| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
 | Малова Светлана Васильевна30 |
Способы решения квадратных уравнений
Обобщающий урок по теме «Способы решения квадратных уравнений»
(к учебнику «Алгебра 8» под редакцией Г.В.Дорофеева)
Цели урока
Образовательные: обобщение и систематизация основных знаний и умений по теме, формирование умения решать квадратные уравнения различными способами.
Развивающие:
развитие логического мышления, памяти, внимания школьников;
формирование умения выделять главное, развитие познавательного интереса, мыслительной деятельности, вычислительных навыков, кругозора школьников.
Воспитательные:
воспитание самостоятельности, трудолюбия, взаимопомощи, взаимоуважения, осмысленной учебной деятельности и воспитание математической речевой культуры.
Задачи урока:
- применить полученные знания на практике;
- самоконтроль, самооценка, умение действовать в нестандартной ситуации;
- расширить кругозор учащихся.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, урок – смотр знаний.
Формы работы на уроке: индивидуальная, фронтальная, групповая, коллективная.
Методы обучения: эвристический, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка.
Ход урока. Здравствуйте, ребята, сегодня нам предстоит поработать над очень важной темой: «Способы решения квадратных уравнений». Вы уже достаточно знаете и умеете по теме «Квадратные уравнения», поэтому перед нами стоит задача: обобщить и сложить в систему все знания и умения, которыми вы владеете. Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов: В класс вошел - не хмурь лица,
Будь разумным до конца.
Ты не зритель и не гость –
Ты программы нашей гвоздь.
Не ломайся, не смущайся,
Всем законам подчиняйся.
А законы у нас такие: каждый из вас имеет возможность получить отметку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свой успех в баллах. Желаю всем удачи.
Карта результативности
ФИ | Разминка | Тест | Решение уравнений в группе | Решение уравнений у доски | Самостоятельная работа | Итого |
Количество баллов | | | | | | |
I.Разминка. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую устную разминку. Каждый правильный ответ соответствует 1 баллу. (К доске выходит один ученик, отвечает на вопросы, остальные оценивают его ответы при помощи сигнальной линейки).
1. Какое название имеет уравнение второй степени?(квадратное)
2. Какие виды квадратных уравнений вызнаете? (полное, неполное, приведённое, неприведённое)
3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство? (корень)
4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)
5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0? (два)
6. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 1? (приведённое)
7. Сколько корней имеет квадратное уравнение, еслиД<0? (корней нет)
Результаты разминки отметьте в карте результативности. После разминки вы сможете успешно ответить на вопрос: «В каком древнем городе около 2000 лет до н.э. впервые научились решать квадратные уравнения?» Задание раздать по группам. Победители ставят по 1 баллу в карту результативности.
1. Как называется уравнение вида ах2 +вх+с=0?
2. Название выражения в2 - 4ас
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0 ?
4. Сколько коней имеет квадратное уравнение если D = 0 ?
5. Чему равен корень уравнения ах2 = 0 ?
6. Как называется квадратное уравнение, где коэффициенты в или с равны нулю?
7. Как называется квадратное уравнение, в котором коэффициент а =1
Ответы:
II. Проверим, как вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны несколько уравнений. Напротив каждой колонки вы ставите плюс, если оно принадлежит к данному виду.
Тест «Виды квадратных уравнений»
| | Полное | Неполное | Приведённое | Неприведённое | Баллы |
1 | х2 + 8х+3 = 0 | | | | | |
2 | 6х2 + 9 = 0 | | | | | |
3 | х2 – 3х = 0 | | | | | |
4 | –х2 + 2х +4 = 0 | | | | | |
5 | 3х + 6х2 + 7 =0 | | | | | |
6 | 2х2 - 7 = 0 | | | | | |
7 | 5х2 = 0 | | | | |
Критерий оценивания:
Нет ошибок – 5 баллов;
1ошибка – 4балла;
2 – 3 ошибки –3балла;
4 – 5ошибок – 2балл;
6 ошибок – 1 балл
7 ошибок – 0 балл;
Ребята выполняют работу, а затем меняются листочками и по ключу проверяют ответы, оценивая работу товарища. Результат записывается в колонку «Оценочный балл», а затем в «Карту результативности».
Ключ к тесту:
1 | + | | + | |
2 | | + | | + |
3 | | + | + | |
4 | + | | | + |
5 | + | | | + |
6 | | + | | + |
7 | | + | | + |
III. Задание 3.1 Молодцы, с видами квадратных уравнений мы разобрались. Значит, вы сможете выяснить при каких значениях параметра m уравнение
(2m-5)x2+(4m+8)x+36=0:
а) является приведенным квадратным уравнением (m = 3)
в) является неполным квадратным уравнением (m = – 2)
с) не является квадратным уравнением (m = 2,5)
Прошу открыть тетради, записать число, тему сегодняшнего урока и выполнить данное задание.
Задание 3.2 Попытаемся выяснить, какие способы можно применять при решении квадратных уравнений. Каждой группе предлагается 4 уравнеиия, среди которых нужно выбрать «лишнее», объяснить, почему оно является «лишним» и попытаться решить его рациональным способом.
1 группа | 2 группа | 3 группа | 4 группа |
3х2+5х-8=0 0,3х2-х+7=0 х2-25=0 (х-2)(х+3)=0 | х2-3х+4=0 3х2+5х-8=0 х2+х-8=0 7х+ х2-8=0 | 4х2-5х+2=0 -х2+5х-8=0 3,5х2+х+1=0 х2+2х–8=0 | 3х2-х=0 х2-81=0 х2-10х+25=0 2х2=0 |
Учащиеся в группе быстро определяют «лишнее» уравнение и один ученик отвечает на вопрос и выполняет его решение для всех у доски.
Дополнительные вопросы по заданию:
1 группа – все уравнения полные, кроме х2-25=0.
1). Уравнение х2– 25=0 решить двумя способами (разложение на множители, приведение к уравнению вида х2 = а). Какой способ рациональней?
2). Какие ещё есть виды неполных уравнений? Приведите примеры.
5х2 + х=0, –3х2 – 2х=0. Определить способ решения.
2 группа – все уравнения приведённые, кроме 3х2+5х-8=0. Решается одним способом: при помощи дискриминанта D = в2 – 4ас.
3 группа – все уравнения полные неприведённые, кроме х2+2х–8=0.
Рассмотреть пять способов решения:
1).При помощи дискриминанта D = в2 – 4ас;
2). При помощи сокращённого дискриминанта D1 = к2 – ас;
3). По теореме Виета;
4) Выделением полного квадрата двучлена;
5) Графический способ.
4 группа – все уравнения неполные, кроме х2-10х+25=0.
Задание 3.3 Установите связь между квадратным уравнением и способами его решения (все вместе):
Уравнения | Способы решений | ||
1 | ах2+2kх+с=0 | а | Уравнение не имеет решения при - |
2 | ах2+с=0 | б | х1,2= |
3 | ах2 =0 | в | х1,2 = |
4 | ах2+вх=0 | г | х1,2 = |
5 | ах2+вх+с=0 | д | х1 = 0, х2 = - |
ж | х = 0 | ||
, при - 
Ответ: 1 – в; 2 – а, г; 3 – ж; 4 – д; 5 – б.
Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств, большого количества разных типов задач.
В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. В математической науке есть десять способов решения квадратных уравнений.
Способы решения квадратных уравнений, изучаемые в школе: (дети перечисляют)
Разложение левой части на множители
Метод выделения полного квадрата
С применением формул корней квадратного уравнения
С применением теоремы Виета
Графический способ
Продвинутые способы решения квадратных уравнений (знакомит учитель):
Способ переброски
По свойству коэффициентов
С помощью циркуля и линейки
С помощью номограммы
Геометрический
IV. Решение квадратных уравнений
Предлагаются разноуровневые задания по решению квадратных уравнений (3 ученика самостоятельно решают уравнения у доски, остальные – организуют свой труд дифференцированно, оценивая собственные силы самостоятельно, т.е. выбирают для себя тот уровень задания, который соответствует их потребностям и возможностям в данный момент):
Уровень А (на «3») | Уровень В (на «4») | Уровень С (на «5») |
1). 1/3х2 – 3 = 0 2).х2 – 8х + 16 = 0 3).х2 + 12х + 27 = 0 4). 3х2 – 5х – 2 = 0 | 1).½ х2 + 3х = 0 2). 1/16 – ½ х + х2 = 0 3).х4 – 13 х2 + 36 = 0 4). х2(х – 3) – 10х(х – 3) + 24(х – 3) = 0 | 1).√2х2 – √18 = 0 2).(х2 – х)2 –4(х2 – х) = – 4 3).х3 + 4х2– 21х = 0 4).х – 9√х + 20 = 0 |
Индивидуальная самостоятельная работа на 2 варианта:
I вариант | II вариант |
1). 1/4 х2 – 9 = 0 2). 7х2 – 8х + 4 = 0 3).х2 + 37х + 36 = 0 4).х – 4√х + 3 = 0 | 3/2 х2 – 6 = 0 –2х2+ х – 1= 0 х2 – 35х – 36 = 0 х +√х – 6 = 0 |
V. Сегодня на уроке мы познакомимся с новым способом решения квадратных уравнений, который не изучается в школе, но он очень интересный и вовсе не сложный: «Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов».
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где, а ≠ 0.
Свойство 1
Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),
то х1 = 1, х2 = с/а
Свойство 2
Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – с/а
Пример:
1). 2x2 - 5x + 3 = 0
Так как 2 – 5 + 3 = 0, х1 = 1, х2 = 3/2
2). 3x2 + 4x +1 = 0
Так как 3 – 4+ 1 = 0, то х1 = – 1, х2 = – 1/3
Решите самостоятельно:
1 вариант: | 5x2 - 12x + 7 = 0 | | 2 вариант: | 3x2 - 7x + 4 = 0 |
VI. Учащиеся выставляют себе предварительную оценку. Листы учёта знаний и рабочие тетради, в которых выполнялась индивидуальная работа, сдаются учителю на проверку. На основании этого, учитель выставляет итоговую оценку каждому ученику.
Итак, мы проделали большую работу. Повторили всю теорию, касающуюся квадратных уравнений, решали различные их виды, как вместе, так и индивидуально. Вы старательно зарабатывали баллы, настало время подвести итог.
Подсчитайте сумму баллов заработанных в течение урока.
Критерии оценивания:
15 – 20 баллов – “5”.
9 – 14 баллов – “4”.
5 - 8 баллов – “3”.
VII. Домашнее задание
Знать формулы, с. 168, тест «Проверь себя!» № 1-8
Список используемой литературы к уроку
Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 классы. Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2016
Суворова С.Б, Кузнецова Л.Б. Методическое пособие к учебному комплекту под редакцией Г.В. Дорофеева «Алгебра 8».
