Методическая разработка занятия «Статистика и теория вероятностей»

 

 

 

 

 

 

 

 

«СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

 

(Итоговое занятие для учащихся 9 класса по подготовке к ОГЭ)

 

 

 

 

 

       Автор:

                                                                     Учитель математики ГБОУ СОШ №238

                                                                     с углубленным изучением английского языка

                                                                     г. Санкт-Петербург

                                                                     Крухмалева Марина Николаевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка

 

 Теория вероятностей и статистика – обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение.

Изучение основ комбинаторики дает возможность использования математических методов и технологии статистической обработки в различных исследованиях, позволяет учащимся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе и в простейших прикладных задачах.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:

- уметь строить и исследовать простейшие математические модели случайных событий;

- находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

- находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

- вычислять средние значения результатов измерений;

- сравнивать шансы наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;

- понимать статистические рассуждения;

-анализировать реальные числовые данные, представленные в виде диаграмм, графиков, таблиц.

Предложенные задания соответствуют теории по данной теме в пределах учебного материала для учащихся 7-9 классов.

 

 

 

 

Содержание и структура занятия:

 

 

1 блок задач:

Классическая вероятность

2 блок задач:

Теоремы о вероятностях

-вероятность противоположных событий

-сумма вероятностей событий

- произведение вероятностей событий

3 блок задач:

Геометрическая вероятность

4 блок:

Задания из ОГЭ

 

1 блок

Классическая вероятность

Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны?

Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через m1, m2, m3 - числа благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3, m2=8, m3=9. Поэтому   P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.

 

Задача 2. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение. На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит,

n=10,m=1,P(A)=0,1 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения (по вариантам)

 

 

 

2 блок

Теоремы о вероятностях

Теорема 1:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( A )=1.

 

Задача 1 (вероятность противоположных событий)

Вероятность появления бракованной детали в партии равна 0,015. Найти вероятность того, что из этой партии будет изъята небракованная деталь.

Решение.

Рассмотрим события:

А – «деталь, изъятая из партии, бракованная»

В – «из партии изъята небракованная деталь».

Очевидно, что эти два события – противоположные, тогда по теореме о вероятности противоположного события Р(В) = 1 – 0,015 = 0,985.

Ответ: 0,985.

 

 

Теорема 2: (сложение вероятностей несовместных событий).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) .

 

Задача 2 (сумма вероятностей событий)

Многократные испытания показали, что для некоторого стрелка вероятность выбить при стрельбе 10 очков равна 0,1, а вероятность выбить 9 очков равна 0,3. Чему равна для этого стрелка вероятность выбить не менее 9 очков?

Решение:

Рассмотрим события:

А1– «стрелок при выстреле выбил 10 очков»

А2 – «стрелок при выстреле выбил 9 очков»

А– « стрелок при выстреле выбил не менее 9 очков».

Очевидно, что А происходит, если происходит либо А1, либо А2, т.е. А есть сумма этих двух событий. События А1 и А2 не могут произойти одновременно, т.е. они несовместны. По условию задачи Р(А1)=0,1; Р(А2)=0,3;

По теореме сложения вероятностей

Р(А) = Р(А1 + А2) = Р(А1)+ Р(А2)=0,1 + 0,3 = 0,4

Ответ: 0,4

 

Теорема 3: Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

 

Задача 3 (произведение вероятностей событий)

На одной полке стоит 12 книг, две из которых – сборники стихов, а на другой – 15 книг, три из которых – сборники стихов. Наугад берут с каждой полки по одной книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов?

Решение:

Рассмотрим события:

А – «книга, взятая с первой полки – сборник стихов»

В – «книга, взятая со второй полки – сборник стихов»

С – «обе взятые книги – сборники стихов».

Вероятности этих событий:

Р(А) = 2/12=1/6

Р(B) = 3/15=1/5

Событие C состоит в одновременном наступлении событий А и В, т.е. является их произведением. События А и В являются независимыми, поэтому по теореме умножения вероятностей

Р(С) = Р(АхВ) = Р(А)хP(B)=1/6х1/5=1/30

Ответ: 1/30

 

3 блок

Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

 

Задача 1: В прямоугольник 5*4 см вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е. Р=7,065/20=0,353

Ответ: 0,353

 

Задача 2: Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажму­рим глаза и покажем в нее указкой). Какова вероят­ность, что эта точка окажется в России?

Решение. Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Тренировочные задания:

1. На шахматной доске случайным образом выбирают точку. Какова вероятность, что она попадет:

а) на белую клетку;

б) на черную клетку;

в) на границу черной и белой клеток?

2. Реклама на канале «МММ» занимает около 20% времени телевизионных трансляций. Какова вероятность, что, переключив телевизор на этот канал, вы попадете на рекламу?

3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Ремонтная бригада, обслуживающая этот участок, располагается на 50-м километре. В какую сторону ей лучше выезжать? С какой вероятностью ваш совет окажется правильным?

4. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен:

а) 10 см; б) 5 см?

 

4 блок

Задания ОГЭ

Вариант 1.

1.В бассейне 10 дорожек, пронумерованных от 1 до 10. Пловец случайным образом выбирает одну из нечетных дорожек. Какова вероятность того, что он выберет дорожку под номером 5?

1) 0,5 2) 20 3) 0,2 4) 1

2. В контрольной работе по математике пять задач с выбором ответа. К каждой задаче предлагается четыре ответа, один из которых верный. За четыре верно решенных задачи ученик получает оценку «4». Какова вероятность получить «4», если случайным образом отметить верные ответы?

1) 0 ,004 2) 0,0048828 3) 0,0049 4) 0,048828

3. При стрельбе относительная частота попаданий оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего проведено 120 выстрелов.

1) 12 2) 141,7 3) 140 4) 102

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1) 2) 3) 4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1) 2) 0,5 3) 0,125 4)

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002

 

 

Вариант 2.

1.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите:

1) 2 2) 56 3) 30 4)

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1) 2) 3) 4)

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,25 2) 3) 0,5 4) 0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8

 

 

 

Литература:

 

1. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания

группы В / – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен»,

2012. – 543с.

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Статистика. Вероятность. Статистическая обработка данных – М.: Мнемозина, 2008

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей – М.: Просвещение, 2006

4. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность – М.: Просвещение, 2005

5. Студенецкая В.Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей – Волгоград: Учитель, 2009

6.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш.Кремер. – М. : Юнити, 2006. – 573 с.