Урок по геометрии в 10 классе на тему «Многогранники»

Здравствуйте! Меня зовут _____________.

А какой сегодня день? (ответы учащихся)

А что особенного произошло в этот день?

Ребята, а почему вы не назвали, что сегодня у вас открытый урок, который проведу я , и это будет самый лучший урок во Вселенной. А еще 25.02.1992 года указом президента РФ было создано Российское космическое агентство.

А как связан космос с математикой?

Существует гипотеза, в соответствии с которой Земля является огромным кристаллом. Впервые предложение о том, что Земля не шар, а кристалл – твердое тело, имеющее упорядоченное, симметричное строение, высказали греческие ученые: математик Пифагор и философ Платон. Современная наука и исследования космоса опровергли данную гипотезу. Спасибо нашему космическому агентству.

А из каких фигур состоит модель Земли? А какие из них являются фигурами на плоскости? А какие в пространстве?

Каким общим словом можно назвать такие фигуры? (многогранники)

Правильно, это тема нашего сегодняшнего урока. Предлагаю вам окунуться в удивительный мир многогранников, в котором мы:

- узнаем...

- исследуем....

- выведем....

Итак, мы узнали, что Земля, по мнению древнегреческих ученых, - это многогранник. А что это такое?

- определение многогранника

- элементы многогранника.

Многогранники бывают разные. Так, например, что это за фигура? (Если знает, то Помощник)

Какой многогранник называется выпуклым? (Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости его граней).

Как вы думаете, какой многогранник называется правильным? (ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.)

Существует пять правильных многогранников. Почему же многогранники получили такие имена? Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:  «эдра» - грань,«тетра» - 4,«гекса» - 6,«окта» - 8,«додека» - 12, «икоса» - 20.

Правильными многогранниками восхищались Пифагор и его ученики. Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся»

Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны

Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

Пятый элемент – «пятую сущность» - мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкому к шару.

Исследуем многогранники подробнее. Подсчитаем число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал). Возьмите в руки тетраэдр. Давайте посчитаем вместе количество граней, ребер и вершин. А теперь поработаем по вариантам: 1 вариант работает с гексаэдром, 2 вариант – с октаэдром. Результаты не забываем занести в таблицу. Итак, что у нас получилось?

Проверим результаты заполнения таблицы 

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2”, т.е. Г + В = Р + 2.

Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер, поэтому формула названа его именем формула Эйлера. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Ребята, скоро вам предстоит сделать выбор профессии. Возможно, среди вас будущие космонавты. Но для того, чтобы им стать, нужно поступить в ВУЗ. А чтобы поступить в ВУЗ, нужно успешно сдать ЕГЭ. Вот тут-то и пригодится теорема Эйлера. Попробуем решить такие задачи.

Будем работать по группам. 1 группа – 1 задача, 2 группа – 2 задача, 3 группа – 3 задача.

Задача 1. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. Пусть у данного многогранника будет В вершин, Р ребер и Г граней. Тогда ЗГ = 2Р, где Р = 12, значит, Г = 8. Применяем теорему Эйлера, из которой следует, что В = 2 + Р - Г. В нашем случае В = 2 +12-8 = 6. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр.

Задача 2. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. ЗВ = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 8. По теореме Эйлера

Г=2-В + Р, Г = 2- 8 + 12 = 6.

Таким образом, у данного выпуклого многогранника В = 8, Р=12 и Г = 6. Примером такого многогранника является куб.

Задача 3. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. 4В = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 6. По теореме Эйлера

Г=2-В + Р, Г = 2- 6 + 12 = 8.

Таким образом, у данного выпуклого многогранника В = 6, Р=12 и Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр.

Молодцы. Чтобы стать космонавтами, вы с задание справились. У вас есть большой шанс поступить в ВУЗы страны. Но хочу убедить вас, что теорема Эйлера пригодится и в жизни. Решим все вместе следующую задачу. Условие перед вами, подумайте и посоветуйтесь в паре, есть ли варианты решения.

Задача 3. Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Предположим, что это сделать можно.

Изобразим дома синими, а колодцы — чёрными точками и каждую синюю точку соединим дугой с каждой чёрной точкой так, чтобы  девять  полученных дуг попарно не пересекались. Тогда всякие две точки, изображающие дома или колодцы, будут соединены цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти девять дуг разделят плоскость на 9–6+2=5 областей. Каждая из пяти областей ограничена по крайней мере четырьмя дугами, так как по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не меньше ½·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение неверно.

Ну что ж, мы доказали, что соседям придется мириться. Чтобы не ссориться, нужно знать геометрию. А где знания из области геометрии по нашей теме мы можем еще встретить в жизни? Ваши предположения. Подсказки на столах.

Совершенно верно. Многогранники составляют часть нашей жизни. Проведем практическое исследование. На партах у вас предметы. Подумайте, как они связаны с темой нашего сегодняшнего урока.

Благодарю. Из вас получатся настоящие исследователи не только жизни на Земле, но и в космосе. Какие же знания вы сегодня унесете с собой для того, чтобы продолжить исследовательскую работу. Выполним тест

Возьмите пульты в руки.

Приятно отметить, что вы усвоили знания. Уверен, они вам пригодятся. А те, кто совершил ошибки, скорректируют свои знания в процессе изучения геометрии. В буклетах есть мой адрес электронной почты и адрес моего сайта, где вы всегда можете задать свои вопросы.

И как последователи пифагорейцев, попробуем соотнести себя и свои знания с правильными многогранниками.

Рефлексия.

И закончить сегодняшний урок мне хотелось бы словами Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.

Надеюсь, я заинтересовал вас удивительным миром многогранников.