"Задачи с процентами решаем с лёгкостью"

Пояснительная записка

Настоящая программа предназначена для изучения элективного курса "Задачи с процентами решаем с лёгкостью" в 9 классах средних общеобразовательных школ в рамках предпрофильной подготовки и рассчитана на 17 часов.

Актуальность курса

Разработка программы данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе основной школы (5-6 классы), когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценное представление о процентах, об использовании полученных знаний в повседневной жизни. На последующих этапах обучения математике (7-9 классы) повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школы. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся. Большинство школьников не имеет прочных навыков использования знаний о процентах в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико. Оно затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства: ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию предмета, а также познавательной и социальной активности.

Цель курса

-сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту  применения процентных  расчётов в реальной жизни;

-способствовать  интеллектуальному  развитию  учащихся, формированию  качеств  мышления, характерных  для  математической деятельности и  необходимых  человеку    для  жизни  в  современном  обществе, для общей социальной  ориентации  и  решения   практических  проблем.

Задачи  курса:

Образовательные:

сформировать  умения  производить  процентные  вычисления, необходимые  для  применения  в  практической деятельности;

научить решать  основные  задачи  на  проценты, применять формулу простого и  сложного  процентного роста;

привить  учащимся  основы  экономической  грамотности;

помочь  ученику  оценить  свой  потенциал  с  точки  зрения образовательной  перспективы.

учить  ребёнка  соединять  воображение  с  логикой;

Развивающие:

развивать умение отстаивать свою точку зрения, видеть главное в рассуждениях одноклассников и учителя;

развивать умение анализа и самоанализа, оценки и самооценки.

развивать интеллектуальные умения и мыслительные операции − анализ и синтез, сравнение, обобщение

Воспитательные:

воспитывать культуру ведения дискуссии при групповой работе, при беседах и других формах работ.

Методический инструментарий.

Формы организации занятий:

самостоятельная работа по добыванию информации с помощью ИКТ;

выполнение практических работ;

оформление и защита работ учащихся;

Методы:

Эмпирические методы:

изучение литературы;

наблюдение;

анализ;

опросы, анкетирование;

тестирование;

Теоретические методы:

сравнение;

обобщение;

анализ;

классификация.

Средства обучения: компьютеры, проектор, этикетки пищевых продуктов, таблицы, литература и печатные издания.

Ожидаемые результаты обучения:

В результате изучения курса ученик должен

понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины.

уметь соотносить процент с соответствующей дробью (особенно в некоторых специальных случаях)

производить прикидку и оценку результатов вычислений

повышение интереса к предмету математика. 

Требования к уровню подготовки учащихся

Учащиеся должны знать:

определение процента, основные способы решения стандартных задач на проценты (арифметический способ, алгебраический способ, с помощью пропорций);

схему расчета банка с вкладчиками и заемщиками;

основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы;

основные этапы решения задачи на смеси, растворы и сплавы.

Уметь:

решать стандартные задачи на проценты «Нахождение процентов от числа», «Нахождение числа по его процентам», «Изменение величины в процентах»;

решать задачи на начисление простых и сложных процентов; решать с помощью уравнений, систем уравнений задачи на «смеси», «сплавы», «концентрации».

Содержание

Проценты. Основные задачи на проценты (5 часов)

История появления процентов, устранение пробелов в знаниях по решению основных задач на проценты (нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту, нахождение процента одного числа от другого). Решение задач на проценты различными способами: арифметический способ, с помощью составления уравнений, с помощью пропорций.

Актуализируются знания об арифметических приемах решения задач.

Методы: лекция, беседа, объяснение.

Формы контроля: тест

Процентные вычисления в жизненных ситуациях (4часа)

Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок, процентов в банке, процентный прирост, определение начальных вкладов. Целесообразно решение одной и той же задачи рассмотреть различными способами и вырабатывать навык отбора рационального способа решения. При решении задач на проценты необходимо развивать вычислительные навыки учащихся, формировать у учащихся умение выполнять прикидку или оценку результата вычислений, для этого учащимися предлагаются задачи из повседневной практики.

Выполнение тренировочных упражнений.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Методы обучения: выполнение тренировочных задач

Задачи на сплавы, смеси, растворы (5часов)

Основные понятия в задачах на смеси, растворы, сплавы. Термины «смесь», «чистое вещество». Понятие доли чистого вещества в смеси, понятие процентного содержания чистого вещества в смеси. Основные этапы решения задач на «смеси»: выбор неизвестных, выбор чистого вещества, переход к долям, отслеживание состояния смеси, составление уравнения, решение уравнения (или системы уравнений) запись ответа. Примеры решения задач на смеси. Примеры усложненных задач на смеси. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Формы занятий: комбинированные.

Методы обучения: лекция,  выполнение практических заданий

Решение задач по всему курсу (3 часа)

Решение разнообразных задач.

Форма занятий: практическая работа

Методы обучения: беседа, творческие задания

Календарно-тематическое планирование

Занятие №5

Решение разных задач

1)Первого октября цена на ягоды выросла на 20%,а первого ноября на 10%. На сколько процентов поднялась цена на ягоды?

Решение:

Утверждать, что цена выросла на 30% нельзя, поскольку «первые» 20% подсчитываются от цены в конце сентября, а «вторые» 10% - от другой величины, цены на конец октября.

Пусть х - первоначальная цена; 20%=0,2

х+0,2х=(1+0,2)х=1,2х - цена в октябре (120% от х)

10%=0,1

1,2х+0,1(1,2х)=1,2х(1+0,1)=1,1·1,2х=1,32х- цена в ноябре

1,32 = 132%; 132% -100% = 32%

Ответ: цена выросла на 32%

2)Число промысловых рыб в заливе в первый год сократилось на 30% , а затем 3 года подряд возрастало соответственно на 25%, 35%,40%. В итоге число промысловых рыб достигло 132300.Сколько промысловых рыб в заливе было первоначально30%?

Решение:

Пусть х рыб было в заливе, х N. Согласно условию задачи в первый год их число составило х-0,3 х = (1-0,3)х = 0,7х.

Затем 3 года подряд число рыб возрастало соответственно на 25%, 35%, 40%, то есть получим

а) 0,7х + 0,25(0,7х) = 1,25 ∙0,7х = 0.875х = ;

б) +0,35∙ =1,35 ∙

в) 1,35 ∙ +0,4∙(1,35 ∙ =1,4∙1,35∙ =

В итоге количество рыб достигло

Получим уравнение =132300

х=80000

Ответ: 80000 рыб было первоначально

3) Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального уровня?

Решение:

Пусть х продукции выпускало предприятие, х>0

х - 0,2х = 0,8х продукции стало выпускать после того, как уменьшило на 20%.

Пусть на р% (р>0) нужно увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального уровня, тогда получим уравнение:

0.8Х+ ∙(0,8х) = х;

(1+)∙0,8х=х

(1+)=

р=25

Ответ: на 25%

4) Ежемесячный доход семьи складывается из заработной платы отца и матери. Заработная плата отца увеличилась на 35%, матери на 5%. В результате семейный доход увеличился на 30%.Во сколько раз заработная плата отца до повышения была больше заработной платы матери?

Решение:

Пусть х условных единиц заработная плата отца до повышения, у условных единиц - зарплата матери, х>0, у>0.

Согласно условию задачи зарплата отца стала равной х + 0.35х = 1.35х, а матери: у + 0,05у = 1,05у. Семейный доход составил (1,35х + 1,05у) условных единиц с одной стороны и (х + у) + 0,3(х + у) = 1,3(х + у) условных единиц с другой стороны. Получим уравнение с двумя неизвестными:

1.35х + 1,05у = 1,3(х + у)

Нужно узнать, во сколько раз зарплата отца до повышения была больше зарплаты мамы, то есть необходимо найти

1,35х + 1,05у=1,Зх + 1,Зу;

0,05х = 0,25у;

Ответ: в 5 раз зарплата отца была больше зарплаты матери.

7) Во втором круге футбольного чемпионата команда «Зубило» увеличила по сравнению с первым кругом количество забитых голов на 65%, а команда «Метеор» - на 40%. В итоге общее число голов, забитых обеими командами, возросло в 1,5 раза. Сколько процентов от общего числа голов, забитых обеими командами в первом круге составляли голы, забитые командой «Метеор»?

Решение:

Пусть в первом круге х, у - количество забитых голов командой «Зубило» и «Метеор» соответственно, х € N, у € N. Общее число голов в первом круге составит х+у. По условию задачи во втором круге команда «Зубило» забила х+0.65х = 1,65х голов, а «Метеор» - у + 0,4у = 1,4у голов. Общее число голов во втором круге составило 1,65х+1,4у, а, с другой стороны возросло в 1,5 раза по сравнению с первым кругом, то есть составило 1,5(х+у).

Получим уравнение:

1,65+1,4у=1,5(х+у);

0,15х = 0,1у;

1,5х = у;

Отвечая на вопрос задачи, найдем

Ответ: 60% от общего числа голов, забитых обеими командами в первом круге составляли голы, забитые командой «Метеор».

Занятие №13

Задачи на сплавы, смеси, растворы

В задачах на смеси (сплавы, растворы) можно выделить несколько приемов, удобных для их решения:

1) В некоторых задачах со смесями рассматриваются смесь двух веществ. При этом количество одного из веществ смеси изменяется, а другого остается постоянным. Обычно в условии сообщается доля, которую составляет в смеси меняющееся вещество. В таких задачах удобно пересчитывать сначала долю неизменного вещества и при составлении уравнения использовать неизменность количества этого вещества в процессе преобразования смеси. Часто такой метод называют методом «сухого остатка».

2) Если в задаче идет речь о смешивании нескольких различных смесей, каждая из которых включает одни и те же вещества, то бывает удобно разделить исходные смеси на составляющие их вещества - компоненты и учитывать, что в итоговой смеси количества этих компонентов вкладываются из их количеств в исходных смесях.

3) Если со смесью двух веществ последовательно производят несколько действий, то бывает удобно отслеживать количество одного из веществ в смеси после каждого из совершаемых действий.

Для такого отслеживания часто используют понятие концентрации вещества в смеси, то есть вычисляют какую массовую или объемную долю составляет данное вещество.

Пусть даны два различных вещества А и В соответственно с массами . и .Масса смеси, составленной из этих веществ,

равна =т. Массовой концентрацией вещества А в смеси называется величина =m вещества В величина =m При этом выполняется равенство

/77 т

Процентными содержаниями веществ А и В в данной смеси называются величины соответственно.

Задача №1

1)Соляной раствор до выпаривания содержал 99% воды, после выпаривания 98% воды. Масса раствора до выпаривания равна 1 тонне. Чему равна масса раствора после выпаривания?

Решение:

Соляной раствор содержит 99% воды, значит 1% составляет соль.

1 т =1000 кг

Найдем 1% от 1000 кг.: 0,01-1000=10 кг соли содержится в первоначальном соляном растворе. После выпаривания количество соли в растворе не меняется, то есть 10 кг соли соответствует 100%-98%=2%. Найдем массу раствора после выпаривания: 2%=0,02; 10:0,02=500 кг

Ответ: 500 кг масса раствора после выпаривания.

Задача №2

В 12 %-й раствор уксусной кислоты добавили 3 л чистой воды, после чего получили 3%-й раствор уксусной кислоты.Определите первоначальный объем раствора в литрах.

Решение:

Пусть х (л) - первоначальный объем раствора (х>0).

В первоначальном растворе уксусной кислоты содержится -0,12х( л)- «чистого» уксуса. В новом растворе количество «чистого» уксуса не изменится и равно 0,03(х+3) л. Получим уравнение:

0,12х=0,03(х+3);

0,09х=0,09;

х=1.

Ответ: первоначальный объем раствора 1 литр.

Задача №3

Из сосуда, доверху наполненного 97%-м раствором кислоты, отлили 2 л жидкости и долили 2 л 45%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получили 81%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Решение:

Пусть х(л) (х>0) вмещает сосуд. Количество "чистой" кислоты в сосуде составляло -0,97х( л). После того, как отлили 2 л раствора, в сосуде "чистой" кислоты осталось 0,97(х-2) л. После этого долили 2 л 45%-го раствора этой же кислоты, в которой "чистой" кислоты содержится: 0,45∙2=0,9 л. В новом растворе объем "чистой" кислоты равен- 0,81х( л)

Получим уравнение:

0,97(х-2)+0,9=0,81х;

0,16х=1,04;

х=6,5

Ответ: 6,5 литра вмещает сосуд.

Задача №4

Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди. Второй слиток 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили и их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого из первого слитка.

Решение:

230+20=250 г 240+60=300 г

Пусть от первого куска взяли х г, от второго - у г, 0<х<250; 0<у<300. Найдем процентное содержание золота, в каждом куске.

В первом:во втором:

После того, как от каждого слитка взяли по куску (х г и у г), сплавили их и получили 300 г сплава, то в нем оказалось 84% золота, значит

0,92х+0,8у=0,84 -300, где у=300-х

0,92х+0,8(300-х)=252;

0,12х=12;

х=100.

Ответ: 100 г куска взяли из первого слитка.

Литература

Литература для учителя.

1.Никольский С.Н.,  Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра в 8 классе: методические  материалы. –М: Просвещение, 2018

2.Галицкий М.Л. и др.Сборник задач па алгебре для 8-9 классов, М: Просвещение,1999

3.Вигдорчик Е, Нежданова Т.  Элементарная  математика  в  экономике  и  бизнесе.

4.Водинчар М.И., Лайкова  Г.А., Рябова Ю.К. Решение  задач  на смеси, растворы  и  сплавы  методом  уравнений. //  Математика  в  школе.

5.Дорофеев Г.В., Седова Е.А.  Процентные  вычисления.// Методическое  пособие.

6.Гильмиева Г.Г., Хамитов Р.Г.Задачи с процентами решаем с лёгкостью. Учебно- методическое  пособие. Казань: РИЦ «Школа»,2008

Литература  для  учащихся.

1.Виленкин Н.Л. За  страницами  учебника  математики. – М: Просвещение.

2.Виленкин  Н.Л., Жохов В.И.,  Чесноков А.С.  Математика  6. – М: Дрофа.

3.Семёнов А.Л., Ященко И.В.Типовые экзаменационные варианты. М:Национальное образование,2018

4.Шевкин А.В.  Текстовые  задачи. – М: Просвещение.

5 Никольский С.Н., Потапов М.К., Решетников Н.Н, Шевкин А.В.,

Математика ,6 ,М: Просвещение, 2017