Доклад «Обобщение и систематизация знаний по решению уравнений в основной школе»

«Обобщение и систематизация знаний по решению уравнений в основной школе»

 

Курилова Ольга Викторовна,

учитель-математики

ГБОУ Школа № 1384

г. Москва

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и многое другое). Поэтому так важно обобщить знания по данному вопросу при заключительном повторении, чтобы углубить и систематизировать умения учащихся по предмету в целом.

Тема «Уравнения» в школе изучается в течение многих лет. При этом изучение одних и тех же вопросов каждый раз происходит на более высоком уровне. Известно, что не всегда первичное понимание изучаемого материала является настолько глубоким, чтобы появилась возможность широкого обобщения, классификации.

Сегодня от школы и от учителя требуется не только дать знания, сформулировать программные умения и навыки у всех учеников, но главное научить школьников творчески распоряжаться ими. Эта задача успешно может быть решена с помощью обобщения и систематизации курса математики.

Принимая обобщение и систематизацию как принцип обучения, можно достичь высоких результатов. Выходя из школы выпускники будут иметь законченную связную систему знаний, умений и навыков и будут знать как эту систему использовать либо в практической, жизненной практике, либо в дальнейшей учебной деятельности. Так как уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место, то заключительное повторении имеет своей целью обобщение данной темы, с тем чтобы углубить и систематизировать знания учащихся, помочь им при сдаче ГИА и подготовить их к ЕГЭ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОБЛЕМЫ ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ.

1.1. Психолого-педагогическая сущность процесса обобщения и систематизации.

 

В современной школе объем информации, которую перерабатывает ученик, растет. Увеличивается нагрузка на память ученика, а поскольку память и усвоение взаимосвязаны, то усвоение материала для значительной части школьников, затрудняется. Термин «обобщение» часто встречается в психолого-педагогической и методической литературе. Но среди них наиболее часто выделяются две основные группы явлений, с которыми обычно связан этот термин.

Процесс обобщения как переход от описания свойств отдельного предмета к их нахождению и выделению среди целого класса подобных предметов [1]. Здесь ученик находит и выделяет некоторые устойчивые, повторяющиеся свойства этих предметов. Таким образом, при обобщении, с одной стороны, происходит поиск нечто среди некоторого множества предметов и их свойств и обозначение этого общего некоторым словом-инвариантом, с другой – опознание предметов данного множества с помощью выделенного инварианта.

В психологической и педагогической литературе процесс обобщения также характеризуется как основной путь образования понятий [1]. Поэтому термин «обобщение» часто употребляется и как синоним термина «понятие». Такой подход к обобщению обусловлен тем, что образование какого-либо понятия происходит в мышлении учащихся через процесс обобщения общих, существенных свойств и признаков данного понятия. Кроме того, обобщение находиться в неразрывной связи с операцией абстрагирования. Она заключается в отвлечении от частных несущественных качеств предметов при выделении некоторого качества как общего.

Так, например, ученик знает правило решения квадратных уравнений. Но для его использования он должен также знать общие признаки квадратных уравнений (имеют одну переменную, наибольшая степень переменной равна двум, общий вид ax2+bx+c=0) среди всего множества различных уравнений. Иными словами, происходит «опознание» данного частного, конкретного предмета или явления, относящегося к определенному классу предметов или явлений на основании некоторого общего свойства или признака. Одним из самых простых примеров таких «сокращенных» действий является использование формул сокращенного умножения. Ученик, владеющий обобщенными знаниями, умножая сумму двух выражений, не перемножает их почленно, сразу дает ответ.

Таким образом, формирование обобщенных знаний, умений и навыков предполагает не только переход от конкретного и единичного к абстрактному и общему, но и обратный переход от общего и абстрактного к единичному и конкретному [1].

Умение обобщать позволяет учащимся осуществлять такую операцию, имеющую большое значение во всей учебной деятельности систематизация (или классификация). С помощью этой операции в мышлении учащихся происходит распределение предметов и явлений определенного типа «по группам и подгруппам в зависимости от сходства и различия их друг с другом» [1]. Так, учащиеся классифицируют, зависимые и независимые, постоянные и переменные величины в алгебре и т. д.

Систематизация знаний, умений и навыков имеет важное значение во всей учебной деятельности учащихся, так как избавляет школьников запомнить учебный материал как набор или сумму фактов. Тем самым уменьшается нагрузка на память ученика. Сгруппированный материал несравненно легче и прочнее запоминается и усваивается, а также удобнее используется в дальнейшем.

Таким образом, систематизация и обобщение знаний, умений и навыков находиться в тесной взаимосвязи со всеми базовыми операциями мышления такими как сравнение, сопоставление, различие, анализ, синтез и абстракция.

 

1.2. Общая последовательность изучения материала линии уравнений.

Обобщение, абстрагирование и конкретизация находят ши­рокое применение в специальных методах обучения математике. Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей. Для осуществления перехода от конкретной модели к классу мо­делей такого типа используется обобщение и абстрагирование. При­менение же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использование конкретизации. Например, пусть некоторая задача описывается с помощью квад­ратного уравнения:

(1)

когда учащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.

Это является стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)

(2)

Переход от конкретной модели (1) к классу моделей (2), т. е. от единичного к общему, осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел, числовыми переменными [2]. После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса) с помощью конкретиза­ции (подстановки в формуле корней вместо а, b, с конкретных коэф­фициентов) решаем исходное и другие уравнения этого класса.

Выделяются четыре основные ступени изучения материала линии уравнений:

независимое изучение основных типов уравнений;

постепенное рас­ширение количества изученных классов уравнений;

формирование приемов решения и анализа уравнений, имеющих широкую область применимости;

синтез материала линии уравнений.

Среди всех изучаемых в курсе математики типов уравнений выделяется сравнительно ограниченное количест­во основных типов. К их числу можно отнести: линейные уравнения с одним неизвестным, квадрат­ные уравнения, простейшие иррациональные и трансцендентные уравнения.

Изучение уравнений, сводящихся к основ­ным классам. Каждый из основных классов уравнений имеет четкую, стандартную форму записи. Напри­мер, уравнение

х2 + x – 1 = 0 – квадратное , а уравнение х2+х=1, равносильное первому, квадратным не является.

Смысл выделения основных классов состоит именно в том, что за счет стандартизации формы задания «общего вида» можно записать ответы к заданиям формулой (или привести простое описание процесса решения). При решении текстовых задач ал­гебраическим методом получаемые модели вовсе необязательно имеют форму, связанную с каким-либо основным классом. Приходит­ся искать способы сведения уравнений из более об­ширной области к этим классам.

В итоге, формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их систем.

Уравнения Системы

 

ЦЕЛЫЕ

 

В курсе математики старших классов учащиеся сталкивают­ся с новыми классами уравнений с уг­лубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, соединяю­щие различные классы. На этом, более высоком уровне владения материалом связи становятся намного более освоенными, так что учащиеся в процессе выполнения заданий могут самостоятельно их восстанавливать.

 

Глава 2. МЕТОДИКА ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ ПО РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ.

2.1. Методические требования к проведению обобщающего повторения.

Анализ структуры урока повторения показывает, что ведущую роль в ней играет цель урока: именно цель урока определяет его структуру задает отношение между этапами урока, соподчиняет их и объединяет в единое целое. Из главных требований к уроку повторения - его целенаправленность.

В литературе по методике преподавания математики можно найти конкретные рекомендации по постановке общей цели урока повторения, сути которого сводится к следующему: в начале выделяется основная дидактическая (учебная) цель, исходя из которой появляются возможности для установления целей воспитания и развития учащихся на уроках, повторения через его математическое содержание. Для практики обучения очень важно, чтобы цель урока, поставленная учителем, была понята учеником. Осознанная учеником цель, учебная познавательная задача помогают ему действовать активно и ускоряют процесс получения результата своих действий.

Второе важное требование к уроку повторения - это рациональное повторение его содержания. На уроке повторения главным является его математическое содержание, которое должно глубоко отражать логику данного учебного материала и быть определяющем во всем, что делается на уроке. Именно на базе математического содержания урока формируется у учащихся три вида умений и навыков:

математическое,

обще интеллектуальные (приемы умственной деятельности),

умения и навыки учебной деятельности.

Третье требование к уроку повторения - это оптимальный выбор средств, методов и приемов обучения и воспитания на уроке. Большая часть в отборе средств, методов и приемов обучения, работы на уроке отводится учителю.

Абстрактный характер математических понятий затрудняет восприятие их учащимися. Для раскрытия сущности понятий и отношений между ними используются модели различного вида: предметные, графические, знаковые и другие. Среди разнообразия их важно уметь выделить главные и основные.

Вся совокупность требований к учебному процессу в конечном счете сводится к соблюдению дидактических принципов обучения:

воспитывающего и развивающего обучения;

научности;

связи теории с практикой, обучения с жизнью;

наглядности;

доступности;

систематизации и последовательности;

самостоятельности и активности учащихся в обучении;

сознательности и прочности условия знаний, умений и навыков;

целенаправленности и мотивации обучения;

индивидуального и дифференцируемого подхода к учащимся.

Наиболее значимым требованием к уроку является его целенаправленность; рациональное построение содержания урока; обоснованный выбор средств, методов и приемов обучения; разнообразие форм организации учебной деятельности учащихся.

 

2.2. Содержание и организация уроков повторения.

 

Одним из традиционных этапов организации усвоения материала является повторение, которое проводится как с целью подготовки к изучению нового материала, так и для поддержания приобретенных учащимися умениями и навыками. И в том и в другом случае обязательные результаты обучения - это один из основных объектов повторения. Так, при подготовке к изучению нового вопроса необходимый материал должен быть восстановлен в памяти учащихся, причем в таком виде, в котором он будет применяться, т.е. на уровне обязательных результатов обучения.

Текущее повторение также следует проводить не стихийно, включая случайные задачи, как это часто случается в практике, а ориентируясь на обязательные умения, овладение которыми предусмотрено программой. Причем часть задач (в зависимости от уровня подготовленности класса) может и должна соответствовать обязательным результатам обучения.

Теме «Уравнения» отводится всего пять часов. Рассмотрим их подробнее.

Структура проведения уроков:

1. Выполнение устных заданий на нахождение корней неполного квадратного уравнения.

2. Выполнение упражнений на решение систем уравнений различными способами.

3. Выполнение заданий разной степени трудности на нахождение корней основных видов уравнений (квадратных, линейных, рациональных), умение применять необходимые случаи тождественных преобразований.

Данные материалы помогут учащимся девятых классов систематизировать свои знания по теме "Уравнения и способы их решения" при подготовке к ГИА за курс неполной школы.

Уравнением с одной переменной называется равенство f(x) = g(x), если поставлена задача отыскания всех значений переменной х, при которых выражения f(x) = g(x) принимают равные числовые значения.

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) = g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

ПРИМЕР: значение х = 7 является корнем уравнения 64 – х = 50 + х. Говорят также, что значение х = 7 удовлетворяет данному уравнению. Действительно, 64 – 7 = 50 + 7.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Областью определения уравнения или областью допустимых значений уравнения (кратко О.Д.З.) называется множество всех тех значений переменной х, при которых оба выражения f(x)и g(x) имеют смысл.

Два уравнения f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней.

ПРИМЕР: равносильны уравнения х2 – 2х = 0 и х(х – 2) = 0. 

Каждое из них имеет два корня: х = 0 и х = 2.

Процесс решения уравнения состоит в том, что его заменяют более простым уравнением, равносильным исходному.

Имеют место следующие утверждения о равносильности уравнений:

1.      Уравнения f(x) = g(x) и f(x) – g(x) = 0 равносильны.

2.      Уравнения f(x) = g(x) и f(x) + с = g(x) + с, где с – любое число, равносильны.

3.      Уравнения f(x) = g(x) и сf(x) = сg(x), где с – любое число, отличное от нуля, равносильны.

4.      Если функции f(x) и g(x) неотрицательны всюду в области определения, то уравнения f(x) = g(x) и fп(x) = gп(x), где п N, равносильны.

5.      Если функция φ(х) определена и не обращается в нуль ни в одной точке области определения уравнения f(x) = g(x), то уравнения f(x) = g(x) и f(x)φ(x) = g(x)φ(x) – равносильны.

Замечание. Если в процессе преобразования уравнения его область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни.

ПРИМЕР: Уравнение  после сокращения левой части на множитель х – 1 заменяется уравнением х + 1 = 2 не равносильным исходному.

Уравнение х + 1 = 2 имеет своим корнем число 1, которое не удовлетворяет исходному. Исходное уравнение не имеет корней. Уравнение х + 1 = 2 – следствие исходного, х = 1 – посторонний корень исходного уравнения.

Если уравнение f1(x) = g1(x) равносильно уравнению f2(x) = g2(x), то пишут

f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x)

Если уравнение f2(x) = g2(x) является следствием уравнения  f1(x) = g1(x), то пишут

f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x)

Линейные уравнения.

Определение: Линейным относительно х называется уравнение вида ах + b = 0, где а, b – числа, х – неизвестная величина.

При решении уравнений вида ах + b = 0 возможны три случая:

1.      При а ≠ 0 получаем  - единственное решение.

2.      При a = 0 и b = 0  уравнение принимает вид 0х + 0 = 0 – решением является любое значение х .

3.      При а = 0 и b уравнение принимает вид 0х + b = 0 – решений нет.

  ПРИМЕРЫ:

Решить уравнение: 5х + 4 = 3х – 2

                                       5х – 3х = - 2 – 4

                                              2х = - 6

                                                 х = - 3 (единственное решение).

Решить уравнение: 5х + 4 = 4 + 5х

                                       5х – 5х = 4 – 4

                                               0 = 0 ( х – любое число).

Решить уравнение: 5х + 4 = 2 + 5х

                                              5х – 5х = 2 – 4

                                                      0 = - 2 (нет решений).

Квадратные уравнения

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида: ax2 + bx + c = 0, где a, b, c – действительные числа, .

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

Выражение D = b2 – 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня.

Если D = 0, то уравнение имеет два равных действительных корня

х1 = х2 = .

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ПРИМЕРЫ:

Решить уравнение: х2 – 5х + 6 = 0

а = 1 b = - 5 c = 6

D = (-5)2 – 4 · 1· 6 = 1, D > 0 – уравнение имеет два различных действительных корня.

х1 =

х2 =

 

Решить уравнение: х2 – 4х + 4 = 0

a = 1 b = - 4 c = 4

D = (- 4)2 – 4 · 1· 4 = 0, D = 0 – уравнение имеет два равных действительных корня.

х1 = х2 =

Решить уравнение: х2 + х + 1 = 0

a = 1 b = 1 c = 1

D = 12 – 4 · 1· 1 = - 3, D < 0 – уравнение не имеет действительных корней.

Замечание: Если b – чётное число, т. е. b = 2k, то D1 = k2 – ac,

  x1,2 =

ПРИМЕР: Решить уравнение х2 – 24х + 63 = 0

a = 1 k = -12 c = 63

D1 = (-12)2 - 1· 63 = 81 D1 > 0 – уравнение имеет два различных действительных корня.

х1 = 3 х2 = 21

 

Неполным квадратным уравнением

Определение: Неполным квадратным уравнением, называют уравнение, у которого второй коэффициент b или свободный член с равны нулю. Неполное квадратное уравнение проще решать методом разложения левой части на множители.

ПРИМЕР:

Решить уравнение 3х2 – 2х = 0 (с = 0). Имеем х(3х – 2) = 0. Откуда либо х = 0, либо 3х – 2 = 0, т. е. х = . Следовательно х1 = 0, х2 = .

Решить уравнение 2х2 – 7 = 0 (b = 0). Имеем 2х2 = 7, тогда х2 = . Таким образом х1 = и х2 = -

 

Биквадратные уравнения

Определение: Биквадратным называется уравнение вида , где     а 0. Биквадратное уравнение решается путём введения новой переменной х2 = у, что позволяет свести его к квадратному уравнению.

ПРИМЕР: Решить уравнение х4 – 10х2 + 9 = 0, Положим, что х2 = у, получим уравнение у2 – 10у + 9 = 0. Решая его, находим у1 = 9 и у2 = 1. Следовательно, задача сводится к решению совокупности двух уравнений:

   Þ

Итак, корнями биквадратного уравнения х4 – 10х2 + 9 = 0 являются числа х1 = 3; х2 = -3; х3 = 1; х4 = -1.

Замечание: Говорят, что несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставиться задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Уравнения, образующие совокупность, объединяются знаком [, как в рассмотренном примере.

Теорема Виета

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение записывают в виде:

x2 + px + q = 0.

Теорема: Если приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни х1 и х2, то их сумма равна (-p), а их произведение равно q, то есть

х1 + х2 = - р х1 · х2 = q.

Обратная теорема: Если существуют два числа, сумма которых равна – р , а произведение равно q, то эти числа – корни уравнения x2 + px + q = 0.

ПРИМЕР: Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 2 и – 5. По теореме Виета – р = 2 + (-5) = - 3, то есть р = 3. q = 2 · (-5) = - 10. Следовательно, искомое уравнение х2 + 3х – 10 = 0.

 

Рациональные уравнения.

      Определение: Уравнения вида f(x) = g(x), где f(x) и g(x) - рациональные выражения, называются рациональными. Если f(x) и g(x) целые выражения, то уравнение называется целым. Например, линейное и квадратное уравнения - целые. Если хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) - дробные, то уравнение называют дробным. Дробное уравнение сводится в процессе решения к целому.

ПРИМЕР: Решить уравнение  

Найдём О.Д.З. Значения х = 2 и х = 0 обращают в нуль знаменатели дробей. следовательно, О.Д.З. представляет из себя объединение промежутков       (- ∞; 0) U (0; 2) U (2; + ∞).

Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.

   Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а сама дробь имеет смысл. Следовательно, х2 – 6х + 8 = 0. Находим корни: х = 4 и х = 2. Значение х = 2 не принадлежит О.Д.З. Следовательно уравнение имеет один корень х= 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Анализ научно-методической литературы показал, что проблема обобщения и систематизации учебного материала достаточно разработана. Подробно разработана терминология, выявлены педагогические основы определения основных типов уроков.

Анализ нормативных документов дает основание сказать, что вопрос о требованиях к выпускным экзаменам полностью соответствует методическим особенностям, определяет содержание и процедуру проведения выпускных экзаменов.

В то же время в методической литературе не достаточно выявлена связь между процессом обобщения и систематизации и выпускными экзаменами в школе.

В представленной работе выявлены пути разрешения этой проблемы. Предъявлена методика, состоящая из организации повторения на уровне содержательных линий с использованием различных типов уроков. Об этом свидетельствует результат проведения экзамена за курс основной школы и результаты контрольных работ.

Таким образом, возникает необходимость естественного усовершенствования уроков обобщения и систематизации знаний, умений и навыков, разработки и подбора задач и упражнений, у которых должна прослеживаться логическая взаимосвязь.

Регулярность, строгая последовательность и система в проведении таких уроков - необходимое условие повышения эффективности обучения.

 

ЛИТЕРАТУРА

Виды обобщения в обучении. ВВ. Давыдов - М., Педагогика, 1972.

Методика преподавания математике в средней школе. Общая методика. М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 1975.

Организация и содержание повторения. Б.В. Сорокин - М.: Просвещение , 1989.

Приемы педагогической техники. А.А. Гин. - М.; Вита-Пресс, 2000.

Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. Л.В. Кузнецова и др. - М.: Дрофа, 2010.

Тематический контроль по алгебре в 9 классе. М.Б. Миндюк, Н.Г. Миндюк. - М.: Интелект-Центр, 2001.

Уроки алгебры в 9 классе. В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева. - М.: Вербум-М, 2008.

Программы общеобразовательных учреждений. Математика – М: Просвещение, 2006.

Контрольные и проверочные работы по алгебре в 9 классе.
Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, Б.В. Козулин. Методическое пособие. -М.: Дрофа, 2010.

Методические рекомендации к проведению проведению обобщающего повторения. В.А. Далингер. МвШ. 1989, № 2

Баймуханов Б. Б. Тематический контроль и учет знаний // Математика в школе, 2006. - №5.

Борода Л.Я. Некоторые формы систематизации знаний на уроке // Математика в школе, 2005. - №4.

Вахламова А. П., Рабунский Е. С. О систематической взаимопроверке знаний учащихся на уроках // Математика в школе, 2004. - №1.

Как подготовить уроки-практикумы. Т.А. Иванова. МвШ. 1990, № 6