Технологическая карта учебного занятия «Производная функции. Производные элементарных функций»

Новое поколение федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования основано на формировании универсальных учебных действий обучающихся. Наглядно представить соотношение результатов обучения, средств их формирования и оценки помогают технологические карты занятий. Форма записи урока в виде технологической карты дает возможность максимально детализировать его еще на стадии подготовки, оценить рациональность и эффективность выбранных форм, методов, средств и видов учебной деятельности на каждом этапе урока.

Технологическая карта

Учебного занятия по

дисциплине ОУД.07 Математика.

Паспорт учебного занятия.

Тема занятия: Производная функции. Производные элементарных функций.

Цели занятия: создание условий для выведения студентами алгоритма нахождения производной функции и формирования умения применять алгоритм для нахождения производных элементарных функций

Задачи занятия:

Обучающие:

обеспечить восприятие, осмысление и запоминание определения производной функции;

сформировать навык применения алгоритма нахождения производных элементарных функций;

продемонстрировать возможность использования полученных знаний при решении практических задач;

Развивающие:

развить логическое мышление (умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать вывод);

умение анализировать свои ошибки исправлять их в процессе решения задач;

коммуникативные;

Воспитательные;

воспитывать умение слушать друг друга;

добросовестное отношение к учебному труду;

умение сопереживать;

воспитание культуры речи.

Тип: занятие изучение нового материала, формирование новых знаний, умений и навыков.

Вид занятия: комбинированный урок.

Форма организации учебного занятия: фронтальная, групповая.

Межпредметные связи: физика, биология , химия, экономика отрасли.

Внутрипредметные связи: связь с темами «Понятие о пределе и непрерывности функции». «Понятие о приращении аргумента и приращении функции».

Наглядные и демонстрационные материалы: дидактический материал, справочная литература, опорные конспекты, презентация урока, раздаточные материал.

Техническое обеспечение: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

Педагогические технологии: технология проблемного обучения, элементы технологии взаимного обучения, технология критического мышления (вызов, осмысление, рефлексия), технология системного деятельного подхода.

Формируемые компетенции:

-Самоорганизация, самообучение:

ОК 1-7. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития. Работать в коллективе, обеспечить его сплочение эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Структура учебного занятия

 

Ход занятия

Учебный элемент 1.(3 мин.). Организационный момент. (Готовность к уроку, выявление отсутствующих студентов).

Тема урока: Определение производной. Примеры вычисления производной.

 

Цели:

Ввести строгое определение понятия производной функции;

Дать обозначения и объяснить смысл новой для студентов операции дифференцирования;

Ввести алгоритм нахождения производной;

Овладеть умением вычисления производных функций по алгоритму.

 

Учебный элемент 2 (7 мин.) Актуализация знаний.

Повторение тем: «Понятие о приращении аргумента и приращении функции»,

«Понятие о пределе и непрерывности функции».

2.1 Фронтальный опрос (Приложение №1)

Вспомните понятия и определения:

Понятие приращения аргумента - ;

Понятие приращения функции - ;

Определение предела функции - ;

Какими числами могут быть приращение аргумента и приращение функции;

Назовите алгоритм определения приращения функции в заданной точке Х; соответствующие приращению аргумента

Находим значение х+

Вычислим значение f(x)

Вычислим значение f (x+

Находим приращение функции

2.2 Устная работа. (Приложение №1А).

Найдите приращение функции f(x)=x2-x+5, в точке х=1, если .

Х+

Определим f(1)=12-1+5=5

Определим f(1,2)=1,22-1,2+5=5,24

Вычислим

 

2.3 Проверка домашнего задания (приложение № 2)

Проверьте самостоятельно выполнение вашей домашней работы, сравнив с решением на экране, и оцените его.

Если задание выполнено верно, то ставьте себе на полях 2 балла.

Если допущенные вычислительные ошибки при правильном применении формул, то ставьте 1 балл ( в первых 2-х примерах)

В 3-ем примере засчитывается только правильное решение; ставьте 1 балл.

 

Учебный элемент 3 (13 мин.) Подготовительный этап. (Мотивация).

Двум студентам было дано домашнее задание - провести мини- исследование на тему: «Прикладное значение производной» Выступления студентов должны содержать материал, в котором отражается применение производной в различных областях науки; физика, биология, химия, экология, экономика и значение производной функции в математике.

Задание студентам: В процессе выступлений определите основные области применения производной и зафиксируйте в тетради ответ в виде таблицы. (Приложение №3).

 

Учебный элемент 4 (32 мин). Изучение нового материала.

Опираясь на имеющиеся у студентов представления о производной (как угловом коэффициенте касательной) ,ввести точное определение производной функции f в точке х0, дать обозначения и объяснить смысл новой для студентов операции дифференцирования.

На основе определения производной функции зафиксировать основные этапы нахождения производной, по её определению получить схему; алгоритм. (Приложение № 4).

Работа у доски по алгоритму (Приложение № 5).

 

Учебный элемент 5 (26 мин). Закрепление материала.

Работа в полных группах. Задание по вариантам для каждой группы. Студенты получают «Рабочий лист» (Приложение №6) в котором производят вычисления, а по окончании сдают преподавателю на проверку.

Учебный элемент 6 (6 мин). Подведение итогов занятия. Рефлексия

Повторение теоретического материала по теме: «Определения производной. Примеры вычисления производной» (Приложение №7).

Выставление баллов в оценочных листах (Приложение№ 8).

Учебный элемент 7(3 мин). Информация о внеаудиторной самостоятельной работе, инструктаж по её выполнению.

Приложение № 2: Домашняя работа

Дано: Решение:

f(x)=2x2 + 3x + 1

X = 1 1. Найдём значение x1:

X=0,1 x1=x + = 1 + 0,1 = 1,1

Найти: 2. Вычислим значение f(x):

f(x) f(1)=2*12+3*1+1=6.

3. Вычислим значение f(x+:

f(1,1)=2*1,12+3*1,1+1=6,72.

4. Найдём приращение функции:

0,72

Ответ:

балла)

2.Дано: Решение:

f(x) =+ 2 1. Найдём значение х1:

X = 1 х1=х+=1+0,2=1,2.

x=0,2 2. Вычислим значение f(x):

Найти:

f(x)= +2=4

3. Вычислим значение f(x+);

f(1,2)=+2=+21,39+2=3,39

4. Найдём приращение функции:

Ответ: (2 балла)

3.Дано: Решение:

y=kx+m а) f(x)=kx+m

Найти: f(x+

;

lim

Итак: для заданной линейной функции y=kx+m получили

б) lim (1 балл)

Критерии:

Если задания №1 №2 выполнили верно, то ставьте себе на полях 2 балла.

Если допущены вычислительные ошибки, при правильном применении формул, то ставьте по 1 баллу (В первых двух примерах).

В третьем задании засчитывается только верное решение, при правильном выполнении ставьте 1 балл.

Приложение № 4: Общее правило вычисления производной:

Вычислить значение функции y, соответствующее данному значению аргумента x;

Придать данному значению аргумента приращение ∆x и вычислить новое значение функции;

Вычесть прежнее значение функции из нового и тем самым определить приращение ∆y функции;

Составить отношение , т.е. разделить вычисленное приращение на ;

Найти предел отношений при ; этот предел и дает искомую производную.

Приложение № 5: Вычислить производную функции по алгоритму:

 

Пример 1. Найти производную линейной функции в точке .

Решение. Выполняем последовательно операции 1 – 3.

Находим приращение функции:

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Находим производную данной функции:

 

Пример 2. Найти производную функции .

Решение.

 

Пример 3. Найти производную функции в любой точке , найти производные данной функции в точках

Решение.

 

Приложение №6:

Решение задач на тему: «Определение производной функции.

Прикладное значение производной».

 

 

Задание №1

Пользуясь определением производной, найдите производные функции:

Критерии оценки:

Получен верный ответ – 2 балла.

Допущен один недочет – 1 балл.

Более двух недочетов – 0 баллов.

 

Задание №2

Закон движения точки по прямой задается формулой , где – время (в секундах), – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения.

Найдите среднюю скорость движения точки с момента до момента:

Вычислите мгновенную скорость точки в момент времени .

Критерии оценки:

Получен верный ответ – 2 балла.

Допущен один недочет – 1 балл.

Более двух недочетов – 0 баллов.

 

Задание №3

Функция задана своим графиком. Определите значения и , если график функции изображен:

Критерии оценки:

Получен верный ответ – 2 балла.

Допущен один недочет – 1 балл.

Более двух недочетов – 0 баллов.

 

Самооценка работы:

Оценка «5» - 6 баллов

Оценка «4» - 4 – 5 балла

Оценка «3» - 4 балла

Оценка «2» - 0 – 3 баллов

 

Приложение № 7.

Основные результаты:

Вы повторили, и познакомились с новыми терминами математического языка:

Числовая последовательность;

Монотонная (возрастающая или убывающая) последовательность;

Ограниченная (сверху, снизу) последовательность;

Предел последовательности;

Сходящаяся последовательности, расходящаяся последовательность;

Окрестность точки, радиус окрестности;

Сумма бесконечной геометрической прогрессии;

Предел функции на бесконечности;

Предел функции в точке;

Приращение аргумента, приращение функции;

Производная;

Дифференцированная функция;

Дифференцирование;

Касательная к графику функции.

Вы повторили обозначения, и - новые символы математического языка:

Lim yn – предел последовательности;

или (x) –производная.

Мы зафиксировали формулы и правила:

Для вычисления пределов последовательностей и функций.

Мы сформировали алгоритмы:

Вычисления приращения функции;

Вычисление производной.

Приложение № 8 (для преподавателя).

 

Приложение №9: Внеаудиторная самостоятельная работа.

 

Повторить определение производной функции.

Выучить алгоритм нахождения производной функции.

Вычислить: , если: