Чернышев Эдуард Николаевич

Урок «Метод почленного деления» (Алгебра, 8-9 класс)

Материал опубликован 14 February 2018 в группе

УРОК.РФ: группа для участников конкурсов

47020

221711

МЕТОД ПОЧЛЕННОГО ДЕЛЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

урок по курсу предпрофильной подготовки

«Уравнения высших степеней»

в 8-9 классе

Автор : Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель математики МБОУ СОШ № 3

г.Красный Сулин Ростовской области

Цель урока: создать условия для овладения обучающимися навыками решения систем нелинейных уравнений, к которым применим метод почленного деления и умножения; данные условия призваны явиться основанием для самооценки способностей обучающихся в освоении математики на профильном уровне.

Задачи :

1.Создать условия для ознакомления обучающихся с решениями систем нелинейных уравнений методами почленного деления и умножения.

2.Обеспечить условия, в которых каждый обучающийся попробует решить самостоятельно систему нелинейных уравнений методом почленного деления и умножения.

3.Инициировать создание обучающимися систем нелинейных уравнений, для решения которых можно использовать метод почленного деления и умножения.

4.Содействовать взаимопомощи обучающихся при решении заданий.

5.Создать условия для оценки степени овладения обучающимися методом почленного деления и умножения при решении систем нелинейных уравнений.

Содержание урока:

Обучающимся предлагается упорядочить фрагменты так, чтобы получился связный текст по теме «Уравнения высших степеней».

КОД ФРАГМЕНТА	СОДЕРЖАНИЕ ФРАГМЕНТА	ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР В ТЕКСТЕ
A	Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.	8
B	Например: замена переменной, метод алгебраического сложения, метод почленного умножения и деления и др.	3
C	Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители.	6
D	Основные методы решения уравнений высших степеней – замена переменной и разложение на множители.	1
E	В отдельных случаях при решении уравнений целесообразно использовать свойства монотонности и ограниченности функций.	4
F	Заметим, что найти корень уравнения часто удается, если использовать следующий закон :	7
K	Но есть и другие методы, которые применимы к отдельным видам уравнений.	2
L	Используя метод разложения на множители, полезно напомнить, что если число α является корнем многочлена , то делится на , т.е. представим в виде	5

Обучающимся предлагается упорядочить фрагменты так, чтобы получился связный текст по теме «Системы уравнений высших степеней».

КОД ФРАГМЕНТА	СОДЕРЖАНИЕ ФРАГМЕНТА	ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР В ТЕКСТЕ
A	Например, системы и равносильны.	11
B	Каждая пара (или набор из n чисел), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство, называется решением системы.	2
C	Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают.	4
D	При решении систем уравнений постепенно заменяют данную систему ей равносильной, которую решать проще.	6
E	Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой либо переменной, например , через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.	10
F	Если ставится задача отыскания общих решений a уравнений с b переменными, то говорят, что задана система уравнений.	1
K	При решении систем уравнений используют утверждения о равносильности систем уравнений.	7
L	Если обе системы не имеют решений, то они являются равносильными.	5
M	Если одно из уравнений системы заменить суммой каких либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной.	9
N	Если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной.	8
Q	Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что система решений не имеет.	3

Соотнесите системы и их частные решения :

А		1
B		2
C		3
D		4
E		5

Ответ :

A	B	C	D	E
2, 5	5	2	1	3

Задание на составление систем нелинейных уравнений.

Обучающимся необходимо составить системы нелинейных уравнений, подобные приведенным выше так, чтобы частным решением системы была заданная пара чисел. Задание выполняется индивидуально каждым обучающимся. Результаты представляются на доске и проверяются (консультантами или учителем).

Примеры выполнения заданий :

1).Составить систему, решением которой является пара (2;3).

Вариант ответа .

2).Составить систему, решением которой является пара

Вариант ответа.

Таблица для составления системы нелинейных уравнений:

№ ученика по списку	Частное решение системы	№ ученика по списку	Частное решение системы	№ ученика по списку	Частное решение системы
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

Рассмотрим образцы решения систем нелинейных уравнений методом почленного умножения и деления.

Пример № 1. Решить систему уравнений

Выполним тождественные преобразования и получим равносильную систему: Здесь знаки совпадают.

Можно ли без ограничений разделить второе уравнение на первое ? Да, так как не равны нулю.

Выполним такое деление и получим

1.При первое уравнение исходной системы принимает вид ,- данное уравнение не имеет действительных корней.

2. При первое уравнение исходной системы принимает вид , ,

Ответ.

Пример № 2. Решим ту же систему уравнений другим способом. Умножим первое уравнение на второе. Получим

Выполним соответствующую замену в первом уравнении исходной системы и после упрощения получим Возвращаясь к подстановке получаем .

Ответ.

Пример № 3. Решить систему уравнений

Выполним решение системы, разделив второе уравнение на первое. После преобразований получим: Выполним подстановку в первое уравнение и получим . Проверка показала, что найденные пары значений переменных являются решениями исходной системы.

Ответ.

Примечание.

При «разборе» решений следует обратить внимание на следующее:

делить на выражение, содержащее переменные, можно только убедившись, что эти переменные не принимают нулевых значений; как правило, это следует из условия;

если из условия непосредственно не следует, что переменные не могут принимать нулевых значений, либо следует, что выражения могут принимать нулевые значения (как в примере № 3), то следует выполнять проверку.

Пример № 4. В предлагаемом решении допущена ошибка. Обучающимся предлагается найти и объяснить суть ошибки.

Решить систему уравнений

Разложим на множители левую часть каждого уравнения:

(1)

(2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2) и получим :

При это уравнение равносильно уравнению

(3). Выполним эту подстановку в первое уравнение исходной системы: ,

При получаем уравнение

а т.к. , то

Т.к. , то

Какая ошибка допущена ? Нижеуказанный переход не является равносильным, так как дробь не равна нулю:

При это уравнение равносильно уравнению

Каким же тогда должно быть правильное решение ?

При сократим дробь и получим уравнение

При данное уравнение равносильно уравнению

Выполним соответствующую подстановку во второе уравнение исходной системы и получим :

Так как то

Ответ.

Задания для самостоятельного (или в составе групп) решения:

№	Уровень сложности	Задание	Ответ
1	Сложные	Решить систему уравнений	2).
2		Решить систему уравнений
3		Решить систему уравнений
4		Решить систему уравнений
5		Решить систему уравнений
6		Решить систему уравнений
7		Решить систему уравнений
8	Очень сложные	Решить систему уравнений	Разложить левые части на множители (методом группировки) и разделите одно уравнение на другое.

Домашнее задание. Решить системы неравенств:

Можно решить методом подстановки, но предлагается решить методом почленного умножения и деления. Перемножьте уравнения системы.

Ответ.

Подсказка. Разложите левые части на множители (с помощью группировки) и разделите одно уравнение на другое.

Рефлексия для обучающихся:

№	ПОКАЗАТЕЛЬ	САМООЦЕНКА
1	Я был активным участником урока.	1	2	3	4	5
2	Мне была понятна большая часть объяснений.	1	2	3	4	5
3	Я разобрался в том, как решали системы в образцах.	1	2	3	4	5
4	Я выполнил индивидуальное задание.	1	2	3	4	5
5	Я могу решать системы методом почленного деления или умножения.	1	2	3	4	5
Сумма баллов (5-25)

Автор предлагает считать урок успешным, если средняя самооценка равна 3,5, а ее разброс составляет не более 1 единицы.

Литература:

http://ru.wikipedia.org.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики. М.:Просвещение, 1992.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики. 5-е издание - М.:Мнемозина, 2006.

Сергиенко Л.Ю., Самойленко П.И. Планирование учебного процесса по математике: Учебно-методическое пособие для преподавателей средних специальных учебных заведений.-М.:высшая школа, 1987.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы.-М.:Просвещение, 1989.