Варвара Павлова

Урок геометрии в 8 классе на тему «Площадь параллелограмма»

Материал опубликован 26 November 2018

Работа с теоремой. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Профессиональный этап:

Логико-математический анализ

Теорема сформулирована в категоричной форме, ее можно представить в импликативной: если четырехугольник параллелограмм, то его площадь равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию.

(х)M	A(x)			B(х)
М-четырехугольники	x-параллелограмм		площадь равна произведению основания и высоты

Обратная теорема(1): Если площадь четырехугольника равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию, то этот четырехугольник- параллелограмм.

Противоположная(0): Существует параллелограмм, у которого площадь не равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию.

Противоположная обратной(0): Если площадь четырехугольника не равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию, то этот четырехугольник- параллелограмм.

Подготовительный этап:

Актуализация знаний

Учитель в форме беседы задает следующие вопросы / действия учителя:	Ожидаемые ответы / действия учеников:
Назовите мне основные свойства площадей:	а) Площади равных многоугольников равны; б) площадь многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников; в) площадь квадрата равна квадрату стороны.
Как называется данная фигура? Чему равна ее площадь?	а) Прямоугольник; б) , где a, b- смежные стороны
Постройте прямоугольник и найдите его площадь, если одна сторона равна 6 см, а другая 8 см	а) ,
Как называется данная фигура? Назовите ее свойства?	а) Параллелограмм; б) в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны; в) диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам; г) углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны ; д) диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника; е) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Мотивация необходимости изучения

Учитель в форме беседы задает следующие вопросы / действия учителя:

Ожидаемые ответы / действия учеников:

Постройте параллелограмм и найдите его площадь, если одна сторона равна 6 см, а другая 8 см.

В таком случае демонстрируется рисунок прямоугольника со сторонами и параллелограмма 6 см и 8 см.

а) Невозможно найти или не умеем находить.

б) площадь равна 48 или какой-нибудь другой ответ.

Удалось ли найти площадь параллелограмма? Почему?

Как вы думаете какая тема сегодняшнего урока?

Какие бы цели вы поставили перед собой?

а) не хватает знаний для этого;

б) площадь параллелограмма

в)

Подведение к теоретическому факту

Для вычисления площади параллелограмма, познакомимся с двумя элементами. Назовем одну сторону параллелограмма основанием, а отрезок перпендикулярный основанию и включающий любую точку противоположной стороны – высотой.

У вас на партах, лежат рисунки, какие отрезки являются основанием и высотой параллелограмма? Запишите себе в тетрадь, а ваш сосед вас проверит.

№1 основание АD, высота ВН. №2 основание KL, высота SM.
№3 основание PR, высота QT. №4 основание YG, высота XZ.

Вместе с соседом из данных параллелограммов с помощью ножниц попробуйте сделать фигуру, площадь которой вы умеете находить? Что это за фигура?( прямоугольник) С помощью линейки измерьте его величины. И заполните недостающие пропуски:

№1 сторона а прямоугольника – это сторона _______ параллелограмма, равна ______ см

сторона ______ прямоугольника – это высота ВН параллелограмма, равна ______ см

а __=__ ВН=

№2 сторона а прямоугольника – это ______________ параллелограмма, равна ______ см

сторона b прямоугольника – это ______________ параллелограмма, равна ______ см

а b =__ __=

№3 сторона а прямоугольника – это ______________ параллелограмма, равна ______ см

сторона b прямоугольника – это ______________ параллелограмма, равна ______ см

а b =__ __=

№4 сторона а прямоугольника – это ______________ параллелограмма, равна ______ см

сторона b прямоугольника – это ______________ параллелограмма, равна ______ см

а b =__ __=

Учитель в форме беседы задает следующие вопросы / действия учителя:

Ожидаемые ответы / действия учеников:

С помощью элементов параллелограмма мы получили с вами новую формулу для нахождения площади прямоугольника. Прочтите ее.

Возникли ли у вас какие-либо предположения, насчет площади исходного параллелограмма и полученного прямоугольника?

Данное утверждение является теоремой.

а) произведению основания на высоту

б) они равны, а значит площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основной этап

Формулировка теоремы, Выделение условия и заключения

Учитель в форме беседы задает следующие вопросы / действия учителя:

Ожидаемые ответы / действия учеников:

Запишите в тетрадь теорему: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Давайте переформулируем теорему выделив условие и заключение.

Теперь из данного утверждения выберем то, что нам дано, и то, что нужно доказать.

а)Если четырехугольник параллелограмм, то его площадь равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию. Условие: если четырехугольник параллелограмм, заключение: площадь равна произведению основания и высоты

б) дан параллелограмм; доказать, что его площадь равна произведению основания на высоту.

Мотивация в необходимости доказательства

С помощью небольшого эксперимента мы с вами пришли к некоторому утверждению. А что, если найдется такой параллелограмм, для которого наша формула не будет верной?

Значит нам необходимо наше утверждение доказать в общем виде, то есть для любого параллелограмма.

Работа с доказательством

Учитель в форме беседы задает следующие вопросы / действия учителя:

Ожидаемые ответы / действия учеников:

Как вы считали площадь исходных параллелограммов?

Тоже самое мы с вами изобразим на чертеже.

Запишите, что дано, что нужно доказать.

Какие фигуры вы видите на данном чертеже? Все эти фигуры пригодится нам в доказательстве, итак построим таблицу: три столбца (№, Шаг, Аргумент).

а) Отрезали по перпендикуляру прямоугольный треугольник, и прикладывали его с другой стороны. Получался прямоугольник.

б)Дано:

AВСD-параллелограмм

a-основание; h-высота.

Доказать: S=ah

в) параллелограмм, прямоугольник, треугольник, трапеция.

Совместно в ходе наших рассуждений вы должны заполнить таблицу. Рассмотрим с вами четырехугольник MDCK, что это за четырехугольник? Почему?

Чему равна площадь прямоугольника MDCK по определению?

Из каких фигур состоит прямоугольник MDCK? Чему тогда равна его площадь?

Из каких фигур состоит параллелограмм ABCD? Чему тогда равна его площадь?

Давайте теперь рассмотрим два треугольника СВК и ADM. Какие они, что вы можете сказать о них, о их площадях?

а) прямоугольник, так как DM, CK-высоты к основанию AB, а значит они равны. Сторона АВ равна стороне DC, так как противоположные стороны в параллелограмме равны.

б) произведение смежных сторон

в) из треугольника СВК и трапеции MDCB; по свойству многоугольников сумме составляющих многоугольников.

г) из треугольника ADM и трапеции MDCB; по свойству многоугольников сумме составляющих многоугольников.

д) они прямоугольные и равны по гипотенузе и катету; по свойству многоугольников площади у равных фигур равны.

е) значит площадь параллелограмма равна площади прямоугольника и равна произведению основания на высоту

Доказательство

№	Шаг	Аргумент
	MDCK- прямоугольник	, , (высоты). (свойство параллелограмма)
		Формула площади прямоугольника
		Площадь многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников (свойство многоугольников)
		Площадь многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников (свойство многоугольников)
		Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе (теорема)
		Площади равных многоугольников равны (свойство многоугольников)
		Ч.Т.Д
		Ч.Т.Д

Закрепление

Первичное закрепление

Вернемся к нашей задаче стороны параллелограмма 6 и 8 см. Чего не хватает? (высоты) Пусть высота к наибольшей стороне равна 3 см. Вычислим площадь параллелограмма.