Урок на тему: «Приближенные вычисления»

Тема: Приближенные вычисления

Цель:

Образовательная –ознакомить учащихся с понятием абсолютной и относительной погрешности

Развивающая – развивать познавательный интерес учащихся, умение выделять главное, сравнивать, анализировать

Воспитательная – воспитание умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентация для сопровождения урока.

 

Ход урока.

Постановка цели урока - 1мин

Сегодня на паре мы вспомним и закрепим такие понятия как «Абсолютная и относительная погрешности». Научимся их вычислять. Как вы можете объяснить слово «погрешность» ? Действительно, в жизни это слово связано с допущением какой-то неточности, ошибки. А теперь узнаем, что же означает данное понятие в математике?

II. Проверка студентов учащихся к уроку

Проводится устная, фронтальная работа, с целью актуализации прежних знаний.

 

1. Что такое модуль числа?

2. Определите, чему равен модуль разности: 5 и 3; 7 и 9; 5 и -9;

3. Вспомните правила округления чисел. Округлите 2,635; 10,781 – до десятых, сотых.

III. . Изучение нового материала и закрепление пройденного.

Чтобы понять что такое абсолютная погрешность-выполним следующее задание:

По графику функции у=х 2 найдем приближенное значение функции при заданных значениях аргумента (примерно по графику 2, 3 и 4,4), затем по формуле у=х 2 при х =1, 5 и х = 2,1 точные значения функции при тех же значениях аргумента.

Затем находим на сколько приближенное значение отличается от точного значения.

Вводится определение абсолютной и относительной погрешности.

Абсолютная погрешность показывает на сколько

приближенное значение отличается от точного, т.е. точность приближения.

Относительная погрешность оценивает качество измерения и

выражается в процентах.

Если х ≈ α, где х – точное значение, а α – приближенное, то абсолютная погрешность будет: │х – α │, а относительная: (│х – α │∕ │α│)х 100%

В том случае, когда невозможно найти абсолютную погрешность, необходимо указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Пример округления десятичных дробей.

 

IV. Закрепление изученной темы.

1. Рассмотрим вычисление абсолютной и относительной погрешности

Дана функция у=х³, найти абсолютную и относительную погрешность

при х=0,2 , при х=1,6 , при х=1,9

По графику.

При х=0,2 у≈0,05

При х=1,6 у≈3,8

При х=1,9 у≈6,6

По формуле.

При х=0,2 у=0,2³=0,008

При х=1,6 у=1,6³=4,096

При х=1,9 у=1,9³=6,859

Абсолютная погрешность.

\0,008-0,05\=\-0,042\=0,042

\4,096-3,8\=\0,296\=0,296

\6,859-6,6\=\0,259\=0,259

Найдем теперь относительную погрешность.

17,26≈17,3 \17,26-17,3\=\-0,04\=0,04

12,034≈12,0 \12,034-12,0\=\0,034\=0,034

8,654≈8,7 \8,654-8,7\=\-0,046\=0,046

Отчего зависит точность приближенного значения?

Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.

Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 ( ≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,10 , значит точность до 0,1 ( ≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 ( ≤ 200).

Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 ( ≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 ( ≤ 0,01).

Точнейшие в мире измерения производятся в лабораториях Института

мер.

Всегда ли можно найти абсолютную и относительную погрешности?

Не всегда можно найти абсолютную погрешность, так как неизвестно

точное значение величины, а отсюда и относительную погрешность.

В этом случае принято считать что абсолютная погрешность не превосходит цены деления шкалы прибора. Т.е. если например цена деления линейки 1мм = 0,1см, то абсолютная погрешность будет с точностью до 0,1 ( ≤ 0,1) и будет определена только оценка относительной погрешности (т.е. ≤ какому числу %).

Часто приходится с этим встречаться в физике при демонстрации опытов, при выполнении лабораторных работ.

Задача. Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками: одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая - с точностью до 1см (деления через 1см).

ℓ1 = 20,4см ℓ2 = 20,2см

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1 : 20,2 = 0,0495 = 4,95%

 

Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).

В первом случае точность измерения выше. Мы говорим не о величине

относительной погрешности, а ее оценке.

На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся

штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:

d = 9,86см = 98,6мм

0,1 : │98,6│= 0,1 : 98,6 = 0,001 = 0,1%

Относительная погрешность с точностью до 0,1% (т.е. ≤ 0,1%).

Если сравнить с предыдущими двумя измерениями, то получается точность измерения выше.

Из практических примеров можно сделать вывод: что точных значений быть не может, производя измерения в обычных условиях.

Но чтобы точнее выполнить измерение нужно взять измерительный прибор цена деления которого как можно меньше.

2.Выполнение упражнений на закрепление с компьютерных слайдов.

Ответим на вопрос: При измерении длины стержня пользовались линейкой, штангенциркулем, микрометром. При этом были получены результаты 17,9 мм; 18 мм; 17,88 мм. Каким прибором измеряли?

Найдите абсолютную погрешность, полученную в результате округления

а) до десятых 6,56; 0,475; 3,671

б) до десятков 124; 361; 720

Подведение итогов урока.

Сформулируйте определение абсолютной погрешности.

Если нельзя найти абсолютную погрешность, каким понятием пользуются? (точность измерения).

Чему равна точность измерения? (цене деления прибора).

Приведите примеры точности измерения некоторых приборов.

Для чего используется относительная погрешность? Приведите пример.

Что такое относительная погрешность?

Домашнее задание:

При вычислении дробь 11/20 заменили десятичной дробью 0,5. Какова абсолютная погрешность этого приближения?

Найдите с помощью графика функции y=x2 значение y при x =2,4.Вычислите абсолютную погрешность полученного приближенного значения.

Тренировочные упражнения (в случае наличия времени)

Викторина. (За каждый правильный ответ – 1 балл)

 

В каких примерах значения величин точные, а в каких приближенные?

Примеры:

1. В классе 36 учеников

2. В рабочем поселке 1000 жителей

3. Железнодорожный рельс имеет длину 50 м

4. Рабочий получил в кассе 10 тысяч рублей

5. В самолете ЯК – 40 120 пассажирских мест

6. Расстояние между Москвой и Санкт – Петербургом 650 км

7. В килограмме пшеницы содержится 30000 зерен

8.Расстояние от Земли до Солнца 1,5 ∙ 108 км

9. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «1000», а другой ответил «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

10. Буханка хлеба весит 1 кг и стоит 2500 р.

11. Тетрадь в 12 листов стоит 600 р. и имеет толщину 3 мм

Презентация "Погрешности"
PPT / 2.16 Мб