела. Это формирует четкий зрительный образ и способствует правильному составлению уравнений движения при решении задач.

В некоторых случаях происходит взаимное наложение сил друг на друга, что усложняет восприятие. Пользуясь свойствами векторов можно избежать этого путем вынесения точки приложения тел за пределы изображения тел.

Преимущества векторного метода изучения природных явлений и физических процессов.

Чертежи выполняются по ходу рассказа или решения задачи. Это требование основано на психологических законах восприятия: ученик невольно следит за движением руки учителя или стоящего у доски ученика, сам повторяет аналогичные действия в тетради, а параллельное объяснение действий способствует «овеществлению» отдельных линий чертежа.

Наличие векторов на чертежах при решении задач по динамике позволяет находить векторную сумму сил, действующих на тело и наглядно определять направление движения тела в данном конкретном случае.

Векторный метод позволяет наглядно продемонстрировать многие физические процессы.

Вот так с помощью векторов можно красиво и четко пояснить значение понятия «сила тока в проводнике». Кроме наглядности чертеж несет в себе еще и математический смысл: сила тока в проводнике равна сумме зарядов, передвигающихся по проводнику.

Обоснование необходимости расширения изучения метода в пределах программы основной школы

Векторный метод представляет интерес в плане математической обоснованности расчетов в изучении физики, повысит интерес учащихся к предмету.

Необходимость использования этого метода в курсе основной школы вызвана следующими причинами:

Учащиеся не всегда могут применить знания, полученные на уроках математики к реальным физическим процессам.

Именно такой метод лучше всего развивает исследовательские способности учащихся.

В методике преподавания физики математической обоснованности расчетов уделяют недостаточное внимание, что ведет к их автоматическому выполнению учащимися.

В курсе математики основной школы вектора и действия над ними, необходимые при изучении физики математические методы даются ознакомительно.

Векторный метод решения задач по физике призван повысить интерес учащихся к обоим предметам, провести параллель между теоретическими математическими выкладками и практическим их применением.

Цель применения метода: интеграция знаний учащихся о природе, применение знаний, полученных на уроках математики к реальным физическим процессам, развивать исследовательские способности учащихся, повысить математическую обоснованность расчетов, опираясь на полученные ранее знания, придать им практическую направленность.

«Математика – это форма, в которой мы выражаем наше понимание природы, но не содержание. Когда в современной науке переоценивают формальный элемент, совершают ошибку и при том очень важную».

В. Гейзенберг.

Литература.

Афанасьева Т.Л. «Поурочные планы. 9 класс. Геометрия». М, «Дрофа», 2001.

Глейзер Г.И. «История математики в школе. IX-Xклассы». М, «Просвещение», 1983.

Спасский Б.И. «История физики». М, «Высшая школа», 1977.

Торосян В.Г. «Концепции современного естествознания», М, «Высшая школа», 2003.